福建省建瓯市第二中学2015届高考数学课时47双曲线练习(含解析)

课时47 双曲线
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线左边一支
C.双曲线右边一支
D.一条射线
2.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.-y2=1
B.-y2=1
C.=1
D.x2-=1
3.如图,正六边形ABCDE F的两个顶点A,D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( )
A.+1
B.-1
C. D.
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为( )
A.±2
B.±
C.±
D.±
5.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
6.(2013山东高考)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
7.(2013江苏高考)双曲线=1的两条渐近线的方程为.
8.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为.
9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,M是双曲线上任意一点,若直线MA1,MA2的斜率之积等于2,则该双曲线的离心率是.
10.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,求抛物线C2的方程.
11.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-),点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线方程; (2)求证:=0;
(3)求△F1MF2的面积.
12.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.
(1)求双曲线C的离心率; (2)求双曲线C的方程.
1．答案:C
解析:∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支. 2．答案:B
解析:椭圆+y2=1的焦点为(±,0).
因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A,C.
又双曲线-y2=1经过点(2,1),所以选B.
3．答案:A
解析:令正六边形的边长为m,则有AD=2m,AB=m,BD=m,
该双曲线的离心率等于+1.
4．答案:C
解析:由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.
又由e=,可解得c=,
则b2=c2-a2=,即b=.
由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.
5．答案:B
解析:设点P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2=4,
|F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1.
又∵=1,∴=3(+1)=6,
·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.
6．答案:D
解析:设M,y'='=,故在M点处的切线的斜率为,故M.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选D.
7．答案:y=±x
解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
8．答案:-2
解析:由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),
则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.∵x≥1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,∴当x=1时,·取得最小值-2.
9．答案:
解析:设点M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),
则直线MA1的斜率是,直线MA2的斜率是,直线MA1,MA2的斜率之积是·,故=2,故该双曲线的离心率e=.
10．解:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.
又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴双曲线的渐近线方程y=±x即为y=±x,即±x+y=0.
又抛物线的焦点坐标为F,F到渐近线的距离为2,
即=2,解得p=8.∴抛物线C2的方程为x2=16y.
11．解: (1)因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.
因为双曲线过点(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:由(1)可知a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=-.
因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.
故·=-1,所以MF1⊥MF2.所以·=0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|=4,
△F1MF2的高h=|m|=,所以=6.
12．解:(1)设双曲线C:=1过一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为α.
因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P.
而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q点.
依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.
又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,
所以tan30°=.于是e2==1+=1+,
所以e=.
(2)由,可设双曲线方程为=1,即x2-3y2=3k2.
将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-3·3(x-2)2=3k2.化简得8x2-36x+36+3k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|
=2=2
=,求得k2=1.
故所求双曲线C的方程为-y2=1.。