2019-2020学年数学人教A版4-1课件：1.1 平行线等分线段定理

所以BG=GE. 又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC.
在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF,
所以DF=FC.
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一 平行线等分线段定理
探究一
探究二
探究三
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第一讲 相似三角形的判定及有关性质
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学习目标
思维脉络
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变式训练2 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB,求
证:AE=EC=DE.
分析过点D作DG∥AE交BC于G,再用平行线等分线段定理证明.
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证明过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD,DG∥AE,
(2)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上 截得的线段也相等. ( )
(3)三角形的三条中位线长度的和等于该三角形周长的一半. ( ) (4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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BC的中点,所以BE=EC
=12BC=12AD.
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解因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,BC=AD. 又因为 OE∥AB,所以 BE=CE=12BC. 又因为 AD=6,故 BE=12BC=12AD=3.
1.理解平行线等分线
段定理的本质.
平行线等分线段定理
2.理解平行线等分线 段定理的证明过程. 3.掌握平行线等分线 段定理的推论 1、推
平行线等分线段定理 推论 1 推论 2
论 2 及其应用.
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(3)连接A6B,分别过A1,A2,A3,A4,A5作A6B的平行线A1C,A2D,A3E,A4F,A5G, 分别交AB于点C,D,E,F,G,则C,D,E,F,G就是所求作的线段AB的六等分
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探究二证明线段相等
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【例2】如图所示,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点 (BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.
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变式训练1 已知线段AB,在线段AB上求作一点P,使
AP=13AB.
解如图所示,作法步骤如下: (1)过点A任作射线AM(与AB不共线); (2)在AM上以任意长度顺次截取AE=EF=FG; (3)连接GB,过E,F分别作EP∥GB,FQ∥GB,分别交AB于点P,Q,则点P为 所求的点.
A.AE=CE B.BE=DE
C.CE=DE D.CE>DE 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案.
答案C
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2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A.130 cm
B.5 cm
C.52 cm
D.3 cm
解析因为 CD∥EF,OD=DF,所以 C 为 OE 的中点,因此 OC=CE.
因为 AB∥CD,AO=OD,所以 O 为 BC 的中点,故 BO=OC,因此
OB=13BE=130 cm. 答案 A
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探究一作已知线段的等分点
【例1】 已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明. 分析根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取定的长
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分。
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5.如图,在平行四边形ABCD中,设E和F分别是边BC和AD的中点,BF和DE 分别交AC于P,Q两点.求证:AP=PQ=QC.
分。
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1
2
3
4
5
1.下列用平行线等分线段的图形中,错误的是( )
解析由平行线等分线段定理可知,C项错误. 答案C
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分。
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3.推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.
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则
答案A
EF=12(AD+BC)=12×10=5(cm).
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分。
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3.如图所示,若a∥b∥c,那么下列结论中错误的是( )
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变式训练3 如图,已知AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点O,若 AO=OD=DF,BE=10 cm,则OB的长为( )
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)如果一组直线在两条直线上截得的线段相等,那么这组直线一定 平行. ( )
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4.如图所示,已知a∥b∥c,直线m,n分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点
A',B',C',如果AB=BC=1,A'B'=3,则B'C'=
.
解析由平行线等分线段定理可知A'B'=B'C'.又因为A'B'=3,所以B'C'=3. 答案3
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2
3
做一做1 如图所示,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直线 CD分别与a,b,c交于点C,E,D,若AE=EB,则( )
证明因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线,所以D为BC的中点. 因为DE∥AB,所以由平行线等分线段定理的推论1知,E为AC的中点,
于是 AE=EC,且 DE=12AB. 又因为 AB=AC, 所以 DE=12AC=AE,故 AE=EC=DE.
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度顺次截取6条相等线段,分别设为AA1,A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6,连接端 点A6与点B,再过其他端点作BA6的平行线,分别交AB于C,D,E,F,G,则线 段AB就被这些平行线分成六等份了.
解(1)任作射线AM(与AB不在同一直线上); (2)在射线AM上顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6;
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探究三求线段的长度
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【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O,OE∥AB交BC于点E,AD=6,求BE的长.
分析由于OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得出E是
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2
3
1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截 得的线段也相等.
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-13- 第十三页，编辑于星期六：二十三点 五十二分
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A.由AB=BC可得FG=GH B.由AB=BC可得OB=OG C.由CE=2CD可得CA=2BC D.由 GH=12FH 可得 CD=DE 解析由于OB,OG不是一条直线被一组平行线截得的线段,故不一定有
OB=OG,即B项错误.
答案B
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分。
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做一做2 如图,已知AD∥EF∥BC,E是AB的中点,则DG=
的中点,F是
的中点.
,H是
解析由平行线等分线段定理、推论1和2以及AE=EB可得答案,故填 BG,AC,CD.
答案BG AC CD
2.
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10 cm,E为AB的中点,点F在DC
上,且EF∥AD,则EF的长为( )
A.5 cm B.10 cm
C.20 cm D.不确定
解析由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线,
点,如右上图所示.
证明如下:因为A1C∥A2D∥A3E∥A4F∥A5G∥A6B, 又AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6, 由平行线等分线段定理可得AC=CD=DE=EF=FG=GB,即
C,D,E,F,G就是线段AB的六等分点.
-12- 第十二页，编辑于星期六：二十三点 五十二分
证明因为四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,AD边的中点, 所以DF∥BE,且DF=BE,所以四边形BEDF是平行四边形. 因为在△ADQ中,F是AD的中点,FP∥DQ, 所以P是AQ的中点,所以AP=PQ. 因为在△CPB中,E是BC的中点,EQ∥BP, 所以Q是CP的中点,所以CQ=PQ,故AP=PQ=QC.