高考数学 试题解析分项之专题10 圆锥曲线教师 文 试题

2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题(zhuāntí)10 圆
锥曲线--老师版
一、选择题:
1．〔2021年高考(ɡāo kǎo)新课标全国卷文科4〕设
是椭圆(tuǒyuán)的左、右焦点(ji
āodiǎn)，为直线上一点，是底角为的
等腰三角形，那么的离心率为〔〕
2.〔2021年高考新课标全国卷文科10〕等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于两点，；那么C的实轴长为〔〕
C()
D ()A()
B()
3. (2021年高考卷文科11)双曲线：
的焦点到双曲线
C的渐近线的间隔为2，那么抛物线的方程为
1
(A) (B) (C)(D)
【答案(dá àn)】D
【解析(jiě xī)】抛物线的焦点，双曲线的渐近线为，不妨(bùfáng)取，即
4. (2021年高考卷文科(wénkē)8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公一共焦点，M，N是双曲线的两顶点。

假设M，O，N将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3
B.2
C.
D. 2
5. (2021年高考卷文科(wénkē)6)双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P 〔2,1〕在C 的渐近线上，那么(nà me)C的方程为
A．-=1 B.-=1 C.-
2
20
y
=1 D.
2
20
x
-=1【答案(dá àn)】
A
【解析(jiě xī)】设双曲线C ：
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1的半焦距为，那么.
又 C 的渐近线为，点P 〔2,1〕在C 的渐近线上，，即.
又，，C的方程为
2
20
x
-
2
5
y
=1.
【考点定位】此题考察双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等根底知识，考察了数形结合的思想和根本运算才能，是近年来常考题型.
6.〔2021年高考卷文科12〕P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，那么点A的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8
7. (2021年高考卷文科(wénkē)5)双曲线
2
2
x
a
-
2
5
y
=1的右焦点为〔3,0〕，那么
(nà me)该双曲线的离心率等于
A B C D
8.(2021年高考(ɡāo kǎo)全国卷文科5)椭圆的中心(zhōngxīn)在原点，焦距为，一条准线为，那么该椭圆的方程为
〔A〕〔B〕
〔C〕〔D〕
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在x轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.
9.(2021年高考(ɡāo kǎo)全国卷文科10)、为双曲线的左、右焦点(jiāodiǎn)，点P在C上，，那么(nà
me)
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕
10.(2021年高考卷文科(wénkē)9)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，
并且经过点。

假设点到该抛物线焦点的间隔为，那么
〔〕
A、22
B、
C、4
D、
11. (2021年高考卷文科8)椭圆的左、右顶点分别是A，
B，左、右焦点分别是F
1，F
2。

假设|AF
1
|,|F
1
F
2
|,|F
1
B|成等比数列，那么此椭
圆的离心率为
A. 1
4
B. C.
1
2
D.
【答案(dá àn)】B
【解析】此题主要考察椭圆和等比数列的知识(zhī shi)，根据等比中项的性质可得结果.
12. (2021年高考卷文科(wénkē)16)对于(duìyú)常数、，“〞是“方程的曲线是椭圆〞的〔〕
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
二、填空题:
13.〔2021年高考卷文科15〕双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P
为双曲线上一点，假设P F
1⊥P F
2
,那么∣P F
1
∣+∣P F
2
∣的值是
___________________.
14.(2021年高考卷文科(wénkē)11)双曲线与双曲
线有一样(y īyàng)的渐近线，且
的右焦点(ji āodi ǎn)为
,那么(nà me)
【答案】1，2
【解析】双曲线的
渐近线为，而的渐近线为
x a
b
y ±=，所以有
，
，又双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点为
，所以，又，即
，所以。

15.〔2021年高考卷文科14〕过抛物线
的焦点
的直线交该抛物线于
,A B 两点，假设
，那么=______
16.〔2021年高考卷8〕在平面(píngmiàn)直角坐标系中，假设(jiǎshè)双曲线的离心率(xīn lǜ)为，那么(nà me)m的值是▲．
17.(2021年高考卷文科15)椭圆为定值，且的的左焦点为F，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，那么
该椭圆的离心率是______。

2
【答案】
3
【解析】根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又
【考点(kǎo diǎn)定位】此题考察对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归(huíguī)课本的新课标理念.
18.(2021年高考卷文科(wénkē)16)设为正实数，现有(xiàn yǒu)以下命题：
①假设，那么；
②假设，那么1
a b
-<；
③假设，那么；
④假设，那么||1
a b
-<。

其中的真命题有____________。

〔写出所有真命题的编号〕
19.(2021年高考卷文科14)设P为直线与双曲线
F是左焦点，垂直于x轴，那么双曲
左支的交点，
1
线的离心率
20. (2021年高考卷文科(wénkē)14)右图是抛物线形拱桥(gǒngqiáo)，当水面在时，拱顶离水面(shuǐ miàn)2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。

