电力系统分析习题集(第四章)

电力系统分析习题集（第四章）【例4-1】试求解图2-8的简单系统的最优潮流。

【解】除由图2-8提供的系统母线负荷功率数据、线路参数和变压器支路参数数据、变压器变比数据（非标准变比在首端）之外，以下顺序给出线路传输功率边界、发电机有功、无功出力上下界和燃料耗费曲线参数(燃料耗费曲线所用有功功率变量为标幺值)。

若不作说明所有数据都是以标幺值形式给出，功率基准值为100MVA ，母线电压上下界分别为1.1和0.9。

首先，我们先列出该算例的数学模型和有关计算公式。

在该算例中，共有节点5个，相应的状态变量为： {}5544332211~V V V V V θθθθθ=x 系统中有2台发电机，没有其它无功源，因此控制变量为： {}2121~R R G G Q Q P P =u应该指出，此处发电机和无功源的编号与节点编号无关，是独立编号的。

这是因为系统中一个节点可能接有多台发电机的缘故。

因此系统中总变量共14个：{}55443322112121V V V V V Q Q P P R R G G θθθθθ=x 。

最优潮流的数学模型为：目标函数：.min )()(022122222011112121a P a P a a P a P a G G G G +++++约束条件：每个节点有2个潮流方程，共有10个等式约束条件。

对非发电机节点：0)sin cos (51=+--=∆∑=ij j ij ij ijj iDi i B GV V P P θθ0)cos sin (51=-+-=∆∑=ij j ij ij ijj iDi i B GV V Q Q θθ（3,2,1=i ）对发电机节点： 0)sin cos (51=+--=∆∑∑=∈ij j ij ij ijj iDi ik Gki B GV V P PP θθ0)cos sin (51=-+-=∆∑∑=∈ij j ij ij ijj iDi ik Gki B GV V Q QQ θθ（5,4=i ）（i k ∈表示第k 台发电机接在节点i 上，41∈=k ，52∈=k ）不等式约束条件共有14个，分别为：Gi Gi Gi P P P ≤≤ （2,1=i ）Ri Ri RiQ Q Q≤≤（2,1=i ） i i i V V V ≤≤（5,...,1=i ）ij ij ij P P P ≤≤- （对所有5条支路）其中： )sin cos (2ij ij ij ij j i ij i ij B G V V G V P θθ++=根据以上模型可以形成式（4-30）的修正方程。

构成该方程式包括形成等式左边的系数矩阵和等式右边的常数项两部分。

（1）形成系数矩阵式（4-30）中修正方程的系数矩阵主要由4大部分组成：等式约束雅可比矩阵)(x h x ∇、不等式约束雅可比矩阵)(x g x ∇、对角矩阵Z L 1-，W U 1-和海森矩阵H '。

以下分别进行讨论。

等式约束的雅可比矩阵：1014~)(⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇x h Q h P h x h R G x式中右端矩阵包含3个子矩阵：1022525212115151111......⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂=∂∂G G G G G G G G P Q P P P Q P P P Q P P P Q P P G P h其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧∉∈-==∂∆∂=∂∆∂ji j i P P P Q Gi j Gi j 011022525212115151111......⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂=∂∂R R R R R R R R Q P Q P Q P Q P Q Q Q P Q Q Q P R Q h 其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧∉∈-=∂∆∂=∂∆∂ji j i Q Q Q P Ri j Ri j01式中i 为发电机的序号，j 为节点号，j i ∈表示第i 台发电机是接在节点j 上的，反之用j i ∉表示。

101055555151555551511515111115151111............~⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂=∂∂V Q V P V Q V P Q P Q PV Q V P V Q V P Q P Q P θθθθθθθθ x h （潮流计算中的雅可比矩阵）●不等式约束的雅可比矩阵：1414432143214321~~~~⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇x g xg x g x gQ g Q g Q g Q gP g P g P g P g g R R R R G G G G x式中1g 、2g 、3g 和4g 依次表示电源有功出力的上下界约束，无功电源无功出力的上下界约束，节点电压幅值的上下界约束和线路潮流约束。

