最长公共子序列(LCS)问题
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
最长公共子序列算法
最长公共子序列算法最长公共子序列算法概述最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是一种常见的字符串匹配问题。
给定两个字符串S和T，求它们的最长公共子序列，即在S和T中都出现的最长的子序列。
该问题可以用动态规划算法解决。
算法原理动态规划算法是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的方法。
在LCS算法中，我们将两个字符串S和T分别看作X和Y，并定义一个二维数组c[i][j]表示X[1..i]和Y[1..j]的LCS长度。
则有以下递推公式：c[i][j] = 0, if i=0 or j=0c[i][j] = c[i-1][j-1]+1, if X[i]=Y[j]c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if X[i]!=Y[j]其中第一行和第一列均初始化为0，因为空字符串与任何字符串的LCS长度均为0。
当X[i]=Y[j]时，说明当前字符相同，那么当前字符可以加入到LCS中，所以LCS长度加1；否则当前字符不能加入到LCS中，则需要从上一个状态继承得到当前状态。
最终结果即为c[m][n]，其中m和n分别表示X和Y的长度。
算法实现以下是LCS算法的Python实现：def lcs(X, Y):m = len(X)n = len(Y)c = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if X[i-1] == Y[j-1]:c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1else:c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])return c[m][n]其中X和Y分别为两个字符串。
算法优化以上算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别表示X和Y的长度。
如果X和Y较长，算法会很慢。
但是我们可以通过一些优化来降低时间复杂度。
求解两个序列的最长公共子序列的递推次序
最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）是指在两个序列中找到的最长公共非连续子序列。
求解两个序列的最长公共子序列的递推次序是一道经典的动态规划问题，本文将针对这一主题展开详细的描述和分析。
一、问题描述给定两个序列X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn}，要求找出它们的最长公共子序列。
对于序列X={A, B, C, B, D, A, B}和Y={B, D, C, A, B, A}，它们的最长公共子序列是{B, C, A, B}，长度为4。
二、递推关系在动态规划的思想下，我们可以通过构造一个二维数组来解决这个问题。
假设L[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度，那么L[i][j]的递推关系可以表示为：1. 当i=0或j=0时，L[i][j]=0；2. 当xi=yj时，L[i][j]=L[i-1][j-1]+1；3. 当xi≠yj时，L[i][j]=max{L[i-1][j], L[i][j-1]}。
三、动态规划的实现在实际编程中，我们可以使用一个二维数组来存储L[i][j]的值。
我们需要初始化L[0][j]和L[i][0]为0；根据上述递推关系，使用一个双重循环来填充数组L，最终得到L[m][n]的值，即序列X和Y的最长公共子序列的长度。
四、回溯求解最长公共子序列在获得了二维数组L之后，我们可以通过回溯的方法来求解最长公共子序列的具体内容。
从L[m][n]开始，我们可以根据递推关系，逆向推导出最长公共子序列的元素，直到回溯到L[0][0]为止。
这样就可以得到最长公共子序列的具体内容。
五、优化在实际应用中，为了提高动态规划的效率，可以对上述算法进行优化。
例如使用滚动数组来降低空间复杂度，或者采用其他策略来减少不必要的计算。
六、总结本文针对求解两个序列的最长公共子序列的递推次序进行了详细的分析和描述。
利用递归求最长公共子序列问题
利用递归求最长公共子序列问题1.引言最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一个经典的动态规划问题，其可以描述为：给定两个序列X和Y，求出它们的最长公共子序列的长度。
在计算机科学领域，LCS问题广泛应用于字符串比较、文本相似度计算、基因序列比对等领域，因此对于LCS问题的求解具有重要的意义。
2.问题描述对于序列X和Y，它们的最长公共子序列可以定义为：如果一个序列Z既是X的子序列又是Y的子序列，且Z的长度最大，那么Z称为X和Y的最长公共子序列。
3.递归解法我们可以使用递归的方式来解决LCS问题。
递归的思想是将原问题划分为更小的子问题求解，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
对于LCS问题，我们可以将其划分为更小的子问题求解。
假设X和Y的长度分别为m和n，我们可以考虑X中的第m个元素和Y中的第n 个元素是否相等，从而将原问题划分为以下三种情况：a) 如果X[m]等于Y[n]，那么X和Y的最长公共子序列就是X[1..m-1]和Y[1..n-1]的最长公共子序列再加上X[m]。
