宁安市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

宁安市高中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含分析
班级 __________ 座号 _____ 姓名 __________ 分数 __________
一、选择题
1．（ + ）2n（ n∈N*）睁开式中只有第 6 项系数最大，则其常数项为（）
A ．120
B ．210 C． 252 D．45
2．设 m 是实数，若函数f（ x）=|x ﹣ m|﹣ |x﹣ 1|是定义在 R 上的奇函数，但不是偶函数，则以下对于函数f
（ x）的性质表达正确的选项
是（）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是 f（ x）的增区间
C． m=±1 D．最小值为﹣ 3
3．（文科）要获得g x log 2 2x 的图象，只要将函数 f x log 2 x 的图象（）
A ．向左平移 1 个单位B．向右平移 1 个单位C．向上平移 1 个单位 D ．向下平移 1 个单位4． S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 3a8－2a7＝ 4，则以下结论正确的选项
是（）
A ．S18＝72
B ． S19＝ 76
C． S20＝ 80 D ． S21＝ 84
5．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（此中m， n 为数字 0～9 中的一个），则甲
歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为 a 和 b，则必定有（）
A ．a＞ b
B ． a＜ b
C． a=b D ．a， b 的大小与m， n 的值相关
6．设 S n为等比数列 {a n} 的前 n 项和，若a1 =1，公比 q=2， S k+2 ﹣ S k=48，则 k 等于（）
A ．7
B ．6 C． 5 D． 4
7．以过椭圆+ =1 （ a＞b＞ 0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的地点关系是（）
A ．订交
B ．相切C．相离D．不可以确立
8．是z的共轭复数，若z+ =2 ，（ z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）
A ．1+i
B ．﹣ 1﹣ i C．﹣ 1+i D ．1﹣ i
9．过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，点 O 是原点，若|AF|=3 ，则△ AOF 的面积为（）
A．B．C．D．2
10．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）
A．B．C．D．
11．已知向量=（ 1， 2），=（ m， 1），假如向量与平行，则m 的值为（）
A．B．C．2D．﹣2
12．已知 a＞ b＞ 0，那么以下不等式建立的是（）
A ．﹣ a＞﹣ b
B ．a+c＜ b+c C．（﹣ a）2＞（﹣ b）2 D ．
二、填空题
13．函数 y=1﹣（x∈ R）的最大值与最小值的和为2．
14．【徐州市2018 届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若
，则实数的取值范围为 ______．
15．函数f x xe x在点1, f 1 处的切线的斜率是.
16．假如定义在R 上的函数 f（ x），对随意 x1≠x2都有 x1 f（ x1）+x 2f（ x2）＞ x1f（ x2） +x 2（ fx 1），则称函数为“H 函数”，给出以下函数
① f （ x） =3x+1
x+1 ② f（ x） =（）
③ f （ x） =x 2+1④ f（x）=
此中是“H 函数”的有（填序号）
17．在极坐标系中，O 是极点，设点 A ， B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB 的距离是．
18．如图，在棱长为的正方体ABCD A1 B1C1D1中，点E, F分别是棱 BC, CC1的中点,P是侧
面 BCC1B1内一点，若 AP1平行于平面AEF ,则线段A1P长度的取值范围是_________.
三、解答题
19．（此题满分 12 分）如下图，在正方体ABCD — A 1B1C1D 1中， E、F 分别是棱 DD 1、 C1D 1的中点 .
