天津市河东区高考一模理科数学试卷及答案
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河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A． －3
B． 0
C．1
D．3
3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）
A．26
B．57
C．120
D．247
4．函数 在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．下列说法正确的是个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）
9．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为人．
0
1
2
3
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求 ， 的值；
（3）求 的数学期望.
17. （本小题满分13分）
等边三角形 的边长为3，点 、 分别是边 、 上的点，且满足 （如图4）．将△ 沿 折起到△ 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、
（如图5）．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为
11．如右图3，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，
于D，若AD=1， ，则圆O的面积
是.
12．函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
上，则 的最小值为．
13．在极坐标系中，O为极点，直线 过圆C： 的圆心C，且与直线OC垂直，则直线 的极坐标方程为．
14．在 中， ， ， ， 是边 上一点， ，则
三、解答题：（本大题6个题，共80分）
15. （本小题满分13分）
已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，求 的值域和单调递减区间．
16. （本小题满分13分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 ， ( ＞ )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
A．
B．
C．
D．1
7．在R上定义运算 若对任意 ，不等式 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）= ，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
河东区2014年高考一模试卷
数 学 答 案（理工类）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
C
A
A
C
B
二、填空题:每小题5分，共30分.
9. 12 ，10.108+3 ，11. 4 ，12. 4 ，13. ，14.
三、解答题：本大题6个题，共80分
所以
因此，
即 曲线
又
所以曲线
（2）因为 ，
所以 ，
令
（1）当
所以，当 ，函数 单调递减；
当 时， ，此时 单调递
（2）当
即 ，解得
①当 时， 恒成立，
此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减；
②当
时， 单调递减；
时， 单调递增；
，此时 ，函数 单调递减；
③当 时，由于
时， ，此时 ，函数 单调递减；
时， ，此时 ，函数 单调递增。
综上所述：
当 时，函数 在（０，１）上单调递减；
函数 在（１，＋∞）上单调递增；
当 时，函数 在（0，+∞）上单调递减；
当 时，函数 在（0，1）上单调递减；
函数 在 上单调递增；
函数 上单调递减，
20.解：（1）由题意得： ，所以 ，
所以椭圆方程为： ；
（2）因为 ，设P（x，y）则 = = ，
因为 ，所以 ，所以最大值为12，最小值为8；
（2）当 时，讨论 的单调性．
20. （本小题满分14分）
设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的任意一点，满足 ， 的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最大值和最小值；
（3）已知点 ， ，是否存在过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，使得 ？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
（3）由题意知
，
= ，
∴ 的数学期望为 = .
17. 证明：（1）因为等边△ 的边长为3，且 ，
所以 ， ．
在△ 中， ，
由余弦定理得 ．
因为 ，
所以 ．
折叠后有 ．因为二面角 是直二面角，所以平面 平面 ．
又平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
（2）解：由（1）的证明，可知 ， 平面 ．
以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 如图．
18.（本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意的n∈N，都有2Sn= +an
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1=1，2bn+1-bn=0，（n∈N）.若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn
19. （本小题满分14分）
已知函数
（1）当
① 是直线 与直线 互相垂直的充要条件
② 直线 是函数 的图象的一条对称轴
③ 已知直线 ： 与圆 ： ，则圆心 到直线 的距
离是
④若命题P：“存在 R， ”，则命题P的否定：“任意 ， ”
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）
15. 解：（1）解：∵
的最小正周期为 ．
（2）∵ ， ，
．
的值域为 ．
的递减区间为 ．
16. 解：设“甲做对”为事件 ，“乙做对”为事件 ，“丙做对”为事件 ，由题意知，
.
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是 .
（2）由题意知 ，
，
整理得 ， .由 解得 ， .
（3）当直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点；所以假设直线斜率为k，
则 ，联立 得， ，
由⊿>0得， ；
设交点 中点 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
方试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1．复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
当n≥2时，由2an=2Sn-2Sn-1=( +an)-( )
得（an+an-1）(an-an-1-1)=0
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1
故an=1+(n-1)×1=n
(2)由b1=1， ，得bn= ，则cn=n
因为 Tn= ，
所以
得
=2-（n+2）
所以 Tn=4-（n+2）
19. 解：（1） 当
设 ，
则 ， ， ．
所以 ， ， ．
所以 ．因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ．因为直线 与平面 所成的角为 ，
所以 …………10分
，
解得 ．
即 ，满足 ，符合题意．
所以在线段 上存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ，此时 ．
18. 解：（1）当n=1时，由2a1=2S1= ，a1＞0，得a1=1
未经允许，请勿外传！
河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A． －3
B． 0
C．1
D．3
3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）
A．26
B．57
C．120
D．247
4．函数 在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．下列说法正确的是个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）
9．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为人．
0
1
2
3
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求 ， 的值；
（3）求 的数学期望.