b) 如果X[m]不等于Y[n]，那么X和Y的最长公共子序列就是X[1..m-1]和Y[1..n]的最长公共子序列，或者是X[1..m]和Y[1..n-1]的最长公共子序列，取两者的最大值。
c) 如果X或Y的长度为0，那么它们的最长公共子序列的长度为0。
4.递归求解步骤基于上述的划分情况，我们可以得到递归求解LCS问题的步骤如下：a) 如果X和Y的最后一个元素相等，那么LCS(X, Y, m, n) = 1 + LCS(X, Y, m-1, n-1)；b) 如果X和Y的最后一个元素不相等，那么LCS(X, Y, m, n) = max(LCS(X, Y, m-1, n), LCS(X, Y, m, n-1))；c) 如果m等于0或n等于0，那么LCS(X, Y, m, n) = 0。
最长公共子序列问题
2.3最长公共子序列问题和前面讲的有所区别，这个问题的不涉及走向。
很经典的动态规划问题。
例题16最长公共子序列(lcs.pas/c/cpp)【问题描述】一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X 和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= < x1, x2, …, xm>和Y= < y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
【输入文件】输入文件共有两行，每行为一个由大写字母构成的长度不超过200的字符串，表示序列X和Y。
【输出文件】输出文件第一行为一个非负整数，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出文件仅有一行输出一个整数0，否则在输出文件的第二行输出所求得的最长公共子序列(也用一个大写字母组成的字符串表示。
【输入样例】ABCBDABBDCBA【输出样例】4BCBA【问题分析】这个问题也是相当经典的。
这个题目的阶段很不明显，所以初看这个题目没什么头绪，不像前面讲的有很明显的上一步，上一层之类的东西，只是两个字符串而且互相没什么关联。
但仔细分析发现还是有入手点的：既然说是动态规划，那我们首先要考虑的就是怎么划分子问题，一般对于前面讲到的街道问题和数塔问题涉及走向的，考虑子问题时当然是想上一步是什么？但这个问题没有涉及走向，也没有所谓的上一步，该怎么办呢？既然是求公共子序列，也就有第一个序列的第i个字符和第二个序列的第j个字符相等的情况。
最长公共子序列问题LCS-Read
最长公共子序列问题LCS问题描述一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, x m>，则另一序列Z=<z1, z2,…, z k>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列<i1, i2,…, i k>，使得对于所有j=1,2,…,k有例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, … , y n>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
参考解答动态规划算法可有效地解此问题。
下面我们按照动态规划算法设计的各个步骤来设计一个解此问题的有效算法。
1.最长公共子序列的结构解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法，即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。
X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。
X 的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间。
事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质，因为我们有如下定理：定理: LCS的最优子结构性质设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …,z k>，则：1.若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列；2.若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列；3.若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1的最长公共子序列。
最长公共子序列问题;
最长公共子序列问题；最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是指找到多个字符串中最长的公共子序列。
公共子序列是指这些字符串在所有字符串中都以相同的顺序出现，但不要求连续。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，其最长公共子序列为"ACD"。
最长公共子序列问题可以通过动态规划来解决。
基本思路是使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
首先，初始化dp[0][j]和dp[i][0]为0，表示空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度为0。
