专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题
一、单选题
1．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：2
2
x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若
AB = ）
A ．2225y x -=
B ．2216y x -=
C ．229y x -=
D ．226y x -= 3．设1F ，2F 为双曲线2214
y x -
=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）
A ．2
B C ．4 D ．
4．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()
F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ）
A
．B ．C ．10 D ．5．已知双曲线C : 22
221x y a b
-= (a >0，b >0)， 过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点， 且AB 的中点为N (12，15)， 则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．32
D 6．已知双曲线C ：2
214
y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）
A ．8x －y －15＝0
B ．8x ＋y －17＝0
C ．4x ＋y －9＝0
D ．4x －y －7＝0
7．已知双曲线22
2:1(3)9
-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．340±=x y B ．430x y ±= C ．380x y ±= D ．830x y ±=
8．设双曲线22
22:1(>>0)x y C a b a b
-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x =上,O 为
坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为
A ．2
212x y -= B ．22142x y -= C ．22163x y -= D ．22184
x y -= 二、多选题
9．双曲线E 的方程为2
213
x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）
A ．272PF =+或27=2
PF -
B ．E
C ．E 的渐近线与圆2221x y 相切
D ．满足AB =l 有3条
10．已知双曲线2
2:14
x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（ ） A ．曲线E 与椭圆2
2
16y x +=有公共焦点
B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．
C ．AB 的最小值为1
D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条
11．已知双曲线()22
22:100x y C a b a b
-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．双曲线C
B ．12AF F △的面积为2
C ．12BF F △的内心在直线x a =±上
D ．12AF F △内切圆半径为)1a
12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =
C ．E
D ．
E 的渐近线方程为y =
三、填空题
13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2
212
y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.
14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S =则12F PF ∠=___________.
15．已知1F ，2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______．
16．已知双曲线C ：22
145
x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.
四、解答题
17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；
（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．
18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，且其顶点到其渐近线的距离为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B 两点，若AB =，求m 的值.
19．已知双曲线2
2:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．
（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；
（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．
20．已知圆锥曲线E
的两个焦点坐标是12(F F
，且离心率为e = （1）求曲线E 的方程；
（2）设曲线E '表示曲线E 的y 轴左边部分，若直线1y kx =-与曲线E '相交于,A B 两点，求k 的取值范围；
（3）在条件（2）下，如果63AB =E '上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值．
21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2
2
13y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．
（1）求k 与m 满足的关系；
（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．。