公开课-复数的几何表示.
中学数学公开课优质课件精选复数的坐标表示
(1)log
2
(m2
3m
3)
0
m 2
3m
3
1
m
4
m20
m2 z i,| z | 1
log (2)
2
(m2
3m
3)
log2 (m 2) 0
0
3
2
21
m
4
(3) log 2 (m2 3m 3) 2 log 2 (m 2) 1 0
log 2
2(m 2 3m (m 2)2
3)
例 ： 设 向 量OZ (log2 (m2 3m 3),log 2 (m 2))(m R) 对 应 的 复 数 为z,
（1） 若OZ在 虚 轴 上 ， 求m, z及 | z |;
（2） 若OZ在 第 二 象 限 内 移 动 ， 求m的 范 围 ；
（3） 若OZ的 终 点Z在 直 线x 2 y 1 0上 ， 求m的 值 。
复数的几何表示：
一、复数的坐标表示：
1、复数的坐标表示:
复数
有序实数对
平面直角坐标系内的点
z a bi(a, b R) (a, b) Z (a, b)
因此可用平面直角坐标系内点 Z (a, b)来表示复数 z a bi(a,b R)
也可用复数 z a bi(a,b R) 来描述平面直角坐标系内点 Z (a, b).
0mຫໍສະໝຸດ 111, m 1
11(舍)
例：已知虚数( x 2) yi( x, y R)的模为 3，求 y 的范围。 x
由题意得：( x 2)2 y2 3
y 即表示圆上的点与原点连线的斜率 x
y [ 3,0) (0, 3] x
O
C
例5、复数Z (x 1) 2xi, (1)若满足 | Z | 2，求实数x的取值范围 (2)求 | Z | 的最小值
复数的几何意义(公开课)课件
在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
u u ur | z | = |O Z |
a2 b2
PPT学习交流
小结
18
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
5
回
复数的
忆
一般形
…
式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
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6
思考1 ： 复数与点的对应
Y
（１） ２+５i ；
（４） －３－５i； （５） ５； （６） －３i；
２ O
５
X
６
３
４
PPT学习交流
7
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
、y= - 3 2
.
特别地，a+bi=0 ａ=b=0 .
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2
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数
b=0 、z为纯虚数
b
0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
∴m=1或m=-2.
PPT学习交流
16
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
复数的几何意义课件(公开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
公开课 复数的几何意义
§3.3复数的几何意义【教学目标】了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．【教学重点与难点】重点：用复平面内的点和向量来表示复数；难点：复数代数形式的加、减运算的几何意义．【自主预习】问题１：复数的代数形式有那两部分组成？问题２：实数a 可以与数轴上的点A(a )是一一对应，这就是实数a 几何意义，类比实数，复数能与什么一一对应呢？几何意义是什么？问题３：什么叫复平面？什么叫实轴？什么叫虚轴？问题4：这种对应及意义与我们前面学过的什么知识很相似？问题5：试表述复数z a bi =+、复平面内点(,)Z a b 和平面向量OZ 之间的关系．问题6：复数加法具有怎样的几何意义呢？【例题精讲】例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4， 2+i, -i, -1+3i, 3-2i,例2 已知复数1234,15z i z i =+=-+，试比较它们模的大小．例3 设z C ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1） |z|=2; (2) 2<|z|<3例4 在复平面中，用向量表示122w =-+， 2w ， 3w ， i w ⋅例5 根据复数加法的几何意义证明：121212||||||||||||z z z z z z -≤+≤+【课堂练习】1， 设复数222log (3)log (3)()z m m m i m m R =--+-∈，若复数z 在复平面上对应的点在直线210x y -+=上，则m 的值为____________．2，已知复数265(2)x x x i -++-在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的取值范围．3，设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合表示图形？（1）||4z = （2）2||4z <<第114页练习1-5【课堂小结】。
复数的公开课课件
A
B
C
D
复数的模与辐角
复数的模定义为$sqrt{a^2+b^2}$，辐角 定义为$arctan(frac{b}{a})$，表示复数在 复平面上的位置。
共轭复数
若复数$z=a+bi$，则其共轭复数为$abi$，两者实部相等，虚部互为相反数。
拓展延伸：其他领域应用举例
电学中的应用 在交流电路中，电压和电流通常 表示为复数形式，以便于计算和 分析电路的性质，如阻抗、功率 因数等。
关键知识点总结回顾
复数的四则运算
复数的加减乘除运算遵循特定的运算法则， 如$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$， $(a+bi)times(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i$等。
复数定义
复数是形如$a+bi$（其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位）的数，
包括实数和虚数。
典型例题解析
01
02
03
例题一
已知正弦交流电源的电压 幅值和频率，求解电路中 某元件的电压和电流。
例题二
已知正弦交流电路中某元 件的阻抗和电源电压，求 解该元件的功率因数和有 功功率。
例题三
已知正弦交流电路中的电 源参数和负载参数，求解 电路的功率传输效率和负 载获得的最大功率。
06 总结回顾与拓展延伸
复数的表示
复数可以用代数形式 $z = a + bi$ 表示，也可以用三角形式 $z = r(cos theta + i sin theta)$ 表示，其中 $r$ 是复数的模，$theta$ 是复数的辐角。
复数相等与共轭性质
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
3.1.2 复数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案).