（ 1）求直线 BE 和平面 ABB 1A 1所成角的正弦值；
（ 2）证明： B 1F∥平面 A 1BE．
20．已知函数 f（ x）=lnx ﹣ a（ 1﹣），
a∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单一区间；
（Ⅱ）若 f（ x）的最小值为0．
（i）务实数 a 的值；
（ii ）已知数列 {a n} 知足： a1=1， a n+1=f （ a n） +2，记 [x]
A1D1
B1
C1
F
E
A
D
B C
表示不大于x 的最大整数，求证：n＞ 1 时 [a n]=2 ．
21．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进必定数目的空调器，商场每销售一台空调器可赢利500 元，若供大于求，则每台剩余的空调器需交保存费100 元；若求过于供，则可从其余商铺调剂供给，此时每台空调
器仅获收益200 元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20 台空调器，求当周的收益（单位：元）对于当周需求量n（单位：台， n∈ N）的函数分析式f（ n）；
（Ⅱ）该商场记录了昨年夏季（共10 周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
周需求量n1819202122
频数1233 1
以 10 周记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20 台空调器，X 表示当周的收益（单位：元），求X 的散布列及数学希望．
22．已知函数f（ x）=log 2（ m+）（m∈ R，且m＞0）．
（ 1）求函数 f （ x）的定义域；
（ 2）若函数 f （ x）在（ 4， +∞）上单一递加，求m 的取值范围．
23．已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 S= a ﹣，数列 {b } 中， b =1，点 P（ b ， b +1 ）在直线 x﹣ y+2=0 n n n n n 1 nn
上．
（1）求数列 {a n} ， {b n} 的通项 a n和 b n；
（2）设 c n=a n?b n，求数列 {c n} 的前 n 项和 T n．
24．【南通中学2018 届高三 10 月月考】设，，函数，此中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ ）务实数、的值；
（Ⅱ ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式建立，务实数的取值范围.
宁安市高中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含分析（参照答案）
一、选择题
1．【答案】
B
【分析】
【专题】二项式定理．
【剖析】由已知获得睁开式的通项，获得第 6 项系数，依据二项睁开式的系数性质获得n，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）睁开式中只有第 6 项系数为最大，
所以睁开式有 11 项，所以2n=10 ，即 n=5 ，
又睁开式的通项为= ，
令 5﹣=0 解得 k=6，
所以睁开式的常数项为=210 ；
应选： B
【评论】此题考察了二项睁开式的系数以及求特点项；解得此题的重点是求出n，利用通项求特点项．2．【答案】 B
【分析】解：若 f （x） =|x ﹣ m|﹣ |x﹣ 1|是定义在R 上的奇函数，
则 f （ 0） =|m|﹣ 1=0，则 m=1 或 m= ﹣ 1，
当 m=1 时， f （x） =|x ﹣ 1|﹣|x﹣ 1|=0，此时为偶函数，不知足条
件，当 m= ﹣ 1 时， f（ x） =|x+1|﹣ |x﹣ 1|，此时为奇函数，知足条
件，作出函数 f（ x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣ 2，故
正确的选项是 B，
应选： B
【评论】此题主要考察函数的奇偶性的应用，依据条件求出
m 的值是解决此题的重点．注意使用数形联合进
行求解．
3． 【答案】 C 【分析】
试题剖析： g x log 2 2x log 2 2 log 2 x 1 log 2 x ，故向上平移个单位 .
考点：图象平移．
4． 【答案】
【分析】 选 B.∵3a 8－ 2a 7＝ 4，
∴3（ a 1＋ 7d ）－ 2（ a 1＋ 6d ）＝ 4，
18×17d 17
即 a 1＋ 9d ＝4， S 18＝ 18a 1＋ 2 ＝ 18（ a 1＋ 2 d ）不恒为常数．
S 19＝ 19a 1＋ 19×18d
2 ＝ 19（a 1＋ 9d ）＝ 76，
同理 S 20， S 21 均不恒为常数，应选 B.