221⨯=∂∂I P g G ，221⨯=∂∂0Q g R ，2101~⨯=∂∂0x g ；222⨯=∂∂0P g G ，222⨯=∂∂I Q g R ，2102~⨯=∂∂0x g ；523⨯=∂∂0P g G，523⨯=∂∂0Q g R ，524⨯=∂∂0P g G ， 524⨯=∂∂0Q g R510310 (00)00...0000 (0100) (00)~⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∂∂ x g （其中第i ⋅2行i 列元素为1，其余元素均为0）5105455425415455425411451421411451421414............~⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂V g V g V g g g g V g V g V g g g g θθθθθθ x g 矩阵中的元素为：)cos sin (ij ij ij ij j i iij B G V V p θθθ-=∂∂)cos sin (ij ij ij ij j i jij B G V V p θθθ--=∂∂)sin cos (2ij ij ij ij j ij i iij B G V G V V p θθ+-=∂∂)sin cos (ij ij ij ij i jij B G V V p θθ+-=∂∂● 对角矩阵 ),...,(1414111z z diag =-Z L ，),...,(1414111w u w diag =-W U 。

● 海森矩阵 )(])[())(()()(222x g W U Z L x g w z x g y x h x f H 11Tx x x x x ∇-∇-+∇+∇+-∇='--。

这是最复杂的部分，共包含4项。

由以上推导已经可以得到其中第4项：)(])[(x g W U Z L x g 11T x x ∇-∇--而其余3项是：目标函数的海森矩阵)(2x f x ∇、等式约束海森矩阵与拉格朗日乘子y 的乘积y x h )(2x ∇和不等式约束海森矩阵与拉格朗日乘子w z +的乘积))((2w z x g +∇x ，现分别讨论如下。

① 目标函数的海森矩阵：1414222)(⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇00000000A x f x ，其中2A 是以机组燃料用二次系数i a 2（G S i ∈）为对角线的矩阵22⨯∈R 。

② 等式约束海森矩阵y x h )(2x ∇与拉格朗日乘子y 的乘积，y x h )(2x ∇可表示为：∑=---------⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂+∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∆∂+∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∂∆∂+∂∂∆∂∂∆∂+∂∆∂ni i ii i i i i i i i i i i i i i i Ri i R i i i i ii ii i i i i i i Gi i G i y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P y Q y P 1222122222122221222212222212222212222122221222221222)~~()~~()~~()~~()()()~~()()(x x Q x Q x P x P x x Q x Q Q Q P Q P Q x P x P Q P Q P P P R R G G R R G R G R G G R G R G1414101021021010222221022222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 00000000因此只需求其中)(25112Qi i Pi i i y yA A A +=∑=-，为此首先应求出pi A 和Qi A ：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∆∂=252552152152512512112212V P V P V V P V P V P P V P P i ii i i ii i piθθθθθθθA根据i P ∆的表达式（见模型）不难得到矩阵中的元素，如：)sin cos (22ij ij ij ijij j ii i B GV V P θθθ+=∂∆∂∑≠)sin cos (2ij ij ij ij j i ji iB G V V P θθθθ+-=∂∂∆∂)cos sin (2ij ij ij ijij jii iB GV V P θθθ-=∂∂∆∂∑≠)cos sin (2ij ij ij ij i ji iB G V V P θθθ-=∂∂∆∂等等。

同理，对于⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∆∂=252552152152512512112212......V Q V Q V V Q V QV Q Q V Q Q i i i i i i ii Qiθθθθθθθ A也可根据i Q ∆的表达式（见模型）不难得到矩阵中的元素，如：)cos sin (22ij ij ij ijij j ii i B GV V Q θθθ-=∂∆∂∑≠)cos sin (2ij ij ij ij j i ji iB G V V Q θθθθ--=∂∂∆∂)sin cos (2ij ij ij ij ij j ii iB G V V Q θθθ+-=∂∂∆∂∑≠)sin cos (2ij ij ij ij i ji iB G V V Q θθθ+-=∂∂∆∂等等。