陕西商洛市柞水高中数学第二章平面向量23数乘向量学案北师大版4.
陕西省商洛市柞水县高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量学案北师大版4 精品
从位移、速度、力到向量班级 姓名 组号【学习目标】1、进一步认识位移、速度、力这三个物理矢量，了解向量的实际背景，并能区分矢量、有向线段和向量这三个概念；2、理解向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量（平行向量）的概念；3、会用有向线段和希腊字母表示向量。
【教学重点】向量的概念和几何表示【教学难点】对自由向量的理解【学习过程】一、自学预习（一）阅读课本第73页进一步认识位移、速度、力这三个物理矢量，说说什么是矢量？（二）阅读课本第74页—75页练习前的内容，思考回答下列概念：1、向量：2、有向线段：3、向量的模：4、零向量：5、单位向量：6、相等向量：7、共线向量（平行向量）：8、相反向量：二、合作探究（深化理解）探究一：判断下列命题是否正确：（1）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
（ ）（2）AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； （ ）(3)若//a b ，//b c ,则//a c ； （ ）（4）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量． ( )探究二：给出下列六个命题：○1两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；○3若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形；○4平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ；○5若m n = ，n k = ，则m k = ；(6)相等的向量一定是共线向量 (7)单位向量都相等其中不正确的命题是探究三 如图O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形。
在图中所示的向量中：（1）分别写出与，相等的向量；（2）写出与共线的向量；（3）写出与AO 的模相等的向量；（4）向量AO 与CO 是否相等？三、达标检测1.下列各量中不是向量的是 （ ）（考察向量的概念）A. 浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是（ ） （A ）零向量是没有方向的；（B ）向量0 =0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的。
陕西省柞水中学高中数学必修四(北师大版)第二章学案 向量应用举例(一)
【导学案】平面向量的应用举例（一） 班级 姓名 组号 编写人：党显武 审核人：王松涛【学习目标】1、 了解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量；2、 会运用平面向量的方法解决解析几何中的点到直线的距离问题公式的推导，直线平行与垂直问题，直线的夹角问题；3、 体会运用向量解决解析几何问题的方法思路。
【重点难点】重点：向量法解决解析几何问题难点：解析几何问题向向量的转化【知识链接】 【学习过程】一、预习自学（一）直线的方向向量与法向量得定义： 1、定义：若一个非零向量所在的直线与直线l 平行或共线，则把这个非零向量m 叫直线l 的一个方向向量；与直线l 的方向向量m 垂直的非零向量n 叫直线l 的一个法向量。
2、通常直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个方向向量记作(,)m B A =-.若斜率k 存在，也可记为m =（1，k ）一个法向量(,)n A B =,也可记为1(1,)n k=-(二)认真阅读课本P101—102页内容，归纳总结向量法推导点到直线的距离公式的过程步骤. 第一步、确定两个向量：1、直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个法向量为(,)n A B =2、在直线上任选一点(,)P x y ，则向量MP =第二步、确定夹角：过点M 作MD ⊥l 于D,则在Rt MPD ∆中， cos PMD ∠=cos ,MP n =第三步、解三角形：在cos Rt MPD d MP PMD ∆=•∠中，=二、合作探究问题一：用向量法求点P （1，2）到直线:210l x y ++=的距离。
问题二： 已知点(1,2),(3,4),(2,5)A B C --,求经过点A 且垂直于直线BC 的直线l 的方程. 问题三：已知两条直线12:(23)10,:(25)(6)70,l mx m y l m x m y ---=+++-=分别求实数m 的值，使得两直线（1） 平行； （2）垂直三、达标检测1、直线:34120l x y -+=的一个方向向量是， ；一个法向量是 .2、12:20,:20tan .l x y l x y θθ+-=-=的夹角为，试求3、向量(5,1):310m l x my m =-+-==是直线的法向量，则实数。
高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修4
3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1 数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量：①定义：λa 是一个向量； ②长度：λ|a |； ③方向：(2)数乘向量的运算律：①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ，μ∈R )； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.(×)(2)若a 、b 是非零向量，λ，μ∈R .那么λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.(√) (3)0·AB →＝0.(×)知识点2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 【预习评价】1．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？提示 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线． 2．如果向量a ，b 共线，一定有b ＝λa (λ∈R )吗？ 提示 不一定．当a ＝0，b ≠0时，λ不存在.题型一 向量数乘的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3α模的23倍；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量． 解 (1)真命题．∵2a ＝a ＋a 与a 方向相同， 且|2a|＝|a ＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a ＝(－a )＋(－a )与－a 同方向，3a ＝a ＋a ＋a 与a 同方向，由于－a 与a 反方向，故－2a 与3a 反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是3a 模的23倍． (3)真命题．∵－2a ＋2a ＝(－2＋2)a ＝0，故－2a 与2a 是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b －a )与b －a 是一对相反向量，a －b 与b －a 是一对相反向量，∴－(b －a )与a －b 是相等的．规律方法 对数乘向量的四点说明 (1)λa 的实数λ叫作向量a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】 已知λ，μ∈R ，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①λ＜0，a≠0时，λa 与a 的方向一定相反； ②λ＞0，a≠0时，λa 与a 的方向一定相同； ③λμ＞0，a≠0时，λa 与μa 的方向一定相同； ④λμ＜0，a≠0时，λa 与μa 的方向一定相反． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 由λ与向量a 的积λa 的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa 与μa 或者都与a 同向，或者都与a 反向，∴λa 与μa 同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，∴λa 与μa 反向，故③④也正确．