高中数学 3.2简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4

第三章 三角恒等变换 3．2 简单的三角恒等变换
1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明． 2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．
基础梳理
一、利用二倍角公式推导半角公式
(1)因为α是α
2的二倍角，所以在二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2
α中，以α代替2α，
以α
2代替α，即cos α＝1－2sin 2
α
2，所以sin 2
α2
＝1－cos α
2
．
(2)在二倍角公式cos 2α＝2cos 2
α－1中，以α代替2α，以α
2代替α，即cos α＝
2cos
2
α
2
－1，所以cos
2
α2＝
1＋cos α
2
．
(3)由(1)(2)中所得两式相除得tan
2
α2＝1－cos α1＋cos α
. 综上，sin α
2
＝±_
1－cos α2，cos α
2
＝±_1＋cos α2，tan α
2
＝±_1－cos α
1＋cos α
．
上面的三个式子称为半角公式．同样有tan α2＝1－cos αsin α＝sin α
1＋cos α
．
思考应用
1．下列各式中恒成立的是(B )
A ．tan α2＝1－cos αsin α
B ．cos 2α2＝1＋cos α2
C ．tan α
2
＝± 1－cos α1＋cos α D ．tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α
解析：A.tan α2＝1－cos α
sin α
不恒成立．恒成立的条件是sin α≠0，
C ．tan α
2
＝±1－cos α
1＋cos α
不恒成立．恒成立的条件是cos α≠－1，
D ．tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α不恒成立． 恒成立的条件是tan α≠±1， B 恒成立，故选B.
二、和差化积与积化和差公式的推导
由sin ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β， sin ()α－β＝sin αcos β－cos αsin β得 sin αcos β＝1
2[]sin ()α＋β＋sin ()α－β，①
cos αsin β＝1
2[]sin ()α＋β－sin ()α－β．②
由cos ()α＋β＝cos αcos β－sin αsin β， cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β得 cos αcos β＝1
2[]cos ()α＋β＋cos ()α－β，③
sin αsin β＝－1
2[]cos ()α＋β－cos ()α－β．④
上面的公式①②③④统称为积化和差公式．
上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝φ，则有α＝
θ＋φ
2
，β＝
θ－φ
2
，把α，
β代入上面的式子得到：
sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ
2cos θ－φ
2，⑤ sin θ－sin φ＝2cos
θ＋φ2
sin
θ－φ
2
，⑥
cos θ＋cos φ＝2cos
θ＋φ
2cos
θ－φ
2，⑦ cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ
2
sin
θ－φ
2
．⑧
上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式． 思考应用
2．形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数如何进行变换？ 解析：y ＝a sin x ＋b cos x
＝a 2
＋b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a a 2＋
b 2
sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， ∵－1≤
a a 2＋b
2
≤1，－1≤b
a 2＋
b 2
≤1，
且⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＋b 22
＝1， ∴不妨设cos θ＝
a a 2＋b
2
，sin θ＝b a 2＋b 2
，
则有y ＝a sin x ＋b cos x
＝a 2
＋b 2
()cos θsin x ＋sin θcos x
＝a 2＋b 2
sin(θ＋x )． 自测自评 1．已知sin α＝
55
，则sin 4α－cos 4
α的值为(B ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35
解析：原式＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2
α－1＝－35.故选B.
2．函数f (x )＝2cos 2
x ＋sin 2x 的最小值是1－2． 解析：f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴所求最小值为1－ 2.
3．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2
2，则cos α＋sin α的值为(C )
A ．－
72 B ．－12 C.12 D.72
解析：原式＝
cos 2α－sin 2
α2
2
()sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－
2
2
，∴cos α＋sin α＝12
.故选C.
4．若α∈(π，2π)，则
1－cos （π＋α）
2
等于(D )
A ．sin α2
B ．cos α
2
C ．－sin α2
D ．－cos α
2 解析：∵α∈(π，2π)，∴α2
∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴
1－cos （π＋α）
2＝
1＋cos α
2
＝cos 2
α2＝－cos α
2.故选D.
基础提升
1．已知180°＜α＜360°，则cos α
2＝(C )
A. 1＋cos α
2
B. 1－cos α
2 C ．－
1＋cos α
2
D ．－ 1－cos α
2
解析：∵90°＜α2＜180°，∴cos α
2
＝－
1＋cos α
2
. 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函
数解析式是(A )
A ．y ＝2cos 2
x B ．y ＝2sin 2
x C ．y ＝1＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x
解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos
2x ＝2cos 2
x ，故选A.
3．函数y ＝si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期T ＝____________．
解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x cos x ＝12sin x cos x ＋32cos 2
x ＝14sin 2x ＋34cos 2x
＋
34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3
4.∴T ＝π.
答案：π
4．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么1＋tan α1－tan α的值为(B )
A.1316
B.3
22 C.
1322 D.316
5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3＋2α＝(A ) A ．－79 B ．－1
3
C.13
D.79
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－α
＝－1＋2×19＝－7
9.故选A.
巩固提高 6．函数
y ＝－3sin x ＋cos x
在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6
上的值域是
______________________________________________________________________________________．
答案：[0，3]
7.函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是(D ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π
6
，－π6
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0
解析：f (x )＝2sin(x －π3
)．
x ∈[－π，0]，∴x －π3
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－4
3π，－π3，
由x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π3得，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0，故选D. 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos
C ＋cos A sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．
解析：(1)A ＋C ＝π－B ，A ，B ∈(0，π)⇒sin(A ＋C )＝sin B ＞0 2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝ sin B ⇔cos A ＝12⇔A ＝π
3
.
(2)设BC →＝a ，AC →＝b ，AB →＝c ，则|a |2
＝a·a ＝(b －c )·(b －c )＝b ·b ＋c ·c －2b ·c ＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ⇒a ＝3⇒b 2＝a 2＋c 2⇒B ＝π2
.
在Rt △ABD 中，
AD ＝AB 2＋BD 2
＝
12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝72.
9．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x
4－23sin 2
x
4＋3：
(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式； (2)求f (x )的最小正周期及最值．
解析：(1)f (x )＝sin x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 4＝s in x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3.
(2)由(1)知f (x )的最小正周期为T ＝4π.
当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )min ＝－2；
当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )max ＝2.
1．简单的三角恒等变换是高考必考内容．从近几年高考考查的方向看，主要考查求三角函数的值，其次是通过三角函数式的变换研究三角函数的性质．以小题为主，一般以选择题、填空题形式出现．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式和正切公式，进而导出倍角公式等，并了解它们的内在联系．也就是既要掌握公式的来历，又要熟悉各公式之间的相互转化，从而做到灵活运用公式解决相关问题．。