然后，对于每个字符A[i]和B[j]，如果A[i]等于B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示在之前的最长公共子序列长度的基础上加1。
否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示要么在字符串A的前i-1个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的基础上取得，要么在字符串A的前i个字符和字符串B的前j-1个字符的最长公共子序列的基础上取得。
最终，dp[m][n]即为所求，其中m和n分别为字符串A和字符串B的长度。
可以通过追踪dp数组来还原出最长公共子序列，具体方法是从dp[m][n]开始，如果A[i]等于B[j]，则该字符是公共字符，将其加入结果序列，然后向左上方移动，即dp[i-1][j-1]。
如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，则说明最长公共子序列在A中取得，向上移动，即dp[i-1][j]；如果dp[i][j]等于dp[i][j-1]，则说明最长公共子序列在B中取得，向左移动，即dp[i][j-1]。
重复上述过程，直到dp[i][j]为0。
数据结构与算法题解：最长公共子序列和最长公共子串
f [0][0] = 0, f [0][∗] = 0, f [∗][0] = 0,最后应该返回f [lenA][lenB]. 即 f 中索引与字符串串索引
ource, target)); }
}
二二、最⻓长公共子子串串
2.1 简单考虑
可以使用用两根指针索引分别指向两个字符串串的当前遍历位置，若遇到相等的字符时则同时向后移 动一一位。
public class Demo { public static int longestCommonSubstring(String A, String B) { if (A == null || A.length() == 0) return 0; if (B == null || B.length() == 0) return 0; int lenA = A.length(); int lenB = B.length(); int lcs = 0, lcs_temp = 0; for (int i = 0; i < lenA; ++i) { for (int j = 0; j < lenB; ++j) { lcs_temp = 0; while ((i + lcs_temp < lenA) && (j + lcs_temp < lenB) && (A.charAt(i + lcs_temp) == B.charAt(j + lcs_temp))) { ++lcs_temp; }
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
最长公共子序列的研究报告
最长公共子序列的研究报告在计算机科学和数学领域中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）问题是一个经典且具有重要意义的研究课题。
它不仅在理论研究方面具有深厚的价值，还在实际应用中发挥着关键作用。
最长公共子序列问题的定义相对简单直观。
给定两个序列，我们要找出它们之间最长的公共部分，这个公共部分中的元素顺序保持不变。
例如，对于序列“ABCDGH”和“AEDFHR”，它们的最长公共子序列是“ADH”。
那么，为什么我们要研究最长公共子序列问题呢？这主要是因为它在很多实际场景中都有应用。
在生物信息学中，比较 DNA 序列或蛋白质序列的相似性时，最长公共子序列可以帮助我们了解物种之间的进化关系。
在文件比较和版本控制方面，通过找出两个文本文件的最长公共子序列，可以快速确定它们之间的差异和相似之处，从而提高工作效率。
在自然语言处理中，分析句子结构和语义的相似性时，最长公共子序列也能提供有价值的信息。
接下来，让我们探讨一下如何求解最长公共子序列问题。
最常见的方法是动态规划。
动态规划是一种通过将复杂问题分解为子问题，并保存子问题的解来避免重复计算的方法。
假设我们有两个序列 X 和 Y，长度分别为 m 和 n。
我们创建一个二维数组 dpm ＋ 1n ＋ 1来保存中间计算的结果。
dpij表示序列 X 的前 i 个元素和序列 Y 的前 j 个元素的最长公共子序列的长度。
初始化时，dp 的第一行和第一列都为 0，因为当一个序列为空时，最长公共子序列的长度为 0。
然后，我们通过以下递推公式来填充 dp 数组：如果 Xi 1 ＝＝ Yj 1，那么 dpij ＝ dpi 1j 1 ＋ 1。
这意味着如果当前两个元素相等，那么它们构成了公共子序列的一部分，长度在前一个状态的基础上加 1。
如果 Xi 1!＝ Yj 1，那么 dpij ＝ max(dpi 1j, dpij 1)。
这表示如果当前两个元素不相等，那么最长公共子序列的长度要么是只考虑 X 序列前 i 1 个元素和 Y 序列前 j 个元素的最长公共子序列的长度，要么是只考虑 X 序列前 i 个元素和 Y 序列前 j 1 个元素的最长公共子序列的长度，取两者中的最大值。
文本差异对比算法例题
文本差异对比算法例题文本差异对比算法是用来比较两个文本之间的差异和相似性的算法。
下面我将从多个角度来介绍文本差异对比算法的例题。
1. 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）算法：LCS算法是一种常用的文本差异对比算法。
