河北省大名县一中2020届高三数学10月月考试题 理

河北省大名县一中2020届高三数学10月月考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知A={x|2x<0}，B={x|y=2x +}，则A B=
A.[-2,0)
B.[-2,0]
C.(0,+∞)
D.[-2,+∞） 2．在复平面内，复数
1
2i
+(其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3. 设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρ
ρ（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5 4．已知(
,)42
ππ
α∈，cos (cos )a αα=，cos (sin )b αα=，sin (cos )c αα=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<
D ．c a b <<
5. 若“01x <<”是“()()20x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( ）
A. (,0][1,)-∞⋃+∞
B. ()1,0-
C. []1,0-
D. (,1)(0,)-∞-⋃+∞
6． 某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是（ ）
A ．27
B ．37
C ．
57
D ．47
7．使函数()()()sin 23cos 2f x x x ϕϕ=+++为奇函数，且在0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数的ϕ的一个值是（ ） A ．
3
π
B ．23π C. 43π
D ．
53
π
8.已知,x y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩
,则()2
23x y ++的最小值为( )
A. 10
B. 22
C. 8
D. 10
9．函数f (x )＝1x x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
（A ） （B ） （C ） （D ）
10. 设各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40等于( )
A.150
B.-200
C.150或-200
D.400或-50
11. 已知椭圆 C :()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,且以线段12A A 为直径
的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则 C 的离心率为( )
A.
6 B. 3 C. 2 D. 1
3
12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()2
4f x x f x =--，
当(,0)x ∈-∞时，()142f x x '+<.若3
(1)()32
f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）
A.1,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
C.[)1,-+∞
D.[)2,-+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若
51378=a a ，则.______13
15=S S
14.已知()()23,0,
,0,
x
x f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，()()2f g -=则 .
15．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，外接圆半径为1，且则△
ABC 面积的最大值为____
16．如图，在四边形ABCD 中，ABD △和BCD △都是等腰直角三角形，=2AB ，
=
2BAD π∠，=2
CBD π
∠，沿BD 把ABD △翻折起来，形成二面角A BD C --，且二面角A BD C --为6
5π，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为___________．
三、解答题
17.（本小题满分10分）
已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1=a ，b c C 2cos 2=+.
（1）求A ； （2）若1
2
b =
, 求sin C . 18.（本小题满分12分） 已知点()()2,0A m m ->,圆2
2
:24200C x y x y +-+-=
（1）写出圆C 的标准方程
（2）若过点A 的圆的切线只有一条,求m 的值及切线方程
（3）若过点A 且在两坐标轴上截距(截距不为零)相等的直线被圆截得的弦长为217,求m 的值
19.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 是首项为114a =
,公比1
4
q =的等比数列,设14
23log ()n n b a n N ++=∈,数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.
（1）求证:{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ; 20.（本小题满分12分）
如图，在多面体111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11AA BB ∥， 111
,2
B C BC ∥
1.2
AB AC AA BC ===
（1）求证：1AB //平面11AC C ；
（2）求二面角11
C AC A --的余弦值．
21.（本小题满分12分） 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为12,F F ,离心
率为
2
,且过点(. （1）求椭圆C 的标准方程
（2）,,,M N P Q 是椭圆C 上的四个不同的点,两条都不和x 轴垂直的直线MN 和P Q
、分别过点12,F F ,且这两条直线互相垂直,求证: 11
MN PQ
+为定值 22．（本小题满分12分） 已知函数1
22
)21
ln()(++
+=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围
（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
高三月考理科数学答案
1—5 ADADC 6---10 BBDDA 11---12 AA
13 .3 14. 1 15.
4π
17.（Ⅰ）因为1=a ，b c C 2cos 2=+，由余弦定理得222
1222b c c b b
+-⨯
+=,即2
2
1b c bc +-=.所以22211cos 222b c bc A bc bc +-=
==.由于0A π<<, 所以3
A π
=. （Ⅱ）法1: 由12b =及221b c bc +-=, 得2
211122c c ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
, 即24230c c --=,
解得c =
或c =(舍去). 由正弦定理得sin sin c a C A
=, 得
sin sin 60C ︒=
=
(18)解析：(1)圆的标准方程为: ()()2
2
1?2?
25x y -++= (2)由于过点A 的圆的切线只有一条,则点A 在圆上,故()2
9225m ++=,所以2m =又
()224213CA
k --==---,所以切线的斜率为34,切线方程为()3224
y x =++,整理得到
34140x y -+=.