课题：3.1.2复数的几何意义学科：数学年级：高二班级：一、教材分析：复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
二、教学目标：1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．三、教学重点重点：复数的几何意义及复数的模．四、教学难点难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电子白板六、教学方法：建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本52—53页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）【问题导思】1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ 【提示】 一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．4．平面直角坐标系中的点Z 与向量→OZ有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．5．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ 【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应―→平面向量→OZ.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量→OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．2、合作探究 （1）分组探究探究点1 复数的几何表示和探究点2 复数的向量表示、探究点3 实数绝对值的几何意义: 1.实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件． 【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)． (1)若P 在虚轴上，则4－m2≠0，2m ＝0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则4－m2＜0，2m ＜0，解得m ＜－2. ∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)． 2.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝， 代入方程得a ＋b i ＋＝2＋8i ， ∴b ＝8，a2＋b2＝2，解得b ＝8.a ＝－15，∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.（2）教师点拨1.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 3、巩固训练1.求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－21－i 的模，并比较它们的模的大小． 【解】 |z 1|＝＝10，|z 2|＝21 ＝ ＋21＝23，|z 1|>|z 2|.2.已知复数z 1＝－＋i ，z 2＝－21－23i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝＝2. |z 2|＝3＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．4、拓展延伸已知向量→OZ与实轴正向的夹角为45°，向量→OZ对应的复数z 的模为1，求z . 【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组． 【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵→OZ与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1， ∴a>0，＝1，或a>0，＝1，∴2或2∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. 5、师生合作总结1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．八、课外作业1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．【答案】 C2．若→OZ＝(0，－3)，则→OZ对应的复数为( )A．0 B．－3C．－3i D．3【解析】由复数的几何意义可知→OZ对应的复数为－3i.【答案】 C3．已知3－4i＝x＋y i(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－y i|，|y＋2i|的大小关系为________．【解析】由3－4i＝x＋y i(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4，而|1－5i|＝＝，|x－y i|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.∵<5<，∴|y＋2i|<|x－y i|<|1－5i|.【答案】|y＋2i|<|x－y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．3【解】由题意知Z1(－1，)，Z(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应2的向量分别为→OZ1，→OZ2，→OZ3，→OZ4.九、板书1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．十、教学反思：根据发现的能力,让最后一个发现的学生最先讲,中途发现的学生中间讲,最先一个发现的学生最后讲,也就是由近及远地请学生一个一个地回答.所以从本节课的教学效果来看还是不错的。
复数的几何意义(公开课)
虚部!
