晶格振动量子化
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２ 晶 格 振 动 量 子 化
２ １ 微 振 动 理 论 ．
描述 ， 而最容易用具有一个波矢 、 频率和偏振 的行波 来表示 ， 称 为系统 的简正模 。其实这种振动是 晶格振动 ， 这种波称 为 格 波。每个 波的能量与具 有相 同的频率 的谐振 子一 样是量
子化 的。 １ 量 子 化 模 型
维普资讯
第２ ３卷
第 ５期
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ ＺＨ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｎ Ｅ ＲＳ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖｏ ． Ｎｏ ５ １２３ ．
２０ ０ ７年 １ ０月
０ｔ ０７ ｃ ．２ ｏ
关键 词 ： 晶格 振 动 ； 量子化 ； 简正 坐标
中图分 类 号 ：０ ３ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ６ １—１９ ２ ０ ０ ７ １７ ４ １（ ０ ７） ５—０ １ ０ ８—０ ２
晶格振动 的研究 ， 早是从 晶体热 学性质 开始 研究 的 ， 最
热运动在宏观性质上最 直接 的表现就是热容量 。早在 １ ９世 纪， 根据经典统计理论 的能量均 分定律 ， 比热容 与原子 振 把 动联 系起 来 ， 明 了杜 隆一铂 替 （ ｕｏｇ—ｐｔ ） 说 Ｄ ｌｎ ｅｉ 的经 验 规 ｔ
型 ， 出一 个 这 样 的 系 统 的运 动 ， 易 用 个 别 原 子 的 振 动 去 提 不
日自 斋＋∞ 一＝ ÷
哈密顿 日遵守薛定谔方程 ， 即
小 ＝Ｅ
（ ４ ）
（） ５
式 中 Ｅ 为薛定谔方程 的本征 态。
所以Ｅ ＝（ ＋ ） ｏ 即谐振子能量量子化了。 ｎ ÷ ｔ， ｕ
收 稿 日期 ：０ ７— １ ２ ２０ ０ — ０
作者简介 ： 罗国忠（ ９７一） 男 ， １７ ， 山西忻 州人 ， 忻州师范学院物电 系讲师 ， 从事 固体物理和 量子 力学研 究。
维普资讯
第 ５期 系统 的哈密顿量 为 ：
罗 国忠 ： 晶格振动量子化
晶格 振 动 量 子 化
罗 国忠
（ 忻州师 范学 院 ， 山西 忻州 ０４ ０ ） ３ ００
摘 要 ： 文章 首先 通 过研 究做 简谐振 动 的 简谐 振 子 提 出 了量子 化 模 型 ， 然后 引入 简 正 坐 标， 使其 简正 坐标 算符 化 ， 最后 得到 晶格 振动 的 量子化 。
通 过引入约化坐标 ， 系统 的哈 密顿量 ， ７ 式 可用 下列 简 使 （） 化 形式表示为
寺 （ 轰＋ ） 军
系统的薛定谔方程 日 ＝Ｅ ｔ ｇ 就是 ：
（） １ ４
Ｈ＝ ÷ ＋１ ｑ Ａ ｇ
其 中： ｇ＝（ １ｑ ， ，３） Ａ＝（ ３ ３ ｑ ，２ … ｑ ， Ⅳ Ａ ）Ⅳ Ⅳ
（） ８
＿毒 （Ｑ ，）（ ｈ ２ Ｑ ，Ｑ １ ２ … … ５ ）
＝
根据矩 阵代数 ， 一个实对称方阵 Ａ， 总能找到一个正交矩 阵 Ａ （ ， Ａ～Ａ ａ）使 Ａ＝对角方阵 。 。由于 Ｈ是二 次型的 ， 可以通 过正交变换 ， 引入简正坐标 ， 哈密顿量对角化 。 使 于是引入简 正坐标 Ｑ （ ， ， ３ 和正交变换 Ａ（ ， ＝１２ …，Ⅳ） ｏ ）有
从 经典力学 的观点 ， 晶格振 动 是一 个 典 型 的小振 动 问 题， 凡是力学体 系 自平 衡位置 发生微 小偏 移时 ， 该力 学体 系
的运 动都 是微 振动。现在从 晶体 的内禀性质 ， 即原子之 间的
相互作用 出发 ， 在简谐 近似下去讨 论晶格 的振动 。
ห้องสมุดไป่ตู้
从经典力学 的观点 ， 可知经典 的哈密顿量为 ：
１ ９
振 子系统。此时上述经典理论可 以直接 过渡到量子理论 ， 只
Ｈ＝ ＝ ＋ ÷∑ｇ＋ ÷∑Ａ ｊ ｑ
式中 Ａ 称为力常数 。