17. （本小题满分13分）
等边三角形 的边长为3，点 、 分别是边 、 上的点，且满足 （如图4）．将△ 沿 折起到△ 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、
（如图5）．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为
11．如右图3，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，
于D，若AD=1， ，则圆O的面积
是.
12．函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
上，则 的最小值为．
13．在极坐标系中，O为极点，直线 过圆C： 的圆心C，且与直线OC垂直，则直线 的极坐标方程为．
14．在 中， ， ， ， 是边 上一点， ，则
三、解答题：（本大题6个题，共80分）
15. （本小题满分13分）
已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，求 的值域和单调递减区间．
16. （本小题满分13分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 ， ( ＞ )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
A．
B．
C．
D．1
7．在R上定义运算 若对任意 ，不等式 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）= ，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
河东区2014年高考一模试卷
数 学 答 案（理工类）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
C
A
A
C
B
二、填空题:每小题5分，共30分.
9. 12 ，10.108+3 ，11. 4 ，12. 4 ，13. ，14.
三、解答题：本大题6个题，共80分
所以
因此，
即 曲线
又
所以曲线
（2）因为 ，
所以 ，
令
（1）当
所以，当 ，函数 单调递减；
当 时， ，此时 单调递
（2）当
即 ，解得
①当 时， 恒成立，
此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减；
②当
时， 单调递减；
时， 单调递增；
，此时 ，函数 单调递减；
③当 时，由于
时， ，此时 ，函数 单调递减；
时， ，此时 ，函数 单调递增。
综上所述：
当 时，函数 在（０，１）上单调递减；
函数 在（１，＋∞）上单调递增；
当 时，函数 在（0，+∞）上单调递减；
当 时，函数 在（0，1）上单调递减；
函数 在 上单调递增；
函数 上单调递减，
20.解：（1）由题意得： ，所以 ，
所以椭圆方程为： ；
（2）因为 ，设P（x，y）则 = = ，
因为 ，所以 ，所以最大值为12，最小值为8；
（2）当 时，讨论 的单调性．
20. （本小题满分14分）
设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的任意一点，满足 ， 的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最大值和最小值；
（3）已知点 ， ，是否存在过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，使得 ？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
（3）由题意知
，
= ，
∴ 的数学期望为 = .
17. 证明：（1）因为等边△ 的边长为3，且 ，
所以 ， ．
在△ 中， ，
由余弦定理得 ．
因为 ，
所以 ．
折叠后有 ．因为二面角 是直二面角，所以平面 平面 ．
又平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
（2）解：由（1）的证明，可知 ， 平面 ．
以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 如图．
18.（本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意的n∈N，都有2Sn= +an
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1=1，2bn+1-bn=0，（n∈N）.若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn
19. （本小题满分14分）
已知函数
（1）当
① 是直线 与直线 互相垂直的充要条件
② 直线 是函数 的图象的一条对称轴
③ 已知直线 ： 与圆 ： ，则圆心 到直线 的距
离是
④若命题P：“存在 R， ”，则命题P的否定：“任意 ， ”
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）
15. 解：（1）解：∵
的最小正周期为 ．
（2）∵ ， ，
．
的值域为 ．
的递减区间为 ．
16. 解：设“甲做对”为事件 ，“乙做对”为事件 ，“丙做对”为事件 ，由题意知，
.
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是 .
（2）由题意知 ，
，
整理得 ， .由 解得 ， .
（3）当直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点；所以假设直线斜率为k，
则 ，联立 得， ，
由⊿>0得， ；
设交点 中点 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
方试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1．复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
当n≥2时，由2an=2Sn-2Sn-1=( +an)-( )
得（an+an-1）(an-an-1-1)=0
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1
故an=1+(n-1)×1=n
(2)由b1=1， ，得bn= ，则cn=n
因为 Tn= ，
所以
得
=2-（n+2）
所以 Tn=4-（n+2）
19. 解：（1） 当
设 ，
则 ， ， ．
所以 ， ， ．
所以 ．因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ．因为直线 与平面 所成的角为 ，
所以 …………10分
，
解得 ．
即 ，满足 ，符合题意．
所以在线段 上存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ，此时 ．
18. 解：（1）当n=1时，由2a1=2S1= ，a1＞0，得a1=1