5关系的性质 16：9

集合论离散结构--
关系的性质
教学目标
基本要求
（1）掌握关系的五种基本性质；
（2）掌握关系性质的等价描述；
（3）会根据集合表达式、关系矩阵和关系图判断关系性质。

重点难点
（1）关系性质的判定和证明。

关系的性质
•定义：设R为A上的关系，
(1)若∀x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R是自反的。

(2)若∀x(x∈A→<x,x>∉R)，则称R是反自反的。

(3)若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R是对称的。

(4)若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R是反对称的。

(5)若∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧((<x,y>∈R∧<y,z>∈R)→<x,z>∈R))，则称R是传递的。

•举例：
≤关系是自反关系；＜关系和父子关系都是反自反的；
邻居关系、朋友关系是对称关系；
实数集中的≤、＜，集合⊆、⊂是传递的。

例1、令A={1,2,3}，给定A 上八个关系如下：
注意：(1) R 6、R 7既不是自反也不是反自反；
(2) R 4、R 8既是对称也是反对称的，R 7既不是对称也不是反对称；1。

2。

1。

2。

1。

2。

1。

2。

33331。

2。

1。

2。

1。

2。

1。

2。

3333R 2R 1R 3R 4R 5R 6R 7R 8自反R 1、R 3、R 4
反自反R
2、R 5、R 8
对称R 3、R 4、R 6、R 8反对称R 1、R 2、R 4、R 5、R
8
传递R
1、R 3、R 4、R 5、R 8
例2、令I是整数集合，I上关系R定义为：R={<x,y>|x-y可被3整除}，求证R是自反、对称和传递的。

证明：
⑴自反性：任取x∈I, (要证出<x,x>∈R )
因x-x=0, 0可被3整除,所以有<x,x>∈R, 故R自反。

⑵对称性：任取x,y∈I,设<x,y>∈R, (要证出<y,x>∈R )
由R定义得x-y可被3整除, 即x-y=3n(n∈I)，
y-x=-(x-y)=-3n=3(-n), 因-n∈I, ∴<y,x>∈R, 所以R对称。

⑶传递性：任取x,y,z∈I,设xRy, yRz, (要证出xRz)
由R定义得x-y=3m, y-z=3n (m.n∈I)
x-z= (x-y)+(y-z)=3m+3n=3(m+n), 因m+n∈I, 所以xRz, 所以R传递。

关系性质的等价描述定理：设R为A上的关系，则
(1)R在A上自反当且仅当I A⊆R
(2)R在A上反自反当且仅当R∩I A＝∅
(3)R在A上对称当且仅当R＝R－1
(4)R在A上反对称当且仅当R∩R－1⊆I A
(5)R在A上传递当且仅当RοR⊆R
(1)必要性：已知R 自反⇒I A ⊆R
任取<x,y>∈I A ⇒x,y ∈A ∧x ＝y ⇒<x,y>∈R ，∴I A ⊆R
充分性：已知I A ⊆R ⇒R 自反
任取x ∈A ⇒<x,x>∈I A ⇒<x,x>∈R ，∴R 是自反的。

(2) 必要性：已知R 反自反⇒I A ∩R=∅
反证法：设I A ∩R ≠∅，
则有<x,y>∈I A ∩R ⇔<x,y>∈I A 且<x,y>∈R ⇔x=y 且<x,y>∈R 这与R 在A 上是反自反的相矛盾。

充分性：已知I A ∩R=∅⇒R 反自反
任取x ∈A ⇒<x,x>∈I A ⇒<x,x> ∉R ∴R 反自反。

(3) 必要性：R 对称⇒R ＝R -1
任取<x,y>∈R ⇔<y,x>∈R ⇔<x,y>∈R -1 ∴R ＝R -1
充分性：R ＝R -1⇒R 对称任取<x,y>∈R ⇒<x,y> ∈R -1⇒<y,x>∈R ∴R 是对称的。

(4)R反对称⇔R∩R-1⊆I
A
必要性：R反对称⇒R∩R-1⊆I A
任取<x,y>∈R∩R-1
⇔<x,y>∈R∧<x,y>∈R-1
⇔<x,y>∈R∧<y,x>∈R 由R反对称知⇒x＝y ⇔<x,y>∈I A∴R∩R-1⊆I A
充分性：R∩R-1⊆I A⇒R反对称
任取<x,y>∈R∧<y,x>∈R
⇔<x,y>∈R∧<x,y>∈R-1
⇔<x,y>∈R∩R-1
⇒<x,y>∈I A(R∩R-1∈I A)
⇔x＝y ∴R是反对称的。

（5）R传递⇔RοR⊆R
必要性：R传递⇒RοR⊆R
任取<x,y>∈RοR
⇔∃t(<x,t>∈R∧<t,y>∈R)
⇒<x,y>∈R (R传递性)，所以RοR⊆R。

充分性：RοR⊆R⇒R传递
任取<x,y>∈R∧<y,z>∈R
⇒<x,z>∈RοR (RοR⊆R)
⇒<x,z>∈R ，所以R传递。

自反性反自反性对称性反对称性传递性
集合表达式I A⊆R R∩I
A
＝∅R＝R－1R∩R－1⊆I A RοR⊆R
关系矩阵主对角线元
素全是1
主对角线元
素全是0
矩阵是对称矩阵
若r
ij
＝1,且i≠j,
则r
ji
＝0
对M2中1所在位
置，M中相应的
位置都是1
关系图每个顶点都
有环
每个顶点都
没有环
如果两个顶点之
间有边，一定是
一对方向相反的
边(无单边)
如果两点之间
有边，一定是
一条有向边(无
双向边)
如果顶点x
i
到x
j
有边，x
j
到x
k
有
边，则从x
i
到x
k
也有边
例3、设集合A ＝{1,2,3,4,5}，R 是A 上的关系。

定义为
R ＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,2>, <2,3>,<2,4>,<2,5>,
<3,3>,<3,4>,<3,5>,<4,4>, <4,5>,<5,5>}
试判断R 是：(1) A 上的自反关系；(2) A 上的对称关系；
(3) A 上的反对称关系；(4) A 上的传递关系。

解：
(1) R 是自反关系；(2) R 不是对称关系；(3) R 是反对称关系；(4) R 是可传递关系。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000110001110011110111112134
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小结设R是A上的关系
关系的五种性质定义
(1)R自反：∀x∈A→<x,x>∈R
(2)R反自反：∀x∈A→<x,x>∉R
(3) R对称：<x,y>∈R→<y,x>∈R
(4) R反对称：<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y
(5) R传递：<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R 关系性质的等价描述
(1)R自反⇔I A⊆R
(2)R反自反⇔R∩I A＝∅
(3)R对称⇔R＝R－1
(4)R反对称⇔R∩R－1⊆I A
(5)R传递⇔RοR⊆
R。