它通过找到两个文本中的最长公共子序列来衡量它们之间的相似性。
例如，对于文本A="ABCD"和文本B="ACDF"，LCS算法可以找到它们的最长公共子序列为"ACD"，表示它们之间的相似性较高。
2. 基于编辑距离的算法：编辑距离是一种用来衡量两个字符串之间差异程度的度量方法。
常见的编辑距离算法有Levenshtein距离和Damerau-Levenshtein距离。
这些算法通过计算插入、删除和替换操作的最小次数来确定两个文本之间的差异。
例如，对于文本A="kitten"和文本B="sitting"，Levenshtein距离算法可以计算出它们之间的编辑距离为3，表示它们之间的差异程度较高。
3. 基于词袋模型的算法：词袋模型是一种常用的文本表示方法，它将文本表示为一个词的集合，忽略了词的顺序和语法结构。
在文本差异对比中，可以使用词袋模型来比较两个文本之间的词汇差异。
例如，对于文本A="The cat is black"和文本B="The dog is white"，可以将它们表示为词袋{"The", "cat", "is", "black"}和{"The", "dog", "is", "white"}，然后计算它们之间的词汇差异。
4. 基于向量空间模型的算法：向量空间模型是一种常用的文本表示方法，它将文本表示为一个高维向量，其中每个维度表示一个词的权重或出现次数。
最长公共子上升序列
最长公共子上升序列
最长公共子上升序列（LCS）是指在一组有序数列中，两个或多个序列具有最长公共子序列（LCS）的问题，其中子序列必须保持原始序列中数字的相对顺序，而且所有的数字都是递增的，即公共子序列是一个上升的序列。
它的解决方案是基于动态规划（DP）算法的，可以利用递归算法和顺序搜索技术以有效的方式求解最长公共子上升序列问题。
假设有两个有序序列X和Y，其中X={x1，x2，x3，...，xm}和
Y={y1，y2，y3，...，yn}，LCS问题的解决方法是首先判断输入序列X 和Y有没有相同的元素，如果有，则称为基本情况。
如果没有，则假设xm=ym，比较xm-1与ym-1的大小，当xm-1 < ym-1时，得到xm-1的最长公共子上升序列的问题的解是xm-1的最长公共子上升序列，当xm-1 > ym-1时，得到ym-1的最长公共子上升序列的问题的解是ym-1的最长公共子上升序列，如果xm-1 = ym-1，则得到最长公共子上升序列的问题的解是xm-1和ym-1的最长公共子上升序列加上xm或ym。
2-最长公共子序列问题(无答案)
最长公共子序列问题（LCS）（生物信息学中常用算法）子序列的概念：设X=< x1, x2,┅, x m>，若有1≤i1< i2< ┅<i k≤m，使得Z=< z1, z2,┅, z k> = < x i1, x i2,┅, x ik>，则称Z是X的子序列，记为Z<X。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Z=<B,C,B,A>, 则有Z<X。
公共子序列的概念：设X，Y是两个序列，且有Z<X和Z<Y，则称Z是X和Y 的公共子序列。
最长公共子序列的概念：若Z<X，Z<Y，且不存在比Z更长的X和Y 的公共子序列，则称Z是X和Y 的最长公共子序列，记为Z∈LCS(X , Y)。
最长公共子序列往往不止一个。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Y=<B,D,C,A,B,A>, 则Z=<B,C,B,A>, Z’=<B,C,A,B>, Z’’=<B,D,A,B>均属于LCS(X , Y) ，即X,Y有3个LCS。
如何找出X和Y的一个最长公共子序列？Brute-force法：列出X的所有长度不超过n（即∣Y∣）的子序列，从长到短逐一进行检查，看其是否为Y的子序列，直到找到第一个最长公共子序列。
由于X共有2m个子序列，故此方法对较大的m没有实用价值。
是否能使用动态规划法？如何用？分析：记X i=﹤x1，…，x i﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Y j=﹤y1，…，y j﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，…，z k﹥∈LCS(X , Y)。
若x m=y n（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有z k = x m = y n且显然有Z k-1∈LCS(X m-1 , Y n-1) 即Z的前缀Z k-1是X m-1与Y n-1的最长公共子序列。
再谈最长公共子串问题
再谈最长公共子串问题作者：寒雨疏桐文章来源：网易点击数：1049 更新时间：12/30/2003最长公共子串（Longest common substring, 简称LCS）问题指的是求出给定的一组字符串的长度最大的共有的子字符串。
举例说明，以下三个字符串的LCS就是 cde：abcdecdefccde高效的查找LCS算法可以用于比较多篇文章的最长相同片段，以及生物学上的基因比较等实际应用。
前几天写了一个穷举法的简单实现，感觉在数据量稍大时效率极低，所以今天上网查了一些资料，找到了解决LCS问题的最佳算法并编程实现，程序效率得到了极大的提高。
采用的是广义后缀树（Generalized Suffix Tree，简称GST)算法，就是把给定的N个源字符串的所有的后缀建成一颗树，这个树有以下一些特点：1.树的每个节点是一个字符串，树根是空字符串“”2.任意一个后缀子串都可以由一条从根开始的路径表达（将这条路径上的节点字符串依次拼接起来就可以得到这个后缀）3.特别应注意任意一个子串都可以看作某一个后缀的前缀。
