2019年§111 不等关系 12 不等关系与不等式语文

大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
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第三章 不等式
2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a－b>0⇔a > b； a－b＝0⇔a ＝ b； a－b<0⇔a < b.
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第三章 不等式
3．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b ＜ a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a ＞ c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc； a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc.
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第三章 不等式
又316＜1b＜115，所以1326＜ab＜6105. 所以13＜ab＜4. 所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.
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第三章 不等式
本例条件不变，试求 3a－2b 的取值范围． 解：因为 12＜a＜60，15＜b＜36， 所以 36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30. 所以－36＜3a－2b＜150.
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第三章 不等式
利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一 次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等 价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大 其取值范围．
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第三章 不等式
(2)证明：因为 c<d<0. 所以－c>－d>0，又因为 a>b>0， 所以 a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， 所以 0<a－1 c<b－1 d， 又因为 e<0，所以a－e c>b－e d.
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第三章 不等式
利用不等式的性质求代数式的取值范围 已知 12＜a＜60，15＜b＜36，求 a－b 和ab的取值范围． 【解】 因为 15＜b＜36， 所以－36＜－b＜－15. 因为 12＜a＜60， 所以 12－36＜a－b＜60－15. 所以－24＜a－b＜45.
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第三章 不等式
2.已知 a＞b＞0，试比较 aabb 与 abba 的大小． 解：因为aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b， 因为 a＞b＞0，所以 a－b＞0，ab＞1， 所以aba－b＞1，故 aabb＞abba.
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第三章 不等式
不等式的基本性质
第三章 不等式
(1)作差法的一般步骤 ①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差” 化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于 0，等于 0，还 是小于 0；④得出结论，其中“定号”是目的，“变形”是关键． (2)作商法的一般步骤 比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可采用 作商法比较，其步骤为作商→变形→判断(与 1 比较大小)．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类 问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立 的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则．
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第三章 不等式
(1)运用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭 想当然随意捏造性质； ②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注 意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要 简单，便于验证计算．
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第三章 不等式
系Q
解析：选 C.P2＝( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，Q2＝( a＋b)2＝a＋
b.因为 a，b＞0，所以 P2＞Q2.所以 P＞Q.
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第三章 不等式
已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，则 b2－4ac 的值的符号为 ________． 解析：因为 a＋b＋c＝0， 所以 b＝－(a＋c)， 所以 b2＝a2＋c2＋2ac. 所以 b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2. 因为 a＞c，所以(a－c)2＞0. 所以 b2－4ac＞0， 即 b2－4ac 的符号为正． 答案：正
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第三章 不等式
3.(1)已知 a＋b>0，b<0，那么 a，b，－a，
－b 的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
(2)已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c>b－e d.
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第三章 不等式
解：(1)选 C.法一：因为 A、B、C、D 四个选项中，每个选项 都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法． 令 a＝2，b＝－1， 则有 2>－(－1)>－1>－2， 即 a>－b>b>－a. 法二：因为 a＋b>0，b<0， 所以 a>－b>0，－a<b<0， 所以 a>－b>0>b>－a， 即 a>－b>b>－a.
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第三章 不等式
比较两代数式的大小时不论是作差法还是作商法比较大小，在 对变形后的式子进行判断时，由于式中含有字母取值不同会导 致结果不同的应进行分类讨论，分类时应做到不重不漏．
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第三章 不等式
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x(单位：分)
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第三章 不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第三章 不等式
设 a，b＞0，P＝ a＋ b，Q＝ a＋b，则 P 与 Q 的大小关
(1)以下结论一定能推出 a<b 的是( )
A．(a－b)a2<0
B．a2<b2
C.1a>1b
D．ac<bc
(2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
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第三章 不等式
【解】 (1)选 A.对于 A 项，显然 a2>0，必有 a<b；对于 B 项， a2<b2⇔|a|<|b|，当 a，b 均为负值时，有 a>b；对于 C 项，若 a>0， b<0，有1a>1b，但不能推出 a<b；对于 D 项，若 c<0，显然有 a>b. (2)证明：因为 bc－ad≥0，所以 ad≤bc， 因为 bd>0，所以ab≤dc， 所以ab＋1≤dc＋1，所以a＋b b≤c＋d d.
②若 a>b>0，则ab>1，a－b>0，由指数函数的性质，
可知ab
a－b
2 >1，所以
aabb>(ab)a＋2 b；
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第三章 不等式
③若 0<a<b，则 0<ab<1，a－b<0，由指数函数的性质，
可知ab
a－b
2 >1，所以
aabb>(ab)a＋2 b.
综上所述，aabb≥(ab)a＋2 b.
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第三章 不等式
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面 温度的 4.5 倍还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足 的关系式是________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度，即 4.5 t<28 000. 答案：4.5t<28 000.
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第三章 不等式
4.(1)若 1＜α＜3，－4＜β＜2，则 α＋|β|的取
值范围是( )
A．(－3，5)
B．(－3，7)
C．(1，7)
D．(1，5)
(2)设 x，y 为实数，满足 3≤xy2≤8，4≤xy2≤9，则xy43的最大值
是________．
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第三章 不等式
解析：(1)因为－4＜β＜2，所以 0≤|β|＜4，又 1＜α＜3，所以 1
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第三章 不等式
1．对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数 a，b 有 a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b.这是比较两个 实数大小的依据，也是证明不等式的基础． (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运 用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减 弱、条件和结论之间的相互联系． 2．运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成 立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的 性质.
＜α＋|β|＜7.故选 C. (2)由 4≤xy2≤9，得 16≤xy24≤81. 又 3≤xy2≤8，
所以18≤x1y2≤13， 所以 2≤xy43≤27. 所以xy43的最大值是 27. 答案：(1)C (2)27
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第三章 不等式
思想方法 分类讨论思想在比较两代数式大小中的应用
已知
a，b>0，试比较
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第三章 不等式
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)． (8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
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第三章 不等式
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
5x＋4y≤25， 【解】 根据题意可得x≥1，x∈N，
y≥1，y∈N.
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第三章 不等式
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示.
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第三章 不等式
用不等式(组)表示不等关系 配制 A，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一 剂 A 种药需甲料 3 克，乙料 5 克；配一剂 B 种药需甲料 5 克， 乙料 4 克．今有甲料 20 克，乙料 25 克，若 A，B 两种药至少 各配一剂，设 A，B 两种药分别配 x，y 剂(x，y∈N)，请写出 x， y 所满足的不等关系． 3x＋5y≤20，
aabb
a＋b
与(ab) 2 的大小．
【解】
ab
a b ＝a b a＋b
a－a＋b b－a＋b
2
2
（ab） 2
＝aa－2 bbb－2 a＝aba－2 b.
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第三章 不等式
①若 a＝b>0，则ab＝1，a－b＝0，
所以ab
a－b
2 ＝1，所以
aabb＝(ab)a＋2 b；
第三章 不等式
作差(商)法比较两数(式)的大小 比较下列各式的大小： (1)当 x≤1 时，比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小． (2)当 x，y，z∈R 时，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大 小．
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第三章 不等式
【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 因为 x≤1， 所以 x－1≤0， 而 3x2＋1>0. 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1.
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第三章 不等式
(2)因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以 5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
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第三章 不等式
§1 不等关系
1．1 不等关系 1．2 不等关系与不等式
第三章 不等式
1．不等式的有关概念 (1)用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式，形成 不等关系的式子叫作不等式．
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第三章 不等式
(2)常见的文字语言与数学符号之间的转化如下表
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号