三、解答(jiědá)题:
21.(2021年高考卷文科21) (本小题满分是13分)
如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的HY方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的
交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求
的最大值及获得最大值时m的值.
当过点时，
，
当l 过点时，. ①当
时，有
，
，
其中(qízhōng)，由此知当，即
时，
||
||
PQ ST 获得(huòdé)最大值
.
②由对称性，可知(k ě zh ī)假设，那么(nà me)当
时，
||
||
PQ ST 获得最大值2
55
. ③当时，，
，
由此知，当时，
||||PQ ST 获得最大值2
55
. 综上可知，当
和0时，
||||PQ ST 2
55
. 22. (2021年高考卷文科20)〔本小题满分是14分〕
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F 1〔-1,0〕，且点P 〔0,1〕在C 1上。

（1）求椭圆C
1
的方程；
（2）设直线(zhíxiàn)l同时与椭圆C
1和抛物线C
2
：24
y x
相切，求直线
(zhíxiàn)l的方程.
23. (2021年高考卷文科(wénkē)22)〔此题满分(mǎn fēn)是14分〕如图，
在直角坐标系xOy中，点P〔1，1
2
〕到抛物线C：=2px〔P＞0〕的准线的
间隔为。

点M〔t，1〕是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

〔1〕求p,t 的值。

〔2〕求△ABP 面积(miàn jī)的最大值。

设点P 到直线(zhíxiàn)AB 的间隔 为d ，那么
，设ABP 的面积(miàn jī)为S ，那么
.
由，得
.
令
，
，那么(nà me).
设2(12)S t t =-，，那么
.
由
，得
，所以
，故∆ABP 的面积的最大值为.
【考点定位】此题主要考察了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考察解析几何的根本思想方法和运算求解才能.
24.(2021年高考卷文科(wénkē)21) (本小题满分(mǎn fēn)是12分) 如图，动点M与两定点(dìnɡ diǎn)、构成(gòuchéng)，且直线的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C。

〔Ⅰ〕求轨迹C的方程；
〔Ⅱ〕设直线与轴交于点P，与轨迹C相交于点，且，求的取值范围。

（2）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
此时
所以
所以(suǒyǐ)
25. (2021年高考卷文科(wénkē)21)〔本小题满分(mǎn fēn)是13分〕
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系xOy中，中心在原点，离心率为1
2
的椭圆
E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；
〔Ⅱ〕设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为1
2
的直线l1，l2.当直线
l
1
，l2都与圆C相切时，求P的坐标.
〔Ⅱ〕设点的坐标为，的斜分率分别为那么
12
,l l的方程分别为且由与圆
相切，得
，
即
同理可得.
从而是方程的两个实根，于是
①
且
26. (2021年高考卷文科(wénkē)21)〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕
设A是单位(dānwèi)圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D 是直线l与x轴的交点(jiāodiǎn)，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA 丨〔m>0,且m≠1〕.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

〔1〕求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

〔2〕过原点且斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？假设存在，请说明理由.
因为(yīn wèi)，所以(suǒyǐ)
当时，曲线(qūxiàn)是焦点(jiāodiǎn)在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；
当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，.
解法(jiě fǎ)2：如图2、3，，设，，那么(nà me)，，
因为(yīn wèi)，两点在椭圆(tuǒyuán)C上，所以两式相减可得
. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故. 于是由③式可得
27.(2021年高考卷文科(wénkē)21)〔本小题满分(mǎn fēn)是12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分〕
椭圆(tuǒyuán)的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点(dǐngdiǎn)为A，左、右焦点分别为，线段
的中点分别为，且△
是面积为4的直角三角形。

〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率和HY方程；
〔Ⅱ〕过作直线交椭圆于，
，求△的面积
【答案】〔Ⅰ〕
2
20
x
+=1〔Ⅱ〕
，
〔*〕 设 那么(nà me) 是上面(shàng miɑn)方程的两根，
因此
又
，所以(su ǒy
ǐ)
由22PB QB ，知 ，即 ，解得
28.〔2021年高考新课标全国(quán ɡuó)卷文科20〕〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕
设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点(jiāodiǎn)为F，准线为l，A为C上一点(yīdiǎn)，以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
〔I〕假设∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
〔II〕假设A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公一共点，求坐标原点到m，n间隔的比值.
29.(2021年高考卷文科(wénkē)19)〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕
椭圆(tuǒyuán)〔a>b>0〕,点P〔,〕在椭圆(tuǒyuán)上。

〔I〕求椭圆的离心率。

〔II〕设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，假设Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。

30.〔2021年高考卷文科(wénkē)20〕(本小题满分(mǎn fēn)是12分) 如图，动圆,1<t<3,
与椭圆(tuǒyuán)：相交(xiāngjiāo)
于A，B，C，D四点，点分别为
2
C的左，右
顶点。

(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积获得最
大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线AA
1与直线A
2
B交点M的轨迹方程。

