专题05 三角函数图像与性质的综合应用-备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破(上海地区)

专题05 三角函数图像与性质的综合应用
专题点拨
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的问题；
解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的问题，通常利用整体思想换元，转化为基本函数解决，同时要注意复合函数的性质．
①“五点法”画图：分别令ωx ＋φ＝0，π2、π、3π
2
、2π，求出五个特殊点．
②给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，求函数表达式时，比较难求的是φ，一般从“五点法”中取靠近y 轴的已知点代入突破．
易错点：(1)求对称轴方程：令ωx ＋φ＝π
2＋k π(k ∈Z )，求对称中心：令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )．
(2)求单调区间：分别令－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )；π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3
2
π＋2k π(k ∈Z )，同时注意A 、ω符号．
真题赏析
1. （2016·上海）设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π
2sin(3)sin()3
x a bx c -=+，则满足条件
的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________. 【答案】4
【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3
c =； 若3b =-，则4π3
c =
. (ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =
；若3b =，则2π3
c =共4组 2．（2018·上海）设常数，函数． (1)若为偶函数，求的值；
a R ∈2()sin 22cos f x a x x =+()f x a
(2)若，求方程
在区间上的解．
【解析】(1)若为偶函数，则对任意，均有； 即， 化简得方程对任意成立，故；
(2)，所以
故．
则方程
，化简即为，
即
，解得或， 若求该方程在上有解，则，， 即或1；或1，
对应的的值分别为：、、、．
【例1】求函数
lg tan 1y x +=的定义域．
【解析】函数定义域满足下列不等式组：
()314
f π
=+()12f x =-ππ-［，］()f x ∈R x ()()=-f x f x 22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-
a x x a x x sin 20=a x ∈R x 0=a 2()sin(2)2cos ()114
44
ππ
π
=⨯
+=+=f a a =a 2()22cos =+f x x x ()1=f x 222cos 1+=x x 222cos 1+-=x x 2sin(2)6
π
+
=x sin(2)6
2
π
+
=-
x 1124ππ=-+x k 524ππ'=-+x k ,'∈Z k k [,]ππ-1335[,]2424∈-
k 1929
[,]2424
'∈-k 0=k 0'=k x 1124π-
1324π524π-19
24
π
tan 1
2sin 10
x x >-⎧⎨
+>⎩ 因此，函数定义域为 372,22,26246k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭. 【例2】函数3sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像可由y ＝3sin2x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度得到 B ．向右平移π
3个单位长度得到
C
．向左平移π6个单位长度得到 D ．向右平移π
6个单位长度得到
【答案】C
【解析】3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，故选C. 【例3】（2019·宝山区一模）已知函数()sin 21
cos 220
1
x f x x
-=，将()f x 的图像向左移()0αα>个单位得函数()y g x =的图像．
（1）若4
π
α=
，求()y g x =的单调递增区间；
（2）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()y g x =的一条对称轴为12
x π
=
，求()y g x =，0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域．
（2）若()y g x =的一条对称轴12
x π
=
，
则221232k πππαπ⎛⎫
+-=+
⎪
⎝⎭
， 解得()23
k k Z ππ
α=
+∈， 因为)2
,0(πα∈，所以α3
π
=
．
()2sin 23g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
因而sin 23x π⎡
⎤⎛⎫+
∈⎢
⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦
，即值域为]3,2[-. 【变式训练1】已知函数,其中常数;
(1)若在上单调递增,求的取值范围
;
()2sin()f x x ω=0ω>()y f x =2[,]43
ππ
-
ω
(2)令,将函数的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.学科_网
【解析】(1)因为,根据题意有 . (2) ,
或, 即的零点相离间隔依次为和.
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.
