高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线课件 理

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答案
解析
设M(x，y)，∵|OF|＝
p 2
，|MF|＝4|OF|，∴|MF|＝2p，由抛物线的
定义知x＋
p 2
＝2p，∴x＝
3 2
p，∴y＝±
3 p，又△MFO的面积为4
3
，∴
1 2
×
p 2
× 3p＝4 3，解得p＝4(p＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y2＝8x.
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即时训练 3.(2019·上海模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标 原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4 3 ，则抛物 线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝125x
答案 B
□ 其数学表达式： 03 |MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)
．
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第三页，共六十三页。
2．抛物线的标准方程与几何性质
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第五页，共六十三页。
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第六页，共六十三页。
抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则： (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.
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答案
解析
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4 |PF|＝4 2，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 2 C．2 3 D．4
2 x的焦点，P为C上一点，若
答案 C
解析 利用|PF|＝xP＋ 2＝4 2，可得xP＝3 2， ∴yP＝±2 6.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝2 3. 故选C.
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即时训练 5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B 两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，则C的焦点到 准线的距离为( )
p 2
＝1，∴焦
点坐标为(1,0)．
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触类旁通 1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化. 2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直 观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思 想解题的直观性.
A．(0,0) C．(1， 2)
B.12，1 D．(2,2)
答案 D
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答案
解析 过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当 A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
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第十四页，共六十三页。
答案
解析
核心考向突破
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课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
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课后课时精练
考向一 抛物线的定义
角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题
例1 (2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点， 点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)
答案 B
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答案
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l， AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同 即为1，则可排除A，C，D，故选B.
答案
解析
x2＝ay， 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由 y＝2x－2
消去y，得x2－2ax＋2a
＝0，所以x1＋2 x2＝22a＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.
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(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线
x2 3
解析 由题意可知l2：x＝－1 是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点
为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和
的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是
|4－0＋6| 5
＝2.
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触类旁通 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
A．2 B．±2 C．4 D．±4
答案 D 解析 由y＝x82，得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为 F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4. 故选D.
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答案
解析
4．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的 标准方程为( )
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1．抛物线y＝2x2的准线方程为( ) A．y＝－18 B．y＝－14 C．y＝－12 D．y＝－1
答案 A
解析 选A.12/8/2021
由y＝2x2，得x2＝
1 2
y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－
1 8
，故
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答案
解析
2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为
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答案
解析
考向三 抛物线的性质 例5 (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物 线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 () A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2
答案 C
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2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴 的距离之和的最小值是( )
A. 3 B. 5 C．2 D. 5－1
答案 D
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第二十五页，共六十三页。
答案
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由 抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到 y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d ＋|PF|的最小值为 22|2＋＋－3| 12＝ 5，所以d＋|PF|－1的最小值为 5－1.
第7讲
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抛物线
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基础知识整合
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课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
第二页，共六十三页。
课后课时精练
1．抛物线的定义
□ 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 01 相等 的点的轨迹
□ 叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 02 准线 ．
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考向二 抛物线的方程
例4 (1)(2019·运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N
两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )
A．x2＝32y
B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
答案 D
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角度3 到定直线的距离最小问题 例3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一 动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.355 B．2 C.151 D．3
答案 B
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答案
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第三十二页，共六十三页。
4．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两 点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．
答案 x2＝ 3y 解析 设直线l的方程为y＝ 3x＋b，联立xy2＝＝23pxy＋，b， 消去y，得x2＝2p( 3x＋b)．即x2－2 3px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2 3p＝3. ∴p＝ 23，∴抛物线的方程为x2＝ 3y.
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第二十九页，共六十三页。
答案
解析
触类旁通 求抛物线的标准方程应注意的几点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类 型中的哪一种．
2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. 3要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来 解决问题.
5，则n＝( )
19 A. 4
9 B.2
C．3
D．4
答Байду номын сангаас D
解析 抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n＝4.故选D.
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第九页，共六十三页。
答案
解析
3．已知抛物线C：y＝x82的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF| ＝2y0，则x0＝( )
角度2 到点与准线的距离之和最小问题 例2 (2019·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A 在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
答案 5
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第十八页，共六十三页。
答案
解析 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为 M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等 于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此 |MA|＋|MF|的最小值是5.
第三十四页，共六十三页。
答案
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为 p2，0 ，所以过焦点且斜率为－1的
直线方程为y＝－
x－p2
，代入抛物线方程，整理得x2－3px＋
p2 4
＝0，由AB中
点的横坐标为3，得3p＝6，解得p＝2，故抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.
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(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出 “两点之间线段最短”，使问题得解．
2将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线 上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)
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第二十二页，共六十三页。
即时训练 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与 它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝ 4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
答案 (1,0)
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第三十六页，共六十三页。
答案
解析 如图，由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2＝
4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由抛物线方程可得，2p＝4，p＝2，
－
y2 3
＝1相交于
A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析
抛物线的准线方程为y＝－
p 2
，设A，B的横坐标分别为xA，xB，则
|xA|2＝|xB|2＝3＋
p2 4
，所以|AB|＝|2xA|.又焦点到准线的距离为p，由等边三角形
的特点，得p＝ 23|AB|，即p2＝34×4×3＋p42，所以p＝6.
5．(2019·广东中山统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝( )
A．6 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵过抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵ x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x
答案 C
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第十一页，共六十三页。
答案
解析 ∵抛物线y2＝2px，∴准线方程为x＝－p2. ∵点P(2，y0)到其准线的距离为4.∴－2p－2＝4. ∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
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