5． 【答案】 C
【分析】 解：依据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为 a=85，
乙得分的中位数是
b=85 ；
所以 a=b ．
应选： C ．
6． 【答案】 D
【分析】 解：由题意， S k+2﹣ S k =
，
即 3×2k =48， 2k =16，
∴k=4．
应选： D．
【评论】此题考察等比数列的通项公式，考察了等比数列的前n 项和，是基础题．
7．【答案】 C
【分析】解：设过右焦点 F 的弦为 AB ，右准线为 l， A 、 B 在 l 上的射影分别为C、 D
连结 AC 、BD ，设 AB 的中点为 M ，作 MN ⊥ l 于 N
依据圆锥曲线的统必定义，可得
==e，可得
∴ |AF|+|BF|＜ |AC|+|BD| ，即 |AB| ＜ |AC|+|BD| ，
∵以 AB 为直径的圆半径为 r= |AB| ， |MN|= （ |AC|+|BD| ）
∴圆 M 到 l 的距离 |MN| ＞ r，可得直线 l 与以 AB 为直径的圆相离应
选： C
【评论】此题给出椭圆的右焦点F，求以经过 F 的弦 AB 为直径的圆与右准线的地点关系，侧重考察了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统必定义和直线与圆的地点关系等知识，属于中档题．
8．【答案】 D
【分析】解：因为，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣ 2i①
又 z+=2②
由①②解得 z=1﹣ i
应选 D．
9．【答案】 B
【分析】解：抛物线y2=4x 的准线 l： x= ﹣1．
∵ |AF|=3 ，
∴点 A 到准线 l ： x= ﹣ 1 的距离为 3
∴ 1+x A=3
∴ x A=2，
∴ y A=±2，
∴△ AOF 的面积为=．
应选： B．
【评论】此题考察抛物线的定义，考察三角形的面积的计算，确立 A 的坐标是解题的重点．
10．【答案】 C
【分析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是3×× 2=6+，
应选 C．
【评论】此题考察依据三视图求几何体的表面积，考察由三视图确立几何图形，考察三角形面积的求法，此题是一个基础题，运算量比较小．
11．【答案】 B
【分析】解：向量，向量与平行，
可得 2m= ﹣1．
解得 m= ﹣．
应选： B．
12．【答案】 C
【分析】解：∵ a＞ b＞ 0，∴﹣ a＜﹣ b＜ 0，∴（﹣ a）2＞（﹣ b）2，
应选 C．
【评论】此题主要考察不等式的基天性质的应用，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 2
【分析】解：设 f （x） =﹣，则f（x）为奇函数，所以函数f（ x）的最大值与最小值互为相反数，
即 f （ x）的最大值与最小值之和为0．
将函数 f（x）向上平移一个单位获得函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈ R）
的最大值与最小值的和为2．
故答案为： 2．
【评论】此题考察了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决此题
的重点．
14．【答案】
【分析】令，则
所以为奇函数且单一递加，所以
即
点睛：解函数不等式：第一依据函数的性质把不等式转变为的形式，而后依据函数的单一性
去掉“ ” ，转变为详细的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
15．【答案】2e
【分析】
试题剖析： f x xe x , f ' x e x xe x，则 f ' 1 2e ，故答案为 2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
16．【答案】①④
【分析】解：∵对于随意给定的不等实数x1， x2，不等式 x1f （ x1） +x 2f（ x2）≥x1f（ x2） +x 2f （ x1）恒建立，
∴不等式等价为（ x1 ﹣x2 ）[f （x1）﹣ f（ x2） ]≥0 恒建立，
即函数 f （x）是定义在R 上的不减函数（即无递减区间）；
①f （ x）在 R 递加，切合题意；
② f （ x）在 R 递减，不合题意；
③ f （ x）在（﹣∞， 0）递减，在（ 0，+∞）递加，不合题意；
④ f （ x）在 R 递加，切合题意；
故答案为：①④ ．
17．【答案】．
【分析】解：依据点 A ， B 的极坐标分别是（ 2 ，），（ 3，），可得 A、 B 的直角坐标分别是（3，）、（﹣，），
宁安市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
故 AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y﹣=﹣（ x﹣ 3），即 x+3 y﹣ 12=0，所以 O 点到直线 AB 的距离是= ，
故答案为：．
【评论】此题主要考察把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
32 , 5
18．【答案】，
4 2
【分析】
考点：点、线、面的距离问题
.
【方法点晴】此题主要考察了点、线、面的距离问题，此中解答中波及到直线与平面平行的判断与性质，三角
形的判断以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考察，
侧重考察了学生剖析问题和解答问题的能力，
以及
推理与运算能力，同时考察了学生空间想象能力的训练，试题有必定的难度，属于中档试题
.