（ ７ ）
需将 Ｑ 和 看作 量子力学 中的共轭算符 ： ，
，
． 一 蠡 ＋ ｔ ＇ ｈ
（） １ ３
则系统 的哈密顿算符就是 ：
从量子力 学 的观 点 知 道 ： 简 谐 振 动 的弹 簧 振 子 就 成 了 做
振谐子 ， 此时广义坐标 、 广义 动量及其哈密顿量就算符化 即 ：
＿ ， ＿ ＋ Ｐ ＋Ｐ — ｉ ｈ ，
律， 但经典理论不涉及原 子 的振动频率 ， 任何 晶体 的 比热容
只决定于 系统 的 自由度 而与温度无关 ， 因此 不能解 释在低温 下， 比热容 随温 度 下 降 而减 小 的 实 验事 实 。１１ ９ ３年 ， 恩 玻 （ Ｂｒ ） 卡 门 （ ｏ ． ａｍａ ） 他们 发表 的 “ 于 比热 Ｍ． ｏ 和 ｎ Ｖ ｎ ｋｒ ｎ 在 关 容” 理论的 论文 中， 考虑 到 一个 比较 真实 的周 期性 晶格 模
， 广义动量为 ： Ｐ＝
＝ 。
引入约化坐标 ＝／ ｉ １ ， ３ ）则系统对应的动 “（ ＝ ， …，Ｎ ， ２
能为：＝ Ｔ ÷ ｇ
￡＝ ÷ 一
则： 哈密顿量
（ ２ ）
则 Ｎ个 原子 体系 的势能 函数 Ｖ ｇ ，：ｇ ） 以在平 衡 （ ｇ ， 可 位置附近展成 泰勒 级数 ：
＝ ＋
３ ｏ Ｖ） Ｎ
。
ｑ ｌ＋ —
日＝ ÷ ＋
式 中 ∞ ＝上 ， ∞是弹簧振子振动 的频 率
（） ３
｝ 手 ）Ｊ 阶 （ 军（ ｇ＋ 项 ６ ｌ高 ｇ ）
ｏ ｑｉ
下脚标 ０表明是平衡位置时所具有的值 Ｖ ＝ ， ｏ ０且有（ ） ０ ＝。
在简谐 近似下 ， 略去势能 高阶项 ， 仅仅保 留二 次项 ， 得到
Ｈ＝ ÷
的位移 ， ｋ是倔强系数 。 引入广义坐标 ： Ｗ： 拉格朗 日函数为 ：
１
（ １ ）
设晶体 中包含 Ⅳ个原 子 ， ３ 有 Ｎ个 自由度 ， 对应 ３ Ｎ个 位
式 中： ｍ是弹簧振子 的质 量 ， 弹簧振 子 在做 简谐 振动 时 是
移矢量分量 “（ ＝１２ … ，Ｎ） 描述 整个 系统 的运 动 ， ｉｉ ， ， ３ 来 它 表示原子对平衡位置 的偏离 。设 ｍ 为 “ 对应原子 的质 量 ，
２ １ 微 振 动 理 论 ．
描述 ， 而最容易用具有一个波矢 、 频率和偏振 的行波 来表示 ， 称 为系统 的简正模 。其实这种振动是 晶格振动 ， 这种波称 为 格 波。每个 波的能量与具 有相 同的频率 的谐振 子一 样是量
子化 的。 １ 量 子 化 模 型
维普资讯
第２ ３卷
第 ５期
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ ＺＨ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｎ Ｅ ＲＳ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖｏ ． Ｎｏ ５ １２３ ．
２０ ０ ７年 １ ０月
０ｔ ０７ ｃ ．２ ｏ
关键 词 ： 晶格 振 动 ； 量子化 ； 简正 坐标
中图分 类 号 ：０ ３ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ６ １—１９ ２ ０ ０ ７ １７ ４ １（ ０ ７） ５—０ １ ０ ８—０ ２
晶格振动 的研究 ， 早是从 晶体热 学性质 开始 研究 的 ， 最
热运动在宏观性质上最 直接 的表现就是热容量 。早在 １ ９世 纪， 根据经典统计理论 的能量均 分定律 ， 比热容 与原子 振 把 动联 系起 来 ， 明 了杜 隆一铂 替 （ ｕｏｇ—ｐｔ ） 说 Ｄ ｌｎ ｅｉ 的经 验 规 ｔ
型 ， 出一 个 这 样 的 系 统 的运 动 ， 易 用 个 别 原 子 的 振 动 去 提 不
日自 斋＋∞ 一＝ ÷
哈密顿 日遵守薛定谔方程 ， 即
小 ＝Ｅ
（ ４ ）
（） ５
式 中 Ｅ 为薛定谔方程 的本征 态。
所以Ｅ ＝（ ＋ ） ｏ 即谐振子能量量子化了。 ｎ ÷ ｔ， ｕ
收 稿 日期 ：０ ７— １ ２ ２０ ０ — ０