【例4】方程sin x ＋cos x ＝－1的解集是______． 【答案】{x |x ＝2k π－π
2
或x ＝2k π－π，k ∈Z }
【变式训练2】方程的解集 【解析】 ∴ . ∵,∴. 2ω=()y f x =6
π
()y g x =[,]a b ,a b R ∈a b <()y g x =[,]a b [,]a b b a -0ω>3420243
2π
πωωππ
ω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨
⎪≤⎪⎩()2sin(2)f x x =()2sin(2())12sin(2)163
g x x x π
π
=++=++7
,12
x k k Z ππ=-
∈()g x 3π23π()y g x =[,]a b b a -2431415333
πππ
⨯
+⨯
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈=-47,4,12cos 32sin ππx x x 2
1
32sin =⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
πx Z k k x k x ∈+
=+=,1274ππππ或⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈47,4ππx 1219,45,127,4ππππ=x
一、填空题
1.定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π,
上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12PP
的长为 ． 【答案】
23
【解析】 线段12PP 的长即为
sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得sin x =2
3
．线段12PP 的长为
2
3
．
2. 设函数π()cos(
)(0)6f x x ωω=->，若π()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__ _． 【答案】
2
3
【解析】 由于对任意的实数都有π
()()4
f x f ≤成立，故当4
x π
=
时，函数()f x 有最大值，故
()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 23
ω=． 3．已知函数()=3sin()(>0)6
f x x π
ωω-
和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若
[0,
]2
x π
∈，则()f x 的取值范围是 ．
【答案】3
[,3]2
-
【解析】由题意知，2ω=，因为[0,]2
x π
∈，所以52[,]6
66
x π
ππ
-
∈-
，由三角函数图象知：()
f x 的最小值为33sin ()=6
2π
-
-
，最大值为3sin =32
π，所以()f x 的取值范围是3
[,3]2-． 4．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】因为，的平分线交于点，所以，由面积公式可得， 化简得，又，，所以
， 则， 当且仅当时取等号，故的最小值为9． 二、选择题
5. 若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )
A ．π
4
B ．π2
C ．
3π4
D ．π
【答案】A
【解析】
()cos sin )4
=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间
[0,]π上单调递减，则由0
4
π
π+
≤≤x ，得34
4
π
π-
≤≤
x ． ABC △,,A B C ,,a b c 120ABC ∠=︒ABC ∠AC 1BD =4a c +120ABC ∠=︒ABC ∠AC D 60ABD CBD ∠=∠=1
11
sin120sin 60sin 60222
ac a c =
+ac a c =+0a >0c >11
1a c
+=1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+
++=≥2c a =4a c +
因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以4
34
ππ
⎧
--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a .
6．设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B
【解析】 由于21cos2()sin sin sin 2
x
f x x b x c b x c -=++=
++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π；当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π.
7．将函数图像上的点向左平移()个单位长度得到点．若位于函数的图像上，则( )
A ．，的最小值为
B ．，的最小值为
C ．，的最小值为
D ．
的最小值为 【答案】A
sin(2
)3y x π
=-
(,)4
P t π
s 0s >P 'P 'sin 2y x =12t =
s 6π3
2
t =s 6π12t =
s 3πt =s 3π
三、解答题
8. 设函数，其中．已知． (1)求；
(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． 【解析】 (1)因为，所以
由题设知，所以
，．
故，，又，所以．
(2)由(1)得.
所以．因为， 所以，当，即时，取得最小值． 9. 已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
π
ϕ<
(1)若cos
cos sin
sin 0,4
4
π
π
ϕϕ3-=求ϕ的值；
(2)在（1）的条件下，若函数()f x 的图像
的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移a 个单位所对应的函数是偶函数.
()sin()sin()62f x x x π
πωω=-
+-03ω<<()06
f π
=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44
ππ
-()sin()sin()62f x x x π
πωω=-
+-1
()cos cos 2
f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=
-13(sin )2x x ωω=)3x πω=-()06
f π
=63
k ωπ
π
π-
=k Z ∈62k ω=+k Z ∈03ω<<2ω=())3
f x x π
=-
()))4312g x x x π
ππ=+
-=-3[,]44
x ππ
∈-2[,]12
33
x π
ππ
-
∈-
123
x π
π
-
=-
4
x π
=-
()g x 3
2
-
【解析】(1)由3cos
cos sin
sin 04
4π
πϕϕ-=得cos cos sin sin 044
ππ
ϕϕ-= 即cos(
)04
π
ϕ+=又||,2
4
π
π
ϕϕ<
∴=
(2)由(1)得，()sin()4
f x x π
ω=+
依题意，
23
T π
=. 又2,T π
ω=
故3,()sin(3)4
f x x π
ω=∴=+. 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
()sin 3()4g x x m π⎡
⎤=++⎢⎥⎣
⎦.
()g x 是偶函数当且仅当3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈,
即()312k m k Z ππ=
+∈ 从而，最小正实数12
m π
=.
10.（2019·浦东新区一模）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.
（1）若角α的终边与单位圆交于点34
(,)55P ，求()f α的值；
（2）当[,]63
x ππ
∈-
时，求()f x 的单调递增区间和值域. 【解析】（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455
(,)P ，
∴43
sin =
,cos =55
αα
2243432
()cos 2sin 2()55525
αααα=-=⨯-⨯=f
（2）2
()cos 2sin f x x x x =-
cos21x x =+- 2sin(2)16x π
=+- 由2222
62k x k π
ππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+ 又[,]63x ππ
∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ∵[,]63x ππ
∈-，∴52666
x π
π
π-≤+≤ ∴1sin(2)126
x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-.。