既然每一个后缀都可以由一条从根开始的路径表达，那么我们可以从根节点开始一个字符一个字符的跟踪这条路径从而得到任意一个子串。
4.为了满足查找公共子串的需求，每个节点还应该有从属于哪个源字符串的信息由以上的定义我们不难看出，在这棵GST树上，如果找到深度最大并且从属于所有源字串的节点，那么，把从根到这个节点的路径上的所有节点字符串拼接起来就是LCS。
还是举例说明，上面提到的三个字符串【abcde cdef ccde】的所有后缀子串列表如下：(注：.1表示是从第一个串abcde来的，同理.2,.3分别表示从cdef，ccde来的) abcde.1bcde.1cde.1de.1e.1cdef.2def.2ef.2f.2ccde.3cde.3de.3e.3建成的GST如下图所示(注:.1表示从属于第一个串，.123表示既从属于第一又从属于第二，第三个源串）--\_______【abcde.1】||_____【bcde.1】 .....最深的并且带.123的节点| :|_____【c.123】____【de.123】_______【f.2】| || |__【cde.3】||_____【de.123】___【f.2】||_____【e.123】____【f.2】||_____【f.2】上图中虚线所指的【de.123】节点所表示的子串cde正是LCS以上是一些基本概念，但是实际应用时还要涉及到构建GST树以及查找LCS的具体算法，参考了网上的一些资料，我用java语言实现了这些算法，基本上可以以O(n)的时间复杂度进行建树及查找处理。
多序列最长公共子序列
针对多序列最长公共子序列问题，本文将研究以下几种算法：
1. 基于动态规划的算法
基于动态规划的算法是解决多序列最长公共子序列问题的经典方法。该方法通过构建一个 二维矩阵，记录每个位置上所有序列的最长公共子序列长度。然后，通过动态规划的方 法，自底向上地计算出多序列最长公共子序列的长度。
针对多序列最长公共子序列问题，目前已有许多算法被提出。其中，最著名的算法是 Knuth-Morris-Pratt（KMP）算法。KMP 算法是一种高效的字符串匹配算法，可以在 O(n) 的时间复杂度内完成字符串匹配。在多序列最长公共子序列问题中，KMP 算法可以被用 于加速子序列比对，从而提高算法的性能。然而，KMP 算法仅适用于较小的序列集合， 对于大规模序列集合，其性能并不理想。
通过实验证明，本文提出的算法具有较高的性能。在处理大规模序列集合时，算法能够在
较短的时间内得到正确的结果。此外，算法还具有较好的可扩展性，可以方便地应用于不 同规模的序列集合。
总结所述，本文针对多序列最长公共子序列问题进行了研究，并提出了一种有效的解决方 法。通过实验证明，该方法具有较高的性能和可扩展性，为多序列比对提供了一种有效的 工具。在未来的研究中，我们将进一步优化算法，并探索多序列最长公共子序列问题在更 多应用领域中的可能性。
【算法】 针对 MS-LCS 问题,目前已经提出了多种算法。其中,最著名的算法是动态规划算法。该算法 的基本思想是将多个序列两两比对,求出它们之间的 LCS,然后找出多个 LCS 中的最长序 列。该算法的时间复杂度为 O(nm^2),其中 n 是序列的数量,m 是序列的长度。由于该算法 的时间复杂度较高,因此在处理大规模序列数据时效率较低。为了解决这个问题,研究人员 提出了许多改进算法,如基于贪心策略的算法、基于分治思想的算法、基于动态规划的算法 等。这些算法的时间复杂度都比动态规划算法低,但在某些情况下,它们的准确性较低。
最大公共子序列的算法
最大公共子序列的算法
最大公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它涉及到两个序列的匹配问题。
给定两个序列，找出最长的公共子序列，使得这个子序列在两个输入序列中都出现。
下面是一种常用的动态规划算法来解决这个问题：
1.初始化两个矩阵，分别表示两个输入序列的长度。
假设输入序列A的长度为m，输入序列B的长度为n，那么这两个矩阵的大小都为m x n。
2.填充矩阵的第一行和第一列。
对于矩阵的第一行，所有的元素都设置为0，因为子序列不能在原序列之前开始；对于矩阵的第一列，所有的元素都设置为1，因为第一个字符总是匹配的。
3.从矩阵的第二行和第二列开始，遍历矩阵的每一个元素。
如果当前元素对应的两个字符相同，那么该元素的值就等于左上角元素的值加1；否则，该元素的值就等于左上角元素的值。
4.填充完矩阵之后，最大公共子序列的长度就等于矩阵右下角的元素的值。
5.回溯矩阵，从右下角开始，找到最长公共子序列。
如果当前元素的值等于左上角元素的值加1，那么将当前字符添加到最长公共子序列中，然后继续向左上方移动；如果当前元素的值等于左上角元素的值，那么不将当前字符添加到最长公共子序列中，继续向左上方移动。
6.当回溯到左上角时，最长公共子序列的长度就等于左上方元素的值。
这个算法的时间复杂度是O(mn)，其中m和n分别是两个输入序列的长度。
在实际应用中，如果输入序列的长度很大，可以考虑使用其他优化算法来提高效率。
最长公共子序列测试用例
最长公共子序列测试用例最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一道经典的动态规划问题，常用于计算两个序列之间的相似度，以及字符串相似度匹配等任务。
在本文中，我们将介绍LCS问题以及它的一些应用场景，并给出一些测试用例以帮助读者更好地理解和掌握这个问题。