答案 D题型二 向量的线性运算 【例2】 计算下列各式： (1)4(a ＋b )－3(a －b )；(2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )；(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． 解 (1)4(a ＋b )－3(a －b )＝4a －3a ＋4b ＋3b ＝a ＋7b . (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c ) ＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c .(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b ) ＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 【训练2】 若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )的结果为( ) A ．－a B ．－4b C ．cD ．a －b解析 3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3－2)a ＋(6－6－2)b －2c ＝a －2(b ＋c )＝a －2a ＝－a . 答案 A方向1 证明向量共线【例3－1】 已知两个非零向量a 与b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝2a －4b ，求证：A 、B 、D 三点共线． 证明 因为BD →＝BC →＋CD →＝(2a ＋8b )＋(2a －4b )＝4a ＋4b ＝4(a ＋b )＝4AB →，所以根据平行向量基本定理，BD →与AB →共线． 又因为BD →与AB →有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． 方向2 利用向量共线求参数值【例3－2】 若a 、b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，a 、tb 、13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b ，化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－t b . ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ－1＝0，λ3－t ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，三向量的终点共线．方向3 共线向量在平面几何中的应用【例3－3】 如图所示，已知D ，E 分别是边AB ，AC 的中点． 求证：DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.证明 DE →＝AE →－AD →，BC →＝AC →－AB →. ∵D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， ∴AE →＝12AC →，AD →＝12AB →，∴DE →＝12(AC →－AB →)＝12BC →，∴DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.规律方法 应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.课堂达标1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3b C ．|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 答案 C2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线． 答案 C3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案 24．若AC →＝2CB →，AB →＝λBC →，则λ＝________. 解析 ∵AB →＝AC →＋CB →＝2CB →＋CB →＝3CB →，∴λ＝－3. 答案 －35．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.课堂小结1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a |解析 显然b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 答案 D2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 答案 B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案 C4．已知向量a ＝e 1＋3e 2，b ＝－12e 1－32e 2，则a 与b 的关系是________． 解析 ∵a ＝－2b ，∴a∥b .答案 a∥b5．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .答案421a －17b ＋17c 6.如图，已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线． 因为AB →＝OB →－OA → ＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ， 所以A 、B 、C 三点共线．7．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)． 能力提升8．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( ) A.r RB ．－r RC ．－R rD.R r解析 ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－R r. 答案 C9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 解析 ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13， ∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得：AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .答案 D10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.答案 2311．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p ＝________.解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 －112.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．13．(选做题)过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy ≠0，试求1x ＋1y的值．解 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AG →＝23AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋b＝13(a ＋b )．∴GD→＝AD →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ，ED →＝AD →－AE →＝x a －y b . ∵GD →与ED →共线，∴GD →＝λED →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ＝xλa －yλb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝λx ，13＝λy ，消去λ得x －1313＝x y，即1x ＋1y＝3.。
陕西商洛市柞水高中数学第二章平面向量27向量应用举例(二)学案北师大版4.