作者简介 ： 罗国忠（ ９７一） 男 ， １７ ， 山西忻 州人 ， 忻州师范学院物电 系讲师 ， 从事 固体物理和 量子 力学研 究。
维普资讯
第 ５期 系统 的哈密顿量 为 ：
罗 国忠 ： 晶格振动量子化
晶格 振 动 量 子 化
罗 国忠
（ 忻州师 范学 院 ， 山西 忻州 ０４ ０ ） ３ ００
摘 要 ： 文章 首先 通 过研 究做 简谐振 动 的 简谐 振 子 提 出 了量子 化 模 型 ， 然后 引入 简 正 坐 标， 使其 简正 坐标 算符 化 ， 最后 得到 晶格 振动 的 量子化 。
通 过引入约化坐标 ， 系统 的哈 密顿量 ， ７ 式 可用 下列 简 使 （） 化 形式表示为
寺 （ 轰＋ ） 军
系统的薛定谔方程 日 ＝Ｅ ｔ ｇ 就是 ：
（） １ ４
Ｈ＝ ÷ ＋１ ｑ Ａ ｇ
其 中： ｇ＝（ １ｑ ， ，３） Ａ＝（ ３ ３ ｑ ，２ … ｑ ， Ⅳ Ａ ）Ⅳ Ⅳ
（） ８
＿毒 （Ｑ ，）（ ｈ ２ Ｑ ，Ｑ １ ２ … … ５ ）
＝
根据矩 阵代数 ， 一个实对称方阵 Ａ， 总能找到一个正交矩 阵 Ａ （ ， Ａ～Ａ ａ）使 Ａ＝对角方阵 。 。由于 Ｈ是二 次型的 ， 可以通 过正交变换 ， 引入简正坐标 ， 哈密顿量对角化 。 使 于是引入简 正坐标 Ｑ （ ， ， ３ 和正交变换 Ａ（ ， ＝１２ …，Ⅳ） ｏ ）有
从 经典力学 的观点 ， 晶格振 动 是一 个 典 型 的小振 动 问 题， 凡是力学体 系 自平 衡位置 发生微 小偏 移时 ， 该力 学体 系
的运 动都 是微 振动。现在从 晶体 的内禀性质 ， 即原子之 间的
相互作用 出发 ， 在简谐 近似下去讨 论晶格 的振动 。
ห้องสมุดไป่ตู้
从经典力学 的观点 ， 可知经典 的哈密顿量为 ：
１ ９
振 子系统。此时上述经典理论可 以直接 过渡到量子理论 ， 只
Ｈ＝ ＝ ＋ ÷∑ｇ＋ ÷∑Ａ ｊ ｑ
式中 Ａ 称为力常数 。
（ ７ ）
需将 Ｑ 和 看作 量子力学 中的共轭算符 ： ，
，
． 一 蠡 ＋ ｔ ＇ ｈ
（） １ ３
则系统 的哈密顿算符就是 ：
从量子力 学 的观 点 知 道 ： 简 谐 振 动 的弹 簧 振 子 就 成 了 做
振谐子 ， 此时广义坐标 、 广义 动量及其哈密顿量就算符化 即 ：
＿ ， ＿ ＋ Ｐ ＋Ｐ — ｉ ｈ ，
律， 但经典理论不涉及原 子 的振动频率 ， 任何 晶体 的 比热容
只决定于 系统 的 自由度 而与温度无关 ， 因此 不能解 释在低温 下， 比热容 随温 度 下 降 而减 小 的 实 验事 实 。１１ ９ ３年 ， 恩 玻 （ Ｂｒ ） 卡 门 （ ｏ ． ａｍａ ） 他们 发表 的 “ 于 比热 Ｍ． ｏ 和 ｎ Ｖ ｎ ｋｒ ｎ 在 关 容” 理论的 论文 中， 考虑 到 一个 比较 真实 的周 期性 晶格 模
， 广义动量为 ： Ｐ＝
＝ 。
引入约化坐标 ＝／ ｉ １ ， ３ ）则系统对应的动 “（ ＝ ， …，Ｎ ， ２
能为：＝ Ｔ ÷ ｇ
￡＝ ÷ 一
则： 哈密顿量
（ ２ ）
则 Ｎ个 原子 体系 的势能 函数 Ｖ ｇ ，：ｇ ） 以在平 衡 （ ｇ ， 可 位置附近展成 泰勒 级数 ：
＝ ＋
３ ｏ Ｖ） Ｎ
。
ｑ ｌ＋ —
日＝ ÷ ＋
式 中 ∞ ＝上 ， ∞是弹簧振子振动 的频 率
（） ３
｝ 手 ）Ｊ 阶 （ 军（ ｇ＋ 项 ６ ｌ高 ｇ ）
ｏ ｑｉ
下脚标 ０表明是平衡位置时所具有的值 Ｖ ＝ ， ｏ ０且有（ ） ０ ＝。
在简谐 近似下 ， 略去势能 高阶项 ， 仅仅保 留二 次项 ， 得到
Ｈ＝ ÷
的位移 ， ｋ是倔强系数 。 引入广义坐标 ： Ｗ： 拉格朗 日函数为 ：
１
（ １ ）
设晶体 中包含 Ⅳ个原 子 ， ３ 有 Ｎ个 自由度 ， 对应 ３ Ｎ个 位
式 中： ｍ是弹簧振子 的质 量 ， 弹簧振 子 在做 简谐 振动 时 是
移矢量分量 “（ ＝１２ … ，Ｎ） 描述 整个 系统 的运 动 ， ｉｉ ， ， ３ 来 它 表示原子对平衡位置 的偏离 。设 ｍ 为 “ 对应原子 的质 量 ，