…
一个复数 由什么唯 一确定？
思考1 ： 复数与点的对应 Y
（１） ２+５i ；
（２） －３+２i； （３） ２－４i； （４） －３－５i； （５） ５；
２
O ５
１
（６） －３i；
X
６ ４
３
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C F O E
X
D H
B
由此可知，复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的. 复数的几何意义之一是： 记住！
5
y
3
O
5
3
5 x
设z=x+yi(x,y∈R)
3 x y 5
2 2
9 x y 25
2 2
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
例5 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
；
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义ppt课件(公开课)
复数乘法表现为向量的旋转和伸缩，除法表现为向量的反向旋转和伸缩。
复数运算的几何解释
复数加法与减法的几何解释
在复平面上，复数加法表现为两个向量的合成，即平行四边形法则；复数减法表现为一个向量减去另一个向量，即三 角形法则。
复数乘法与除法的几何解释
在复平面上，复数乘法表现为一个向量按另一个向量的模长和辐角进行旋转和伸缩；复数除法表现为一个向量按另一 个向量的模长和辐角的相反数进行旋转和伸缩。
复数的运算与几何
04
意义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
三角函数的性质
利用三角函数的性质，可以方便地进行复数的乘除运算和 乘方运算。
指数表示法
定义
指数运算的性质
复数 $z$ 可以表示为 $z = r e^{i theta}$，其中 $r$ 是复数 $z$ 的模 ，$theta$ 是复数 $z$ 的辐角。
利用指数运算的性质，可以方便地进 行复数的乘除运算和乘方运算，以及 求解复数的方程等。
复数的实部，纵坐标表示复数的虚部。
两点间距离的计算
02
利用复数表示两点，可以直接通过复数运算计算两点间的距离。点到直线的距离03
通过复数表示点和直线，可以方便地计算点到直线的距离。
直线的方程与性质
复数的几何意义公开课
05
复数在电路分析中应用 举例
交流电路中电压、电流表示方法
正弦交流电的表示
通过复数形式表示正弦交流电的电压和电流，包括振幅、频 率和相位等信息。
复数阻抗的引入
在交流电路中，引入复数阻抗概念，将电阻、电感和电容等 元件的阻抗统一表示为复数形式。
利用复数进行电路分析和计算
复数代数运算
复数在频域分析中的应用
极坐标转换为直角坐标
对于任意点 P(ρ,θ)，其直角坐标为 (x,y)，其中 x=ρcosθ，y=ρsinθ。
转换公式应用
在解决复数问题时，可以根据需要灵活选择直角坐标或极坐标进行表示和计算。例如，复 数的乘除运算在极坐标下更为简便。
04
复数几何意义探讨
旋转角度和伸缩因子意义阐述
旋转角度
在复平面上，复数可以表示为模长和辐角的形式。辐角表示复数向量与实轴之间的夹角，即旋转的角度。通过复 数的乘法运算，可以实现向量的旋转。例如，乘以复数i相当于逆时针旋转90度。
复数由实部和虚部组成 ，形如 $z = a + bi$， 其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
包括复数的加法、减法 、乘法和除法，运算时 需遵循复数运算法则。
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐 角 $theta$ 由 $z$ 在复 平面上的位置确定，满 足 $tan theta = frac{b}{a}$。
交流电机控制策略设计
通过引入复数阻抗概念，设计交流电机的控制策略，实现电机的稳 定运行和高效控制。
通信信号处理
在通信信号处理中，利用复数进行信号调制、解调、滤波等操作， 提高通信系统的性能和稳定性。
2024版复数的几何意义课件公开课
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
复数的几何意义(公开课)
复数的几何意义(公开课)一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版数学九年级下册第21章复数的第一节，复数及其几何意义。
这部分内容主要包括复数的概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的运算规则。
二、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示法。
2. 通过实例，让学生了解复数的几何意义，能利用复数的几何意义解决一些实际问题。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：复数的概念，复数的几何意义。
难点：复数的运算规则，复数在几何意义上的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
学具：每人一本数学课本，一本笔记本，一支笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过多媒体展示一些实际问题，如在平面直角坐标系中，如何表示一个点的位置，引导学生思考如何用数学工具来解决这个问题。