F C B A 向量的应用（二）
班级 姓名 组号
【学习目标】
1、 会运用向量解决平面几何的平行、垂直、长度问题；
2、 会运用向量解决物理学中的矢量的合成分解问题，功的计算问题。
【重点难点】
重点：向量在平面几何、物理学中的运用问题的解法
难点：向量与平面几何的联系
【学习过程】
一、自主学习——认真阅读课本P102—103的内容，总结如下问题：
1、利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1） 建立平面几何与向量的联系；
（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
2、物理学中的矢量位移、速度、加速度、力都是数学中的 ；矢量的合成与分解即是向量的 ；功是向量的 。
二、合作探究：
问题1、在单位圆中用向量法证明两角差的余弦公式：
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,R,R αβ∈∈
问题2 、如图所示，已知AD ，BE ，CF 分别是ABC ∆的三条高，求证：AD ，BE ，CF 相交于同一点。
问题3、已知△ABC 中。
∠C 是直角，CA=CB,D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE=2EB,求证：AD ⊥CE.
3、课本第109页第12题
三、课堂检测
心。
2、已知0
2,3,60ABC BC AC C ∆===中，，求AB 边长。
3、用向量的方法证明勾股定理
4、课本第109页第11题
四、我的疑惑：。
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量导学案北师大版必修4
2.3.1 数乘向量问题导学1．数乘向量定义理解活动与探究1a ，b 是两个非零向量，判断以下各说法是否正确，并说明理由．(1)2a 方向与a 方向一样，且2a 模是a 模2倍；(2)－2a 方向与5a 方向相反，且－2a 模是5a 模25； (3)－2a 与2a 是一对相反向量；(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．迁移与应用λ，μ∈R ，那么在以下各命题中，正确命题共有( )．(1)当λ＜0，a ≠0时，λa 与a 方向一定相反；(2)当λ＞0，a ≠0时，λa 与a 方向一定一样；(3)当λμ＞0，a ≠0时，λa 与μa 方向一定一样；(4)当λμ＜0，a ≠0时，λa 与μa 方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 数乘向量定义几点说明：(1)数乘向量仍是一个向量．λa 中实数λ叫做向量a 系数．(2)实数与向量可以求积，但不能进展加减运算．(3)2．向量线性运算及线性表示活动与探究2(1)计算以下各式：①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )；②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． (2)设x ，y 是未知向量．①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －y ＝a ，x －12y ＝b .迁移与应用1．计算以下各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )；(2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )．2．向量a ，b 不共线．(1)实数x ，y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，求出x ，y 值；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 向量x ，y 用a ，b 表示出来．向量线性运算及解含未知向量方程(组)方法：(1)向量线性运算要遵循数乘向量运算律．(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量线性运算．(3)解实数方程(组)移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量方程或方程组．3．向量共线判定定理与性质定理应用活动与探究3设两个非零向量e 1与e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 值．迁移与应用两个非零向量a ，b 不共线，OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ．(1)证明A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．活动与探究4如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 与CD 中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．迁移与应用证明：连接三角形两边中点线段平行于第三边且等于第三边一半．共线向量定理应用(1)共线向量判定定理与性质定理，可直接用于判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数取值．(2)共线向量判定定理为证明三点共线与两直线平行提供了一种方法．①证明三点共线，即转化为有公共点两条有向线段表示向量共线；②证明两直线平行，那么是转化为无公共点两直线上有向线段所表示向量共线．当堂检测1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( )．A ．a －2bB ．－2bC ．0D ．b －a2．λ，μ∈R ，下面式子正确是( )．A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．假设b ＝λa ，那么|b |＝λ|a |3．点C 在直线AB 上，且AC→＝3AB →，那么BC →等于( )． A ．－2AB → B ．13AB → C ．－13AB → D ．2AB → 4．e 1，e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，当k ＝________时，a ，b 共线．5．如下图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，AC ，BC 中点，求证：四边形为平行四边形．课前预习导学【预习导引】1．(1)向量 λa (2)|λ||a | (3)一样 相反 0 0 (4)伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa ＋μa ③λa ＋λb预习交流1 提示：(1)向量线性运算包括向量加法、减法、实数与向量积．