三、解答题
19．【答案】 解：（ 1）设 G 是 AA 1 的中点，连结 GE ，BG ．∵E 为 DD 1 的中点， ABCD — A 1B 1C 1D 1 为正方体，
∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面 ABB 1 A 1，∴GE ⊥ 平面 ABB 1A 1，且斜线 BE 在平面 ABB 1A 1 内的射影为 BG ，∴Rt △ BEG 中的∠ EBG 是直线 BE
和平面 ABB 1A 1 所成角，即∠ EBG =
．设正方体的棱长为 a ，∴ GE
a ，
BG
5 a ， BE
BG 2
GE 2 3 a ，
2
2
GE
2
； 6 分
∴直线 BE 和平面 ABB 1A 1 所成角
的正弦值为： sin
BE
3
（ 2）证明：连结 EF 、 AB 1、 C 1D ，记 AB 1 与 A 1B 的交点为 H ，连结 EH ． ∵H 为 AB 1 的中点，且 B 1H =
1 C 1D ， B 1H ∥C 1D ，而 EF = 1
2
C 1
D ， EF ∥C 1D ，
∴B 1
2
H ∥
且
1
H =EF ，四边形
1
为平行四边形，即
1 ∥，
EF B
B FEH
B F
EH
又∵B 1 平面
1
且
EH 平面
1
BE ，∴ 1
F ∥平面
1
BE ．
分
F
A BE
A
B
A
12
20． 【答案】
【分析】 解：（ Ⅰ ）函数 f （x ）的定义域为（ 0， +∞），且 f ′（ x ） = ﹣
=．
当 a ≤0 时， f ′（ x ）＞ 0，所以 f （ x ）在区间（ 0，+∞）内单一递加；
当 a ＞ 0 时，由 f ′（ x ）＞ 0，解得 x ＞ a ；由 f ′（ x ）＜ 0，解得 0＜ x ＜ a ．所以 f （ x ）的单一递加区间为（ a ， +∞），单一递减区间为（ 0，a ）．
综上述： a ≤0 时， f （x ）的单一递加区间是（ 0， +∞）；
a ＞ 0 时， f （x ）的单一递减区间是（ 0，a ），单一递加区间是（
a ， +∞）．
（ Ⅱ ）（ ⅰ ）由（ Ⅰ ）知，当 a ≤0 时， f （ x ）无最小值，不合题意；
当 a ＞ 0 时， [f （ x ） ]min =f （ a ） =1﹣ a+lna=0，
令 g（x） =1 ﹣ x+lnx （x＞ 0），则g′（ x） =﹣1+ = ，
由 g′（ x）＞0，解得 0＜ x＜ 1；由g′（ x）＜ 0，解得 x＞1．
所以 g（ x）的单一递加区间为（ 0 ，1），单一递减区间为（1，+∞）．
x=1 时， g（ x）=0．
故 [g（ x） ]max=g（ 1） =0，即当且仅
当所以， a=1．
（ⅱ）因为 f（ x） =lnx ﹣1+，所以a n+1=f（a n）+2=1++lna n．
由 a1=1 得 a2=2 于是 a3= +ln2 ．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．
猜想当 n≥3， n∈N 时， 2＜ a n＜．
下边用数学概括法进行证明．
①当 n=3 时， a3= +ln2 ，故 2＜ a3＜．建立．
②假定当 n=k （ k≥3， k∈N）时，不等式2＜ a k＜建立．
则当 n=k+1 时， a k+1=1+ +lna k，
由（Ⅰ）知函数h（ x） =f （x） +2=1+ +lnx 在区间（ 2，）单一递加，
所以 h（ 2）＜ h（ a k）＜ h（），又因为h（ 2）=1++ln2 ＞ 2，
h（）=1++ln＜1++1＜．
故 2＜a k+1＜建立，即当n=k+1 时，不等式建立．
依据①②可知，当n≥3， n∈N 时，不等式2＜ a n＜建立．
综上可得， n＞ 1 时 [a n ]=2．
【评论】此题主要考察函数的导数、导数的应用等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考察函数与方程思想、化归与转变思想、分类与整合思想、有限与无穷思想等，属难题．