(3)因为过A 的直线在两坐标轴上截距相等且不为零,所以直线的斜率为1-, 设直线方程为()2y x m =-++,也就是20x y m ++-=,又圆心到该直线的距离为
==解得3m =- (舎)或5m =.
19(1).证明:由题意知,1
()()4
n n a n N +=∈,
∵114
32,1n n b long a b =-=,∴11114
4
3log 3log 3n n n n b b a a ++-=-=,又
1114
3log 21b a =-=
∴数列{}n b 是首项11b =,公差3d =的等差数列.
(2).由(1)知,1(),32()4n n n a b n n N +==-∈,∴1(32)(),()4
n n c n n +=-⨯∈N ,
∴231111
14()7()...(32)()4444n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯;
于是234111111
1)4()7()...(32)()44444
n n S n +=⨯(+⨯+⨯++-⨯,
两式相减得1311
(32)()424n n S n +=-+.
∴1
21281()()334
n n n S n N +++=-⨯∈.
20(1）取BC 的中点D ，连结1,,AD DC 由条件知11CD B C P ，11BD B C P ，∴四边形11B DCC 和
11BDC B 为平行四边形，∴11B D CC P ，11C D BB P ，∴
11C D AA P ，
∴四边形11AAC D 为平行四边形，∴11,AD A
C P ∴平面1AB
D P 平面11AC C ，则1AB P 平面11AC C 。

（2）由（Ⅰ）知1,,AA AB AC 两两垂直，如图建系，
设2BC =，则(0,0,0)A ，1(0,0,2)A ，
122
(0,2,0),(,,2)22
C C --
-， 11122
(,,0),(0,2,2).22
AC AC =--=--u u u u r u u u r
设平面11
AC C 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则由1110
m A C m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r
u r u u u r ，得2202
2220x y y z ⎧--=⎪
⎨⎪--=⎩
，取1x =，则1, 1.y z =-=故(1,1,1)m =-u r ， 而平面1A AC 的法向量为(1,0,0)n =r ，则cos ,.3m n m n m n ⋅<>==u r r
u r r u r r 所以二面角11C AC A --为钝二面角，故二面角11
C AC A --的余弦值为3
.-
21(1).
由已知c e a ==,所以222222
112
b a
c e a a -==-=所以22
2a b =,所以22
22:12x y C b b
+=,即22222x y b +=.因为椭圆C
过点(,得224,8b a ==.
所以椭圆C 的方程为22
184
x y += (2).证明:由1知椭圆C 的焦点坐标为()()122,0,2,0F F -,
根据题意,可设直线MN 的方程为()2y k x =+,由于直线MN 与直线P Q 、互相垂直,则直
线P Q 、的方程为()1
2y x k =-
-,设()()1122,,,M x y N x y .由方程组()
22
2{1
84
y k x x y =++=,消y 得()2
2
2
2
218880k x k x k +++-=.则2212122
2888
,2121
k k x x x x k k --+==++,
所以
)22121
k MN k +==
+
同理可得)22
12
k PQ k +=
+,
所以
22118
MN PQ +=+== 22（1）2
22)
12)(12(4
28)12(4122)('++-+=+-+=x ax a ax x ax a x f 由已知0)('≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，即04282≥-+a ax 恒成立 分离参数得1
422+≥x a ，
因为0>x
所以21
4201142
2<+<
⇒>+x x
所以正实数a 的取值范围为：2≥a
（2）假设存在这样的实数a ，则1)(≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，且可以取到等号
故1)1(≥f ，即2
11ln 031)21ln(132)21ln(>⇒=>≥+⇒≥+
+a a a 从而这样的实数a 必须为正实数，当2≥a 时，由上面的讨论知)(x f 在),0(+∞上递增，
12ln 2)0()(>-=>f x f ，此时不合题意，故这样的a 必须满足20<<a ，此时：
令0)('>x f 得)(x f 的增区间为
),42(
+∞-a a
令0)('<x f 得)(x f 的减区间为
)42,
0(a a
-
故
1
1
4222
)2
1
42ln()42(
)(min =+-++-=-=a a a a a a a f x f
整理得0
22)212ln(2=+----+-a a a
a a a
即0
222222)212ln(22
2=-+---+-a a a a a a ，设
]1,21(2122∈+-=a a t ， 则上式即为
11ln =--
t t ，构造11
ln )(--=t t t g ，则等价于0)(=t g
由于t y ln =为增函数，
1
1-=
t y 为减函数，故11ln )(--=t t t g 为增函数
观察知0)1(=g ，故0)(=t g 等价于1=t ，与之对应的1=a 综上符合条件的实数a 是存在的，且1=a。