(2)向量线性运算结果是向量，实数与代数式运算结果是实数或代数式，尽管它们运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数运算律学习向量有关运算律时务必经过严格证明前方可使用．预习交流2 原式＝(4－3)a ＋(－4－3－1)b ＝a －8b .2．(1)b ＝λa (2)b ＝λa 预习交流3 提示：假设a ＝0，当b ＝0时，λ值不唯一； 当b ≠0时，不存在λ使b ＝λa .预习交流4 13 －32课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：(1)正确．∵2＞0，∴2a 与a 方向一样．又|2a |＝2|a |，∴(1)正确．(2)正确．∵5＞0，∴5a 与a 方向一样，且|5a |＝5|a |.而－2＜0，∴－2a 与a 方向相反，且|2a |＝2|a |.∴－2a 与5a 方向相反，且－2a 模是5a 模25.∴(2)正确．(3)正确．依据相反向量定义及实数与向量乘积定义进展判断．(4)错误．∵a －b 与b －a 是一对相反向量，∴a －b 与－(b －a )是一对相等向量．∴(4)错误．迁移与应用 D 解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a 积λa 方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa 与μa 都与a 同向或者都与a 反向，所以λa 与μa 同向．当λμ＜0时，λ与μ异号，λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，所以λa 与μa 方向相反，故(3)(4)也正确，应选D.活动与探究2 解：(1)①原式＝3a －6b ＋3c －2c －b ＋a ＝4a －7b ＋c .②原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25－23＋415a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－25－43＋2615b ＝0×a ＋0×b ＝0.(2)①原方程可变为5x ＋5a ＋3x －3b ＝0，即8x ＝－5a ＋3b ，∴x ＝－58a ＋38b . ②把第一个方程－2倍与第二个方程相加，得32y ＝－2a ＋b ， 从而y ＝－43a ＋23b . 代入原来第二个方程得x ＝－23a ＋43b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b . 迁移与应用 1．解：(1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b ； (2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－32b ＝－16a ； (3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝(6－6)a －(8＋3)b ＋(2＋9)c ＝－11b ＋11c . 2．解：(1)∵a ，b 为不共线向量， 要使等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b 成立， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝4y ＋7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4711，y ＝1611. (2)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ， ①② ①×4＋②×3得y ＝4a ＋3b ， ③再将③代入①中，得x ＝3a ＋2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .活动与探究3 (1)证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2) ＝－12CD →， ∴AC→与CD →共线． 又∵AC→与CD →有公共点C ， ∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. 迁移与应用 (1)证明：因为AB→＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，AC→＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ， 于是AC→＝2AB →，即AC →与AB →共线． 又AC→与AB →有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)解：由于a ，b 为非零向量且不共线，所以a ＋k b ≠0. 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，那么必存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，整理得(k －λ)a ＝(λk －1)b ，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，λ＝－1.即存在唯一实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 同向共线，此时k ＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，此时，k ＝－1，因此k ＝±1都满足题意．活动与探究4 证明：∵F ，G 分别为AB ，AC 中点，∴FG →＝12BC →. 同理EH →＝12BC →，∴FG →＝EH →. 同理EF→＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形．迁移与应用证明：如图，设△ABC 中，M ，N 分别为AB ，AC 中点．那么MN →＝AN →－AM →＝12AC →－12AB → ＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 可得MN →∥BC →且|MN →|＝12|BC →|. 【当堂检测】1．B 2．C 3．D 4．±15．证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 中点，∴AD →＝12AB →，AE →＝12AC →， DE→＝AE →－AD → ＝12AC →－12AB → ＝12(AC →－AB →)＝12BC →. ∴DE→＝BF →， ∴DE ∥BF 且DE ＝BF ，即四边形BDEF 为平行四边形．。
陕西省柞水中学高一数学必修四(北师大)第二章学案 平面向量基本定理
（2）若点 G 是 ABC 的重心，
能否用 a, b 表示 AG ；
（3）若点 G 是 ABC 的重心，
那么 GA GB GC ?
