2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含答案)

学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
导学目标：
1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的
自主梳理
1．逻辑联结词
2．命题p∧q，p∨q，綈p
3.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的自我检测
1．
A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0
C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
答案 C
解析因要否定的
2．若
A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉B
C．x∉A且x∉B D．x∈A∪B
答案 B
解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，
∴綈p：x∉A或x∉B.
3．(2018·大连调研)若p、q是两个简单
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
答案 B
解析∵“p∨q”的否定是真
∴“p∨q”是假
4．(2018·湖南)下列
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
答案 B
解析对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0.
5．(2009·辽宁)下列4个
p1：∃x∈(0，＋∞)，(1
2
)x<(
1
3
)x；
p2：∃x∈(0,1)，log 1
2
x>log
1
3
x；
p3：∀x∈(0，＋∞)，(1
2
)x>log
1
2
x；
p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13
x. 其中的真
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
答案 D
解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13
x ＝log 32<1， p 2正确．
当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13
x>1，p 4正确．
探究点一 判断含有逻辑联结词的
例1 写出由下列各组
(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；
(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．
解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合
解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真
p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假
綈p ：1不是素数．真
(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假
p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假
綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真
(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假
p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假
綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真
变式迁移1 (2018·厦门月考)已知
①
A ．②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
答案 D
解析
∴①
③
探究点二 全(特)称
例2 判断下列
(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12
. (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N.
(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.
解题导引 判定一个全(特)称
(1)全称
(2)特称
解 (1)真
因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12
. (2)真命题，如α＝π4，β＝π2
，符合题意． (3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N.
(4)真
变式迁移2 (2018·日照月考)下列四个
A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0
B ．∀x ∈N ，x 2≥1
C ．∃x ∈Z ，使x 5<1
D ．∃x ∈Q ，x 2＝3
答案 C
解析 由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以
由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以
由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以
由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以 探究点三 全称
例3 写出下列
(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14
≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；
(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；
(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.
解题导引 (1)全(特)称
(2)要判断“綈p”
解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14
<0，这是假 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12
)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p 假． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假
(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真
(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假
变式迁移3 (2009·天津)
A ．不存在x 0∈R,2x 0>0
B ．存在x 0∈R,2x 0≥0
C ．对任意的x ∈R,2x ≤0
D ．对任意的x ∈R,2x >0
答案 D
解析 本题考查全称
转化与化归思想的应用 例 (12分)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若
【答题模板】
解 由“p 且q”是真
则p 为真
若p 为真
∵x ∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q 为真
即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，
Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2， [10分]
综上，所求实数a 的取值范围为a≤－2或a ＝1. [12分]
【突破思维障碍】
含有逻辑联结词的
【易错点剖析】
“p 且q”为真是全真则真，要区别“p 或q”为真是一真则真，
1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．
(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.
(2)
2．判断复合
3．全称
特称
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2018·宣城模拟)已知
A ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，且綈p 为真命题
B ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，且綈p 为假命题
C ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，且綈p 为真命题
D ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，且綈p 为假命题
答案 C
解析
2．已知
A ．a<13
B ．a≤13
C ．0<a≤13
D ．a≥13
答案 B
解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x
∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧
a>0，Δ＝4－12a<0，解得a>13.因此当 实数a 的范围是a≤13
. 3．(2018·龙岩月考)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )
A ．a≥1
B ．a≤1
C ．a≥－3
D ．a≤－3
答案 A
解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价
4．已知
A ．∀a ，b ∈R ，如果ab<0，则a<0
B ．∀a ，b ∈R ，如果ab≤0，则a≤0
C ．∃a ，b ∈R ，如果ab<0，则a<0
D ．∃a ，b ∈R ，如果ab≤0，则a≤0
答案 B
解析 ∀a ，b ∈R 是大前堤，在否
5．(2018·宁波调研)下列有关
A ．
B ．“x＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．
D ．
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2018·安徽)
答案 ∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3
7．已知
答案 m≤1
解析
实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x-Ray
时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m≤1.
8．(2018·安徽)
______________________．
答案 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0
解析 因特称
三、解答题(共38分)
9．(12分)分别指出由下列
(1)p ：4∈{2,3}，q ：2∈{2,3}；
(2)p ：1是奇数，q ：1是质数；
(3)p ：0∈∅，q ：{x|x 2－3x －5<0}⊆R ；
(4)p ：5≤5，q ：27不是质数．
解 (1)∵p 是假
∴p ∨q 为真
綈p 为真
(2)∵1是奇数，
∴p 是真
又∵1不是质数，
∴q 是假
因此p ∨q 为真
(3)∵0∉∅，∴p 为假
又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x<3＋292
， ∴{x|x 2－3x －5<0}＝{x|3－292<x<3＋292
}⊆R 成立． ∴q 为真
∴p ∨q 为真
(4)显然p ：5≤5为真
∴p ∨q 为真
(12分)
10．(12分)(2018·锦州月考)
解 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，
由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2.(4分)
又∵函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，
∴3－2a>1，∴a<1.(6分)
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧ －2<a<2，a≥1， ∴1≤a<2；(8分)
(2)若p 假q 真，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ a≤－2，或a≥2，a<1，∴a≤－2.(10分) 综上可知，所求实数a 的取值范围为
1≤a<2，或a≤－2.(12分)
11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p
且q 为假，求m 的取值范围．
解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ Δ1＝m 2－4>0－m<0⇔m>2.(3分) q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．
⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m<3，(6分)
因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．
①当p 真且q 假时，有⎩
⎪⎨⎪⎧ m>2m≤1或m≥3 ⇒m≥3；(10分)
②当p 假且q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧
m≤21<m<3⇒1<m≤2.(12分)
综上可知，m的取值范围为{m|1<m≤2或m≥3}．(14分)。