21．【答案】
【分析】解：（ I）当 n≥20 时， f（ n） =500×20+200 ×（n﹣ 20） =200n+6000 ，
当 n≤19 时， f （ n） =500×n﹣ 100×（20﹣ n）=600n ﹣ 2000，
∴．
（II ）由（ 1）得 f（ 18）=8800 ， f（19） =9400， f（ 20） =10000， f （ 21）=10200 ，f （22） =10400，
∴P（ X=8800 ）=0.1， P（ X=9400 ） =0.2， P（X=10000 ） =0.3，P（ X=10200 ） =0.3，P（ X=10400 ）=0.1，
X的散布列为
X 8800 9400 10000 10200 10400
P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
∴EX=8800 ×0.1+9400×0.2+10000 ×0.3+10200 ×0.3+10400 ×0.1=9860．
22．【答案】
【分析】解：（ 1）由 m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，
∵m＞ 0，
∴（ x﹣1）（ x﹣）＞0，
若＞1，即0＜m＜1时，x∈ （﹣∞ ，1）∪（，+∞ ）；
若 =1，即 m=1 时， x∈（﹣∞， 1）∪（ 1，+∞）；若
＜ 1，即 m＞1 时， x∈（﹣∞，）∪（ 1， +∞）．
（ 2）若函数 f （ x）在（ 4， +∞）上单一递加，则函数g（x） =m+在（4，+∞ ）上单一递加且恒正．
所以，
解得：．
【评论】此题考察的知识点是函数的定义域及单一性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．23．【答案】
【分析】解：（ 1）∵S n= a n﹣，
∴当 n≥2 时， a n=S n﹣ S n﹣1= a n﹣﹣，
即 a n=3a n﹣1，．
∵a1=S1= ﹣，∴a1=3 ．
∴数列{a n n n } 是等比数列，∴ a =3 ．
∵点 P（ b n，b n+1）在直线 x﹣ y+2=0 上，∴﹣ b =2 ，
b n+1 n
即数列{b n 1 n
} 是等差数列，又 b =1，∴b =2n﹣ 1．
（2）∵c n=a n?b n=（ 2n﹣ 1） ?3n，
∵T n=1×3+3×32+5 ×33++（ 2n﹣ 3） 3n﹣1+（ 2n﹣ 1） 3n，
∴3T n =1 ×32+3×33+5 ×34+ +（ 2n ﹣ 3） 3n +（ 2n ﹣ 1） 3n+1
，
两式相减得：﹣ 2T n =3+2 ×（3 2
34
n
n+1
，
+3+3+ +3
）﹣（ 2n ﹣ 1） 3
n+1
=﹣ 6﹣ 2（ n ﹣ 1）3 ，
T n
n+1
∴ =3+ （ n ﹣ 1） 3 ．
24． 【答案】 （Ⅰ ）
；（ Ⅱ ）证明看法析；（ Ⅲ ） .
【分析】 试题剖析：
（ Ⅰ ）利用导函数研究函数的切线，获得对于实数
a,b 的方程组，求解方程组可得 ；
（ Ⅱ ）联合（ Ⅰ ）中求得的函数的分析式第一求解导函数， 而后利用导函数议论函数的单一性即可确立函数存
在极小值；
试题分析：
（Ⅰ）∵
，∴ ，由题设得 ，∴ ；
（Ⅱ）由（ Ⅰ）得
，∴
，∴
，∴函数
在
是增函数， ∵
，
，且函数
图像在
上不中断， ∴
，使得
，联合函数
在
是增函数有：
）
递减
极小值 递加
∴ 函数
存在极小值 ；
（ Ⅲ ）
，使得不等式
建立，即 ，使得不等式 建立
（*），令
， ，
则
，
∴ 联合（Ⅱ ）得，此中，知足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单一递加，
∴，
联合（ * ）有，即实数的取值范围为．。