1
A
B
D
C
三、达标检测 1、课本 86 页练习第 2 题
运算（平行四边形法则）
2、数乘向量
a
的意义
3、向量共线的性质定理
【学习过程】
一、预习自学（自主阅读课
本 85—86 页的内容，完成下列问ຫໍສະໝຸດ ）问题 1：什么叫做基底？
问题 2：平面向量基本定理是 什么？
2
1
二、合作探究（深化理解）
探究一：画出两个不共线的向
量 e1 ， e2 ，试作出下列向量
430【导学案】 平面向量基本
定理
班级
姓名 组号
编写人：金晓青 审核人：王
松涛
【学习目标】1、了解平面向 量基本定理及意义；
2、会用任意一
组基底表示指定的向量；
3、能应用平面 向量基本定理解决一些实际问 题。
【学习重点】平面向量基本定
理
【学习难点】平面向量基本定
理的理解与应用
【知识链接】1、、向量的加法
（1） e1 + e2
（2）
e1 +2 e2
（3）
e1 -2 e2 ？
D
探究二：如图所示， 在平行四边形 A ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 的中点，
AB a, AD b 用向量 a, b 表示 BF和DE 。
F
C
E B
探究三：若将探究二中的
高中数学 第二章 平面向量 3.2 平面向量基本定理学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案
3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解 由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB→＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三 平面向量基本定理的应用【例3】 如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a )＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】 设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明 设a ＝λb (λ∈R )， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解 设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14b D.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析 如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 如图，MN →＝CN →－CM → ＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析 由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底． 答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形． 答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析 若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案 不共线 不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________． 解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c .(2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 131－m ＝n ，121－n ＝m ⇒n ＝15，m ＝25， ∴OP →＝15a ＋25b . 13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG GE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
北师大版高中数学必修四第二章平面向量23从速度的倍数到数乘向量1学案.docx
第二章平面向量•…2.3从速度的倍数到数乘向量1 (学案)一、学习目标1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义,2.理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律.二、自主学习知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考2向量3a, —3°与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?思考3加的几何意义是什么？梳理数乘向暈一般地，实数2与向量a的积是一个向量，记作_________ .它的长度为A.a = 2 a .它的方向当：＞0时, 肋与a的方向相同；当久＜0时，肋与a的方向相反；当久=0时，加=0,方向任意.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘运算律(lMQ(a)=(2“)a.(2)G+“)a=2«+“a.(3)久(a+〃)=/Uz+肋.知识点三向量共线定理思考若b=2a,〃与a共线吗？梳理(1)向量共线的判定定理a是一个________ 向量，若存在一个实数久，使得____________ ,则向量〃与非零向量a共线.(2)向量共线的性质定理若向量〃与非零向量a共线，则存在一个实数久，使得〃二_________ .知识点四向量的线性运算向暈的加法、减法和实数与向暈积的综合运算，通常称为向暈的线性运算(或线性组合).三、合作探究类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简^2(2a+4b)-4(5a-2b)].(2)已知向量为a, b,未知向量为工，j,向量a, b,兀，y满足关系式3x~2y=a f—4兀+3y=〃，求向量兀，反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积屮同样适用，但是这里的“同类项“公因式”是指向量，实数看作是向暈的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1 (\)(a+b)-3(a-b)Sa= ____________ .