LCS问题的定义是：给定两个序列X和Y，我们要找到它们之间的最长公共子序列。
一个序列的子序列是由原序列中去掉一些元素（可以不连续）得到的新序列。
而最长公共子序列是在两个序列中都存在的、长度最长的子序列。
那么LCS问题有什么实际的应用呢？一个典型的应用场景是字符串相似度匹配。
假设我们有两个文本文档，我们想要知道它们之间有多相似。
我们可以将每个文档看作是一个字符序列，然后使用LCS算法计算它们之间的最长公共子序列的长度，从而得到相似度的度量。
另一个应用是基因序列比对。
生物学家经常需要比较两个基因序列的相似性，以便研究它们之间的关系。
基因序列可以看作是由ATCG 四种碱基组成的字符序列，我们可以使用LCS算法计算这两个基因序列之间的最长公共子序列，从而得到它们的相似性程度。
现在我们给出一些测试用例，来帮助读者更好地理解LCS问题：1. 序列X为"ABCDEF"，序列Y为"ABDF"，它们的最长公共子序列是"ABD"，长度为3。
2. 序列X为"AGGTAB"，序列Y为"GXTXAYB"，它们的最长公共子序列是"GTAB"，长度为4。
3. 序列X为"ABCD"，序列Y为"EF"，它们的最长公共子序列为空序列，长度为0。
4. 序列X为"AAABCDA"，序列Y为"AABDAAAA"，它们的最长公共子序列是"AABA"，长度为4。
算法系列之六：最长公共子序列(LCS)问题(连续子序列)的三种解法
算法系列之六：最长公共子序列（LCS）问题（连续子序列）的三种解法最长公共子序列（LCS）问题有两种方式定义子序列，一种是子序列不要求不连续，一种是子序列必须连续。
上一章介绍了用两种算法解决子序列不要求连续的最终公共子序列问题，本章将介绍要求子序列必须是连续的情况下如何用算法解决最长公共子序列问题。
仍以上一章的两个字符串“abcdea”和“aebcda”为例，如果子序列不要求连续，其最长公共子序列为“abcda”，如果子序列要求是连续，则其最长公共子序列应为“bcd”。
在这种情况下，有可能两个字符串出现多个长度相同的公共子串，比如“askdfiryetd”和“trkdffirey”两个字符串就存在两个长度为3的公共子串，分别是“kdf”和“fir”，因此问题的性质发生了变化，需要找出两个字符串所有可能存在公共子串的情况，然后取最长的一个，如果有多个最长的公共子串，只取其中一个即可。
字符串“abcdea”和“aebcda”如果都以最左端的a字符对齐，则能够匹配的最长公共子串就是“a”。
但是如果用第二个字符串的e字符对齐第一个字符串的a 字符，则能够匹配的最长公共子串就是“bcd”。
可见，从两个字符串的不同位置开始对齐匹配，可以得到不同的结果，因此，本文采用的算法就是穷举两个字符串所有可能的对齐方式，对每种对齐方式进行字符的逐个匹配，找出最长的匹配子串。
一、递归方法首先看看递归方法。
递归的方法比较简单，就是比较两个字符串的首字符是否相等，如果相等则将其添加到已知的公共子串结尾，然后对两个字符串去掉首字符后剩下的子串继续递归匹配。
如果两个字符串的首字符不相等，则用三种对齐策略分别计算可能的最长公共子串，然后取最长的一个与当前已知的最长公共子串比较，如果比当前已知的最长公共子串长就用计算出的最长公共子串代替当前已知的最长公共子串。
第一种策略是将第一个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第二个字符串继续匹配；第二种策略是将第二个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第一个字符串继续匹配；第三种策略是将两个字符串的首字符都删除，然后继续匹配两个字符串剩下的子串。
最长公共子串问题的后缀数组解法
最长公共⼦串问题的后缀数组解法[最长公共⼦串]最长公共⼦串(Longest Common Substring ,简称LCS)问题，是指求给定的⼀组字符串长度最⼤的共有的⼦串的问题。
例如字符串”abcb”,”bca”,”acbc”的LCS就是”bc”。
求多串的LCS，显然穷举法是极端低效的算法。
改进⼀些的算法是⽤⼀个串的每个后缀对其他所有串进⾏部分匹配，⽤KMP算法，时间复杂度为O(N*L^2)，其中N为字符串个数，L为每个串的长度。
更优秀的有⼴义后缀树的⽅法，时间可以达到 O(N*L)。
本⽂介绍⼀种基于后缀数组的LCS解法，利⽤⼆分查找技术，时间复杂度可以达到O(N*L*logL)。
[最长公共⼦串问题的后缀数组解法]关于后缀数组的构建⽅法以及Height数组的性质，本⽂不再具体介绍，可以参阅IOI国家集训队2004年论⽂《后缀数组》(许智磊)和IOI国家集训队2009年论⽂《后缀数组——处理字符串的有⼒⼯具》(罗穗骞)。
回顾⼀下后缀数组，SA[i]表⽰排名第i的后缀的位置，Height[i]表⽰后缀SA[i]和SA[i-1]的最长公共前缀(Longest Common Prefix,LCP)，简记为Height[i]=LCP(SA[i],SA[i-1])。
连续的⼀段后缀SA[i..j]的最长公共前缀，就是H[i-1..j]的最⼩值，即LCP(SA[i..j])=Min(H[i-1..j])。
求N个串的最长公共⼦串，可以转化为求⼀些后缀的最长公共前缀的最⼤值，这些后缀应分属于N个串。
具体⽅法如下：设N个串分别为S1,S2,S3,…,SN，⾸先建⽴⼀个串S，把这N个串⽤不同的分隔符连接起来。
S=S1[P1]S2[P2]S3…SN-1[PN-1]SN，P1,P2,…PN-1应为不同的N-1个不在字符集中的字符，作为分隔符(后⾯会解释为什么)。