【解析】
【考点(kǎo diǎn)定位】此题主要考察直线、圆、椭圆(tuǒyuán)的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考察函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解才能和推理论证才能，难度较大.
31.〔2021年高考卷文科(wénkē)20〕〔本小题满分(mǎn fēn)是13分〕
如图，分别是椭圆C：+=1〔〕的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，
A=60°.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率； 〔Ⅱ〕△A
的面积(miàn jī)为40
，求,a b 的值.
[解析(ji ě x ī)] 〔Ⅰ〕由题1F A 2F =60°，那么(nà me)
，即椭圆(tu ǒyuán)C 的离心率为
12。

〔Ⅱ〕法一：因△A B F 1的面积为403，设
，又面积公式
，又直线
， 又由〔Ⅰ〕知，联立方程可得，整理
得
，解得
，
，所以
，解得。

法二：设
；那么
，那么在
中，由余弦定理可得
32. (2021年高考卷文科21)〔本小题满分是12分〕 如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2=2py 〔p
＞0〕上。

（1）求抛物线E的方程(fāngchéng)；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。

证明以PQ为直径(zhíjìng)的圆恒过y轴上某定点。

【解析(jiě xī)】
〔1〕依题意(tí yì),设点B〔x，y〕，那么
x=83·=
Y=83·=12 ，∴B〔43，12〕在抛物线上，∴=2p×12，∴p=2，
抛物线E的方程为=4y
X≠0. ∵Y=,,
〔2〕设点P〔,〕,
33．(2021年高考卷文科19) (本小题一共14分)
椭圆(tuǒyuán)C：
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1〔a＞b＞0〕的一个(yīɡè)顶点为A 〔2,0〕，
离心率为，直线y=k(x-1)与椭圆(tuǒyuán)C交与不同的两点M,N 〔Ⅰ〕求椭圆(tuǒyuán)C的方程
〔Ⅱ〕当△AMN的面积为时，求k的值
34. 〔2021年高考卷19〕〔本小题满分是16分〕 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
．
和
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
〔1〕求椭圆(tuǒyuán)的离心率；
〔2〕设A ，B 是椭圆(tuǒyuán)上位于x 轴上方(shànɡ fānɡ)的两点，且直线
与直线(zhíxiàn)平行，
与
交于点P ．
〔i 〕假设
，求直线1AF 的斜率；
A
B P
O
x y
〔第19题〕
〔ii 〕求证：是定值．
【解析】〔1〕由题设知，
，由点(1)e ，在椭圆上，得
，∴
,
由点32e ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
，
在椭圆上，得
∴椭圆的方程为
.
〔ii 〕证明(zhèngmíng)：∵1AF ∥2BF ，∴
，即。

∴,
由点在椭圆(tuǒyuán)上知，，
∴
,
同理。

,
∴
由①②得，，，
∴
,
∴12PF PF 是定值.
35.(2021年高考全国(quán ɡuó)卷文科22)〔本小题满分(m ǎn f ēn)是12分〕〔注意：在试题卷上答题无效〕 抛物线
与圆
有一个(y ī ɡè)公一共
点A ，且在点A 处两曲线的切线(qi ēxiàn)为同一直线l . 〔Ⅰ〕求；
〔Ⅱ〕设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为，
求D 到l 的间隔 。

【解析】
36. (2021年高考卷文科(wénkē)20)〔本小题满分(mǎn fēn)是13分〕
椭圆(tuǒyuán)
，椭圆(tuǒyuán)2C 以的长轴为短轴，且与1
C 有一样的离心率。

〔1〕求椭圆2C 的方程； 〔2〕设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，，求直线的方程
点评：此题主要考察曲线与方程、椭圆的HY 方程，直线与曲线、直线与直线，圆锥曲线的综合问题.掌握通性通法(tōnɡ fǎ)是关键.
37. (2021年高考卷文科(wénkē)20)〔本小题满分(m ǎn f ēn)是13分〕 三点O 〔0,0〕，A 〔-2,1〕，B 〔2,1〕，曲线C 上任意一点(y ī di ǎn)M 〔x,y 〕满足
〔1〕求曲线C 的方程；
〔2〕点Q 〔x 0,y 0〕(-2<x 0<2)是曲线C 上动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，
点P 的坐标是〔0，-1〕，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比。

【解析】〔1〕，，,
代入式子可得整理得
38. (2021年高考卷文科(wénkē)22)〔此题满分是16分〕此题一共(yīgòng)有3个小题，第1小题满分是5分，第2小题满分是5分，第3小题满分是6分
在平面(píngmiàn)直角坐标系中，双曲线.
〔1〕设F是C的左焦点(jiāodiǎn)，M是C右支上一点，假设，求点M的坐标；
〔2〕过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
〔3〕设斜率为〔〕的直线l交C于P、两点，假设l与圆相切，求证：⊥OQ.
【解析】
【考点(kǎo diǎn)定位】此题主要考察双曲线的概念、HY方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别(tèbié)要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且互相垂直，这些(zhèxiē)性质的运用可以大大节解题时间是，此题属于中档题．
内容总结
（1）2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题10 圆锥曲线--老师版
一、选择题:
1．〔2021年高考新课标全国卷文科4〕设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，那么的离心率为〔〕
2. 〔2021年高考新课标全国卷文科10〕等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，。