⑵若2(y—如)一*(c+〃一3丿)+〃=0,其中a, b, c为己知向量，则未知向量y= ___________ .类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量02不共线.⑴若0=严]—¥?2，b=3e、—2^2，判断向量a，〃是否共线.(2)若恥=© + ©，Bt=2e I + 8e2, Cb=3(e[~e2)f求证A、B、D 三点共线.反思与感悟⑴向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的己知向量表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任収两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用〃=肋@工0),还要说明向量a,方有公共点.跟踪训练2己知非零向量引，％不共线，如果恥=引+202，Bt=~5e{+6e2,筋=7© — 2%，则共线的三个点是 . 命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量切，血不共线，欲使e}+e2和©+血共线，试确定的值.反思与感悟 利用向量共线定理，即〃与aSHO)共线肋，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根 据共线求参数的值.跟踪训练3已知力，B, P 三点共线，O 为直线外任意一点，若O>=xOX+yOh ，贝lj x+y= _______________ .类型三用已知向量表示其他向量例4在AABC 中，若点D 满足就)=2说,则恥等于()反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1) 先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2) 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3) 当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关 系，然后解关于所求向量的方程.3. 若向量方程2x-3(x-2a.)=0,WJ 向量x 等于()A. —aB.-6a.C.6aD.- —a. 5 54. 在△ A.BC 中，才E =丄為,EF 〃BC,EF 交 A.C 于 F,设 A5 =a., AC =b,则亦用 a.BF= _________________ •5. ___________________________________________________ 在AAEC 中,M 、N 、P 分别是A.B 、BC 、CA.边上的靠近A.、B 、C 的三等分点,O 是Z\A.BC 平面上的任 意一点，若 OA + OB + OC =丄ei •丄则 OM +ON + OP= ________________________________________________ .跟踪训练4 如图，在△ABC 屮，D, E 为边的两个三等分点, 刁= 3a, 色=2b,求筋，Ck.四、自主小测1.丄［丄(2a+8b)-(4a-2b)J 等于( ) 3 2A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b 2•设两非零向量ei> 2不共线，目.kei+e 2与ei+ke^共线侧k 的值为()A 」 B.-l C.±l D.O表示的形式是3 26.己知△ A.BC的重心为GO为坐标原点,OA二a, OB =b, OC =c,求证:OG = — (a+b+c).参考答案：l.B 2.C 3.C 4.-a.+ 丄b5,1 1J.—Cj C23 2「6•证明：连接A.G并延长，设A.G交BC于M.T AB =b-a M AC =c-a M BC =c-b,' • ' 1 ， 1 J:.AM = AB + — BC =(b-a.)+ — (c-b)= — (c+b-2a.).2 2 277 2 — iAG = — AM = —(c+b-2a.).3 3:.OG= OA + AG =a+ — (c+b-2a.)= — (a.+b+c).3 3。
高中数学 第二章《平面向量》全部教案 北师大版必修4
高中数学第二章《平面向量》全部教案北师大版必修4 第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
记作：−→−AB 注意：起点一定写在终点的前面。
陕西商洛市柞水高中数学第二章平面向量252向量的数量积的简单应用学案北师大版4.
向量的数量积的简单应用
班级 姓名 组号
【学习目标】
1熟悉平面向量的数量积定义及其性质；
2.能运用向量数量积的性质及运算律解决简单的数学问题；
【学习重点】数量积的定义和性质的应用
【学习难点】运用向量数量积的性质解决简单的数学问题
【学习过程】
一、预习自学（阅读书第95页—97页练习以前内容，思考回答下列问题）
（一）知识复习：1、平面向量数量积（内积）的定义：a ·=
2．与a 共线的单位向量为为 ；若向量a =(x,y)，则与a 共线的单位向量为为
3.向量的夹角公式：
4． a b a b =
（二）试写出余弦定理的内容：
二、合作探究（深化理解）
探究1．（书第96页例4）已知单位向量12,e e 的夹角为60 ，求向量1221
,2a e e b e e =+=- 的夹角。
探究2：（书95页例2）试证明余弦定理
探究3：（1）,a b a c b c ∙=∙= 如果能否推导出？为什么？
（2）()()a b c a b c ∙∙=∙∙
是否成立？为什么？
探究4：.2+=0AB BC AB ABC ∙∆
若，试判定的形状。
三、达标检测
1 .（书97页习题A 组第1题）
2. （书97页习题A 组第3题）
3 . （书97页习题B 组第2题）用向量的方法证明：等腰三角形的底边上的高线垂直于底边。
4. （书第97页A 组习题第6题）。
高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量学案北师大版必修4
[ 再练一题 ]
→
→
→
2．设 e1， e2 是两个不共线向量，已知 AB＝2e1－ 8e2， CB＝e1＋ 3e2， CD＝2e1－ e2.