接下来，求出字符串S的后缀数组和Height数组，可以⽤倍增算法，或DC3算法。
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程序员编程艺术第十一章：最长公共子序列(LCS)问题0、前言程序员编程艺术系列重新开始创作了（前十章，请参考程序员编程艺术第一~十章集锦与总结）。
回顾之前的前十章，有些代码是值得商榷的，因当时的代码只顾阐述算法的原理或思想，所以，很多的与代码规范相关的问题都未能做到完美。
日后，会着力修善之。
搜遍网上，讲解这个LCS问题的文章不计其数，但大多给读者一种并不友好的感觉，稍感晦涩，且代码也不够清晰。
本文力图避免此些情况。
力保通俗，阐述详尽。
同时，经典算法研究系列的第三章（三、dynamic programming）写的极其糟糕，所以，也算是对那文的一种弥补。
有任何问题，欢迎不吝赐教。
第一节、问题描述什么是最长公共子序列呢?好比一个数列S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
举个例子，如：有两条随机序列，如1 3 4 5 5 ，and 2 4 5 5 7 6，则它们的最长公共子序列便是：4 5 5。
第二节、LCS问题的解决思路∙穷举法解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法，即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。
X和Y的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。
X的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列（Y亦如此，如为2^n），从而穷举搜索法需要指数时间（2^m * 2^n）。
∙动态规划算法事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质。
记:Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。
∙若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X 与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。
此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
∙若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。
由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm 则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。
此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。
LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。
另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。
行文至此，其实对这个LCS的动态规划解法已叙述殆尽，不过，为了成书的某种必要性，下面，我试着再多加详细阐述这个问题。
第三节、动态规划算法解LCS问题3.1、最长公共子序列的结构最长公共子序列的结构有如下表示：设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, z k>，则：1. 若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列；2. 若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列；3. 若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1的最长公共子序列。
其中X m-1=<x1, x2, …, x m-1>，Y n-1=<y1, y2, …, y n-1>，Z k-1=<z1, z2, …, z k-1>。
3、2.子问题的递归结构由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当x m=y n时，找出X m-1和Y n-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x m(=y n)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
当x m≠y n时，必须解两个子问题，即找出X m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y n-1的一个最长公共子序列。
这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Y n-1及X m-1和Y的最长公共子序列。
而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。
用c[i,j]记录序列X i和Y j的最长公共子序列的长度。
其中X i=<x1, x2, …, x i>，Y j=<y1, y2, …, y j>。
当i=0或j=0时，空序列是X i和Y j的最长公共子序列，故c[i,j]=0。
