高中数学几类不同增长的函数模型练习与解析 新课标 人教版 必修1(A)

几类不同增长的函数模型 练习与解析
一、选择题
1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A ．7200×（
31）3
元 B ．7200×（
32）3
元
C ．7200×（3
1）2
元
D ．7200×（3
2）2
元
解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义．设原价为1，一年后降价为3
2
，再过一年降价为
32×32，……，三年后降价为32×32×32＝（3
2）3
，故选B ． 答案：B
2．某工厂1996年生产电子元件2万件，计划从1997年起每年比上一年增产10尹％，则2000年可生产电子元件（精确到0.01万件）（ ）
A ．2.42万件
B ．2.66万件
C ．2.93万件
D ．3.22万件
解析：2000年可生产2（1＋10％）4
≈2.93万件， ∴选C ． 答案：C
3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y 与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是……（ ）
解析：本题要求根据上边函数关系的大约图象（粗略的），对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断，这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图形的变化趋势（性质）是判断的依
据．从上图图象可见，若水深h 从0变化到2H 时变化状况与2
H
到H 变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选项B ．此题也可取特殊值，取h ＝2H 可知V 1＞2
V
．
答案：B 二、填空题
4．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中产量增长的速度越来越慢；
（3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的是____．
解析：从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢，所以（2）是正确的；三年后总产量不变，
说明没有新的产量增加，所以（3）或（4）都是正确的．
答案：（2）（3）（4）
5．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20％，即储蓄利息的20尹d由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25％，则到期可净得本金和利息总计____元．
解析：本金到期后本息和为104（1＋2.25％）2元，扣除的利息税为［104（1＋2.25％）2－104］×20％，到期净得本金和利息总计为104（1＋2.25％）2－［104（1＋2.25）2－104］×20％＝10364.05．答案：10364.05
6．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
其中x呈对数型函数变化的变量是____，呈指数函数型变化的变量是____，呈幂函数型变化的变量是____．
答案：y3y2y1
7．已知函数f（x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式____．
解析：根据图象的增长趋势，估计属于对数模型，再根据图象所过的已知点（10，3），写出y＝lg x＋2．
答案：y＝lg x＋2
三、解答题
已知0＜x＜20，利用图象说明x与l og2x的大小关系．
答案：作出函数图象，如下图．大约在（0，4）内x＞log2x；在（4，16）内x＜log2x；（16，20）内x＞log2x，可以看出，对数函数增长相对缓慢．
9．在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，比较它们的增长情
况：
（1）f（x）＝2x－4，x∈［1，4］；
（2）g（x）＝21nx－1，x∈［1，4］；
（3）h（x）＝x e－10，x∈［1，4］．
答案：如图，在［1，2，5］内，h（x）＜f（x）<g（x）；在［2．5，4］内，g（x）＜f（x）＜h（x）．
点评：从此题我们体会到，指数、对数及幂函数型函数虽然都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着工的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，g（x）＜f（x）＜h（x）．
10．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车制动后，还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速为100km/h的高速公路上，甲车的刹车距离y（m）与刹车的速度x（km/h）的关系可用模型y＝ax2来描述，在限速为100km/h的高速
公路上，甲车在速度为50km /h 时，刹车距离为10m ，则甲型号的车刹车距离为多少米，交通部门可以判定此车超速?
解：此题函数模型已经给出，但是d 的值需要先求出，利用给定的当速度为50km /h 时，刹车距离为10m 这一条件代入y ＝ax 2
，即10＝502
a ，就可以求出参数a ＝
2
5010
；交通部门判定此车超速的依据是此车车速超过100km /h 的限速，而且函数y ＝ax 2
在x ＞0时是单调递增的，所以可以把x ＝100代入确定的解析式，求出刹车距离y ＝
250
10×1002
＝40米． 答案：刹车距离超过40米，可以判定此车超速．
11．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式Q ＝Q 0t e 0025.0-，其中Q 0是臭氧的初始量．
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少? （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失?
解：（1）因为此函数是减函数，所以臭氧的含量减少； （2）令Q 0t e 0025.0-＝
2
0Q ，即t e 0025.0-＝21，一0.0025t ＝1n 21
，利用计算器解得t ≈277.26，所以
278年以后将会有一半的臭氧消失， 答案：（1）减少；（2）278年．。