新绛县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

新绛县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ∙ 的最小值为
A 、4-
B 、3-
C 、4-+
D 、3-+
2． 已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（ ）
A ．3x ﹣1
B ．3x+1
C ．3x+2
D ．3x+4
3． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则
=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
4． 设集合3|01x A x x -⎧
⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）
A ．1a ≥
B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 5． 在平面直角坐标系中，若不等式组
（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
7． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
）
D ．（，）
8． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
10．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
11．函数y=|a|x﹣（a≠0且a≠1）的图象可能是（）
A． B．C．D．
12．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）
A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinx
C．f（x）=D．f（x）=x2|x|
二、填空题
13．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值．
14．已知数列{a n}满足a n+1=e+a n（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015=．
15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单
位：小时）间的关系为
0e kt
P P-
=（
P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
16．设数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，则{a n}的通项公式
a n=．
17．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f （x）＞0成立的x的取值范围是．
18．若全集，集合，则
三、解答题
19．求函数f（x）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
20．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．
21．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．
22．已知函数y=3﹣4cos（2x+），x∈[﹣，]，求该函数的最大值，最小值及相应的x值．
23．（本小题满分12分）椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B
是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，k P A·k PB＝－1
2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．
24．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．
新绛县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D.
【解析】设PO t =，向量PA 与PB 的夹角为θ，PA PB ==，
1
sin
2
t θ
=
，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-
，∴2
2
2cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t t θ==-->，2
22
3(1)PA PB t t t
∴=+->，依不等式PA PB ∴的最小值为3.
2． 【答案】A
【解析】∵f （x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1
∴f （x ）=3x ﹣1 故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B ．
4． 【答案】A 【解析】
考
点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 5．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
6．【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
9．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A，B
当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．
故选：D．
12．【答案】A
【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，
A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，
C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．
二、填空题
13．【答案】5﹣4．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
14．【答案】 2016 ．
【解析】解：由a n+1=e+a n ，得a n+1﹣a n =e ， ∴数列{a n }是以e 为公差的等差数列， 则a 1=a 3﹣2e=4e ﹣2e=2e ，
∴a 2015=a 1+2014e=2e+2014e=2016e ． 故答案为：2016e ．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
15．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
16．【答案】
．
【解析】解：∵数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n
．
故a 1=s 1=3，n ≥2时，a n =S n ﹣s n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2•3n ﹣1
，
故a n =
．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，数列的前n 项的和Sn 与第n 项an 的关系，属于中档题．
17．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
18．【答案】{|0＜＜1｝
【解析】∵，∴{|0＜＜1｝。

三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵，∴f′（x）=x2﹣4，
由f′（x）=x2﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，
∵x∈[0，3]，∴x=2，
x f′x f x
当x=0时，f（x）max=f（0）=4，
当x=2时，．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，，
∴a=2；
（Ⅱ）记，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∵恒成立，
∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，
∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，
则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），
平面CDG的一个法向量=（0，0，1），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，
故平面FDG 的一个法向量=（3，，1），
∴cos
=
=
，
∴二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：函数y=3﹣4cos （2x+），
由于x ∈[﹣，
]，
所以：
当x=0时，函数y min =﹣1 当x=﹣π时，函数y max =7
【点评】本题考查的知识要点：利用余弦函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．
23．【答案】 【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2
b
2＝1， ∴m ＝±b 2
a ，
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a c －a
＝－12，即b 2＝12a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1，
此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 2
1＋2k 2＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2
x .
24．【答案】
【解析】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．
∴a n=1，b n=1；
或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．
（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．
当时，c n=a n b n=（2n﹣1）3n﹣1，
∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1，
3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，
∴S n=（n﹣1）3n+1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。