2. 知识讲解：教师在黑板上板书复数的概念，解释复数的代数表示法，通过示例让学生理解复数的几何意义。
3. 例题讲解：教师选取一些典型的例题，讲解如何利用复数的几何意义来解决问题，让学生通过实例体会复数的几何意义。
4. 随堂练习：教师给出一些随堂练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，及时巩固所学内容。
5. 作业布置：教师布置一些作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解题能力。
六、板书设计板书设计如下：复数的几何意义1. 复数的概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何意义4. 复数的运算规则七、作业设计（1）在平面直角坐标系中，点P(2,3)对应的复数是多少？（2）在平面直角坐标系中，复数2+3i对应的点P的位置在哪里？已知复数z=1+2i，求复数z的平方。
八、课后反思及拓展延伸课后，教师应反思本节课的教学效果，观察学生对复数及其几何意义的掌握程度，对教学方法进行调整，以提高教学效果。
同时，教师还可以引导学生拓展学习，如研究复数的的其他性质，复数的应用等。
重点和难点解析一、教学内容本节课的教学内容主要涉及复数的概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的运算规则。
复数的概念 几何意义 公开课活动
复数的概念几何意义公开课活动
复数的概念是数学中基础的概念之一，它由实数和虚数构成，形如
a+bi的形式。
其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，满
足公式i^2=-1。
复数的几何意义非常重要，因为它能将平面上的点与向量相对应。
在
坐标系内，复数a+bi表示的是点(x,y)，其中x等于a，y等于b。
而
如果我们将它看作向量，它的长度就是模，相当于点到原点的距离，
而它的方向就是与实轴的夹角。
因此，复数理论实际上是一种向量理论，并且对于数学和工程领域都具有极大的应用价值。
公开课活动在教育和社会中有着非常重要的地位。
公开课是一种开放
策略和教学方式，让学生和教育工作者互相分享和学习知识和技能。
它不仅可以提升教师的教学技巧，而且还能够激发学生学习的热情和
兴趣，同时也可以促进教育的创新和发展。
对于复数的教学，公开课活动可以很好地提升学生对于复数几何意义
的理解和掌握。
首先，公开课可以将复数与向量的关系进行深入解释，使学生们能够更好地把握两者之间的关联性。
其次，公开课通过实例
演示和互动探讨等方式，可以帮助学生们快速掌握复数的运算技巧和
应用方法。
最后，公开课还可以带给学生们更多思考和探讨的空间，
让他们充分发挥想象和创造力，从而进一步提升学习成果。
总之，复数作为数学中的重要概念和工具，其在几何意义上的重要性更无可替代。
而公开课活动则为学生和教师提供了一个互相学习和分享知识的平台，对于培养学生的创造性思维和提升教育质量都具有重要作用。
复数的概念 几何意义 公开课活动
复数的概念、几何意义与公开课活动一、引言复数是数学中一个重要的概念，不仅在代数学中发挥着重要的作用，还有着丰富的几何意义。
在这篇文章中，我们将深入探讨复数的概念、几何意义，并介绍一个与复数相关的公开课活动。
二、复数的概念2.1 什么是复数复数是由实数域扩充而来的数域，表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，i满足i^2=-1。
2.2 复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，三角形式为r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为幅角。
2.3 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法的运算规则与实数相同，乘法通过分配律和虚数单位的定义可以进行推导，除法则涉及到复数的共轭和分母的模。
三、复数的几何意义3.1 复数平面复数可以在复数平面上表示。
复数平面将复数的实部和虚部分别表示在x轴和y轴上，形成一个二维平面。
复数a+bi在复数平面上对应着点(x,y)，其中x表示实部a，y表示虚部b。
3.2 复数的模和幅角在复数平面中，复数的模表示复数到原点的距离，复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
复数的模和幅角可以通过复数的实部和虚部计算得出，也可以通过某种几何方法确定。
3.3 复数运算的几何意义复数的加法、减法、乘法和除法都有着深刻的几何意义。
加法和减法在复数平面中对应着向量的平移，乘法可以理解为对向量的伸缩和旋转，除法则是乘法的逆过程。
3.4 复数与几何图形复数的几何意义不仅限于基本运算，还可以与几何图形相联系。
例如，复数的模可以表示向量的长度，幅角可以表示向量的方向。
利用复数平面的性质，我们可以更好地理解几何图形的性质。
四、复数的公开课活动4.1 活动名称：探索复数的奥秘本次公开课活动旨在帮助学生全面了解复数的概念和几何意义，并培养学生对复数运算的能力和几何思维。
4.2 活动内容1.简介复数的历史和应用领域，引发学生的兴趣和思考。
2.通过实例介绍复数的概念和表示形式，引导学生运用代数和几何方法理解复数。
复数的几何意义 课件