(1) 求证： A， B， D三点共线．
(2) 若B→F＝ 3e1－ ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值．
时，不能判断方向相同或相反，因而 (5) 错误； (6) 当 a＝ 0，b≠０时，就不存在实数 λ ，使
b＝λ a，故 (6) 错误．
【答案】 (1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5) × (6) ×
[ 质疑·手记 ]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1： _________________________________________________________
1 (2) 2
1
13
a＋ 2b － a＋ 2b － 2 2a＋ 8b ；
(3)2(5 a－ 4b＋ c) －3( a－ 3b＋ c) － 7a.
【精彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算．
【自主解答】 (1) 原式＝ 18a＋ 3b－ 9a－ 3b＝ 9a.
1
3
3
(2)
原式＝
2
2a＋ b 2
(4) 向量－ 8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍． ( )
(5) 若 b＝ λ a( a≠0) ，则 a 与 b 方向相同或相反． ( )
(6) 若 a∥ b，则存在 λ ∈R，使得 b＝λ a.(
)
【解析】 由数乘向量的意义知， (1) 正确， (2) 错误， (3) 正确， (4) 正确； (5) 当 b＝ 0
陕西省商洛市柞水县高中数学 第二章 平面向量 2.6 平
平面向量数量积的坐标表示班级 姓名 组号【学习目标】1. 通过自主学习、合作讨论、探究出平面向量数量积的坐标表示及其应用；2.理解向量垂直的坐标表示，夹角公式；3、了解直线的方向向量的的概念，知道斜率为k 的直线的方向向量。
【学习重点】面向量数量积的坐标表示【学习难点】线的方向向量的的概念【学习过程】一、预习自学（阅读书第98页—99页内容，思考回答下列问题）1. .以向量坐标形式及数量积的运算为基础，推导出向量数量积的坐标运算公式。
2．在理解数量积的几何运算和代数运算的基础上，填写下列内容：1.向量模长的坐标表示（1） 设),(y x a = ，则= 或a （2）.若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB = (这就是A,B 两点间的距离公式)2.向量数量积的坐标表示设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则a b =3.向量垂直平行的坐标表示 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则_______;________a b a b ⊥⇔//⇔4.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）， co s =5、什么叫直线的方向向量？；斜率为k 的直线的方向向量是 ，直线Ax+By+C=0的方向向量是 ；还可以为 。
二、合作探究（深化理解） 探究1．已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），求a 与b 的夹角。
探究2：已知()()4,2,3,2-==b a ，求()();a b a b a b +∙-+。
探究3：已知直线12:34120:7280,l x y l x y +-=+-=和求直线12l l 和的夹角。
探究4：已知()1,1=m ，n 与m的夹角为4π且1m n ⋅= （1）求n ；（2）设()()x x b a si n ,cos ,0,1== 其中R x ∈，若0n a ∙=，试求b n +的取值范围三、达标检测 1 . （书第99页练习第1题）2,23-4(1,1),a b ==已知（），求：1.a b a b ∙（） (2)与的夹角的大小2. 已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a =BC ,b =CA ,求a 与b 的夹角。
陕西省商洛市柞水县高中数学第二章平面向量2.3数乘向量学案无答案北师大版必修42
数乘向量班级姓名组号【学习目标】1、掌握数乘向量的运算及几何意义；2、理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理；3、了解向量线性运算的性质及其几何意义．【学习重点】掌握数乘向量的运算【学习难点】向量共线的判定定理和性质定理【学习过程】一、预习自学（阅读课本第82～83页，完成下列空格）1数乘向量（1）定义：实数λ与向量a的积是一个，记作 .（2）长度：︱λa︱= .（3）方向：λa的方向：当λ＞0时，与a的方向，当λ＜0时，与a的方向 .（4）几何意义：将表示向量a的伸长或压缩，当︱λ︱＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或方向（λ＜0）上伸长为原来的倍；当︱λ︱＜1时，表示向量a的有向线段在方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的倍 .2向量数乘的运算律设为μλ,实数，则(1)(μλ+) a= (2)λ(μa)=(3) λ(a+b)=3共线向量定理（1）判定定理：a 是一个 向量，若存在一个实数λ，使得b = a ，则向量b 与非零向量a 共线.（2）性质定理：若向量b 与 向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b = a .二、合作探究探究1. 计算：（1）3（6a +b ）-9（a +31b ）（2）21【（3a +2b ）-（a +21b ）】-2（21a +83b ）探究2. 如图1，已知AD =4AB ，DE =4BC ， 试判断与AE 是否共线.图1探究3. 如图2，A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC =λPA +(1-λ)PB .图2三、达标检测1.课本84页练习的第4题. AB C ED A B C P2新学案55页自主测评第3题. 3新学案55页自主测评第4题.四、学习体会。