其他情况下，由定理可建立递归关系如下：3、3.计算最优值直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。
由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>作为输入。
输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。
其中c[i,j]存储X i与Y j的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。
最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
view plain由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο(mn)。
3、4.构造最长公共子序列由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的最长公共子序列。
首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。
当b[i,j]中遇到"↖"时（意味着xi=yi是LCS的一个元素），表示X i与Y j的最长公共子序列是由X i-1与Y j-1的最长公共子序列在尾部加上x i得到的子序列；当b[i,j]中遇到"↑"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i-1与Y j的最长公共子序列相同；当b[i,j]中遇到"←"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i与Y j-1的最长公共子序列相同。
这种方法是按照反序来找LCS 的每一个元素的。
下面的算法LCS(b,X,i,j)实现根据b的内容打印出X i与Y j的最长公共子序列。
通过算法的调用LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。
LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。
在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。
例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。
由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：我来说明下此图（参考算法导论）。
在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。
第i行和第j列中的方块包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭头。
在c[7,6]的项4，表的右下角为X 和Y的一个LCS<B，C，B，A>的长度。
对于i，j>0，项c[i，j]仅依赖于是否有xi=yi，及项c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，这几个项都在c[i，j]之前计算。
为了重构一个LCS的元素，从右下角开始跟踪b[i，j]的箭头即可，这条路径标示为阴影，这条路径上的每一个“↖”对应于一个使xi=yi为一个LCS的成员的项（高亮标示）。
所以根据上述图所示的结果，程序将最终输出：“B C B A”。
3、5.算法的改进对于一个具体问题，按照一般的算法设计策略设计出的算法，往往在算法的时间和空间需求上还可以改进。
这种改进，通常是利用具体问题的一些特殊性。
例如，在算法LCS_LENGTH和LCS中，可进一步将数组b省去。
事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i,j]也只是用来指示c[i,j]究竟由哪个值确定。
因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。
既然b对于算法LCS不是必要的，那么算法LCS_LENGTH便不必保存它。
这一来，可节省θ(mn)的空间，而LCS_LENGTH和LCS所需要的时间分别仍然是Ο(mn)和Ο(m+n)。
不过，由于数组c仍需要Ο(mn)的空间，因此这里所作的改进，只是在空间复杂性的常数因子上的改进。
另外，如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求还可大大减少。
事实上，在计算c[i,j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。
因此，只要用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。
更进一步的分析还可将空间需求减至min(m, n)。
第四节、编码实现LCS问题动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下，以两个序列X、Y为例子：设有二维数组f[i][j] 表示X的i位和Y的j位之前的最长公共子序列的长度，则有：f[1][1] = same(1,1)f[i][j] = max{f[i− 1][j− 1] +same(i,j), f[i− 1][j] ,f[i][j− 1]}其中，same(a,b)当X的第a位与Y的第b位完全相同时为“1”，否则为“0”。