所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．
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解： （1） 原方程即 Z 3 -1=0，方程左边可分解因式：
Z 3 -1=（Z-1）（ Z 2 +Z+1） 因此，原方程为
（Z-1）（ Z 2 +Z+1）=0
即
Z-1=0 或（ Z 2 +Z+1）=0
第一个方程 Z-1=0 只有一个根 1
第二个方程 Z 2 +Z+1=0 是一元二次方程，利用求根公式求得它在复 数范围内有两个根：
例 2：如图 5—5，已知 OACB 是复平面上的平 行四边形，O 是原点，A,B 分别表示复数 3+i, 2+4i ,M 点是 OC，AB 的交点，求 C，M 表示的复数。
y
B
C
M
A
O
x
图 5-5
解：由于OA ，OB 分别代表 3+i, 2+3i,
OC = OA + OB 代 表 的 复 数 为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3+i)+(2+4i)=5+5i，这也就是 C 代表
的复数。
1
1
OM = 2 OC 代表的复数为 2（5+5i）
=
5 2
+
5 2
i，这也就是
M
代表的复数。
例 3： （1）求方程Z3 =1 的全部根 （2）将方程 Z 3 =1 的所有的根都用复平
面上的点表示。观察：以这些点 为顶点组成的多边形是什么形 状，处于什么位置？
写成公式，即 a bi = a2 b2 ，其中 a，b ∈R
对任意复数 Z=a+bi（a，b ∈R），如果保持它的实部 a 不变，将 虚部系数 b 变成它的相反数-b，得到的复数 a-bi 称为原来的复数 Z 的 共轭复数，记 Z ，
也就是说a bi =a-bi 当然，反过来也有a bi =a+bi，因此 Z =Z
一般地，由表示复数 a bi 的向量 OP 的坐标为（a，b）
可求出它的模为 OP = a2 b2
（3）点 P3（4，3），P4（4，-3）关于实轴对 称，它们所表示的复数 4+3i 与 4—3i 的实 部相同，虚部系数互为相反数。
对任意复数 Z=a+bi，我们将它在复平面上所对应的向量的模 a2 b2 称为复数 Z 的模，也称为 Z 的绝对值，记作 Z ，
由向量 OS =(a+c,b+d)= OP + OQ 表示，OS 是以 OP，OQ 为邻边的平
行四边形的对角线。这也就是说，复数 Z，ω的加法由对应的 OP ，
OQ的加法来表示。 y
P
S
D
Q
O
x
类似地，复数的减法由对应的向量的减法来表示： Z-ω(a-c)+(b-d)i OD =(a-c , b-d)= OP —OQ ，OD 与 QP 同向 平行且长度相等；复数 Z 与任一实数 k 的乘法由复数对应的向量 OP 与 k 的乘法表示： kz=ka+kbi OM =(ka , kb)=k OP
Z Z = Z 2，即 Z = Z Z
想一想，当复数Z是实 数时，用这个公式算出 Z是 否与以前熟悉的绝对值一 致？
如图 5—4，设复数 Z=a+bi，ω=c+di 分别由向量 OP ，OQ 表示， 即 OP =（a，b），OQ =（c，d），则这两个复数的和 Z+ω=(a+c)+(b+d)i，
随堂练习 书P101 练习1 、2 课时作业
书 P101 习题 3 ： 1、2、3、4
谢谢！
5.4 复数的几何表示
开课老师:张群
每个实数 a 都可以用平行于数轴的向量 OP = ae 来表示。如图 5—1
01
a
•
Oe
P
图 5—1
将复数a bi 用平面上这个点 P（a， b）表示，同时也用平面上这个向量 OP =（a，b）表示，这就将全体复数 与平面上点的集合建立了一一对应关 系，也将全体复数与平面上全体向量 的集合建立了一一对应关系。
1 3i 1 3 i
2
22
于是原来的三次方程 Z 3 =1 在复数范围内有三个根 1， 1 3 i ， 1 3 i
22
22
（2）复平面上表示这三个根 1， 1 3 i ， 1 3 i 的
22
22
点， P1， P2 , P3 。如图 5-6
y
P2
O
P3
P1
x
观察发现，以这些点为顶点的△ P1 P2 P3 是正 三角形，内接于以原点为圆心，半径为 1 的圆。
如图5—2
y P(a,b)
a+bi
e2
e1
x
按上述方式与全体复数建立了一一对应关系的平面叫做复平 面，它的 x 轴由表示实数的所有的点组成，y 轴由表示零或纯虚数的 所有的点组成。特别地，数 1 用沿 x 轴正方向的单位向量ｅ1 =（1，0） 表示，数 i 用沿 y 轴正方向上的单位向量ｅ2 =（0，1）表示。
复数Z=a+bi
点Z（a,b）
向量OZ
设复平面上的向量ｖ的坐标为(a,b),则
ｖ=aｅ1+bｅ2 ，将这个表达式中的ｅ1 ，ｅ2 分别
换成 1，i，就得到ｖ所表示的复数 a+bi。
例 1：（1）在复平面画出分别表示以下复数 Z1 ，…，Z 4 的点 P1 ，…， P4 .
Z1 =1， Z2 = i ， Z3 =4+3i , Z4 =4—3i （2）求出表示以上复数的向量 OP1 ,… OP4 的模。试推广 你的结论。
（3）表示以上复数的点中是否有两个点关于实轴对 称？它们所代表的复数有什么关系？
解：（1）如图5—3
y
P2 i 1
O P1
P3 4+3i
x
P4 4—3i
图5—3
（2）由 P1 ，…， P4 的坐标（1，0），（0，1）（4，3）， （4，-3）分别算出各向量的模为
OP1 = OP2 =1, OP3 = 42 32 =5= OP4