陕西省商洛市柞水县高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法学案(无答案)北师大版必修4
2.2.1向量的加法班级 姓名 组号【学习目标】1. 掌握向量加法的定义.2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.【学习重点】向量加法的概念和向量加法的两种作图方法【学习难点】向量加法的几何意义【学习过程】一、自学预习(阅读课本第76-78页练习以前内容，完成课后练习) 1，思考并回答以下问题:（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AB u u u r +BC u u u r =（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB u u u r +BC u u u r =（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移AB u u u r +BC u u u r =2、两个加法法则，如图已知非零向量r a 和r b ，做出r ra b +1）三角形法则： （2）平行四边形法则3.规定：对于零向量与任一向量a r ，都有_________0==+ρρa aｂ4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律：(a +b ) +c = 二、合作探究（深化理解） 探究一：梯形ABCD ，AD//BC,O 为对角线交点，则OA +AB u u u r +BC u u u r =探究二：已知平行四边形ABCD 中，,u u u r r u u u r r AB a AD b ==，试用,r r a b 表示,,,CD CB BD CA u u u r u u u r u u u r u u u r拓展: 在四边形ABCD 中，AB AD AC u u u r u u u r u u u r +=，则此四边形肯定为 形探究三：在矩形ABCD 中，31u u u r u u u r AB BC ==，， 则向量()u u u r u u u r u u u r AB AD AC ++的长度等于 探究四：一艘船从A 点出发以23/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（方向用与流速间的夹角表示）。
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数乘向量
班级姓名组号
【学习目标】
1、掌握数乘向量的运算及几何意义；
2、理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理；
3、了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【学习重点】
掌握数乘向量的运算
【学习难点】
向量共线的判定定理和性质定理
【学习过程】
一、预习自学（阅读课本第82～83页，完成下列空格）
1数乘向量
（1）定义：实数λ与向量的积是一个，记作 .
（2）长度：︱λa︱= .
（3）方向：λa的方向：当λ＞0时，与a的方向，当λ＜0时，与a的方向 .
（4）几何意义：将表示向量a的伸长或压缩，当︱λ︱＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或方向（λ＜0）上伸长为原来的倍；当︱λ︱＜1时，表示向量a的有向线段在方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的倍 .
2向量数乘的运算律
设为μ
λ,实数，则
(1)(μ
λ+) a= (2)λ(μa)=
(3) λ(a+b)=
3共线向量定理
（1）判定定理：a 是一个 向量，若存在一个实数λ，使得b = a ，则向量b 与非零向量a 共线.
（2）性质定理：若向量b 与 向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b = a .
二、合作探究
探究1. 计算：（1）3（6a +b ）-9（a +
31b ）
（2）
21【（3a +2b ）-（a +21b ）】-2（21a +83b ）
探究2. 如图1，已知AD =4AB ，DE =4BC ， 试判断AC 与AE 是否共线.
图1
探究3. 如图2，A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在
直线AB 上，则存在实数λ，使得PC =λPA +(1-λ)PB .
图2
三、达标检测
1.课本84页练习的第4题. A
B C E D A B C
P
2新学案55页自主测评第3题. 3新学案55页自主测评第4题.
四、学习体会。