(英文)量子力学-时间相关微扰理论
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论量子力学微扰理论是量子力学中一个重要的理论工具，它可以用来研究体系在外加微弱扰动下的行为。
这个理论被广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。
在本文中，我们将介绍微扰理论的基本原理、应用以及一些相关的研究进展。
一、量子力学微扰理论的基本原理量子力学微扰理论的基本原理是基于微扰理论的思想，通过将体系的哈密顿量拆分为一个容易求解的部分和一个微弱扰动部分，从而简化求解复杂问题的过程。
根据微扰的性质，我们可以将微扰分为两类：一类是无简并微扰，即体系本身的能级是非简并的；另一类是简并微扰，即体系本身的能级是简并的。
对于无简并微扰，我们可以使用微扰理论的一阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
一阶微扰理论的基本公式可以表示为：E_n^{(1)} = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle其中，E_n^{(1)}为包含微扰的能级修正，E_n^{(0)}为无微扰的能级，|n^{(0)}\rangle为无微扰下的波函数，V为微弱扰动的哈密顿量。
对于简并微扰，由于在简并态上的微扰能级修正不再是一个确定的值，我们需要使用微扰理论的高阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
高阶微扰理论的计算过程更加复杂，需要考虑简并态之间的耦合效应。
二、量子力学微扰理论的应用1. 原子物理领域在原子物理领域中，微扰理论广泛应用于计算原子的能级结构和跃迁概率。
通过引入微弱的扰动，我们可以计算原子能级的微小变动，并且预测产生的光谱线的频率和强度。
这对于原子吸收光谱和发射光谱的解释具有重要意义。
2. 固体物理领域在固体物理领域中，微扰理论被用来研究固体中的电子能级和电子态密度。
通过引入微弱的外电场或者磁场，我们可以计算固体材料的电子能级的变化，并且研究外界扰动对电子输运性质的影响。
3. 量子化学领域在量子化学领域中，微扰理论被广泛用于计算分子的能谱和分子反应的速率常数。
56与时间有关的微扰理论
能量并不守恒，mk 不确定。
３） mk
不确定的范围：
mk
:
1 t'
(10)
由于k分立，m连续，所以
mk
( m
k h
)
1 h
m
(11)
结果(10),(11)式： t ' m : h (12)
这个微扰过程是测量末态能量的过程：以ω试， 到达如何 mk 时跃迁，即可从初态推测到末态。 （12）式说明，测量时间间隔t’与能量不确定
１、先求的第k个本征态（初态） k 和第m 个本征态（末态）之间的微扰矩阵元：
Hµ'mk m* Hµ'k d Fmk (eit eit ) (2)
Fmk (m, Fµk),不含时。 (3)
２、将(2)式代入上节 am (t) 公式（5.6-10）,即（14） 式中积分：
am
(t)
1 ih
4
H
' mk
h2
2
sin2 mkt
2
2 mk
W 4 h
sin2 mkt
H
' mk
2
(m)
2
2 mk
dmk
(3)
(4)
利用公式
lim
t
sin2 xt
tx2
(x)
W 2t h
H
' mk
2
(m)mk dmk
(5)
如果对（5）式只考虑
H
' mk
和ρ(m)都随
m平滑变
化的情况，将他们移出积分号外。
dt
从k m （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能
量子力学英语
量子力学英语
量子力学是一种描述微观世界的理论，在实验中已被证明具有极高的准确性。
虽然量子力学的概念和数学语言非常抽象，但它已成为许多现代科技和工程领域的基础。
因此，对于学习和研究量子力学的人来说，掌握一些相关的英语词汇和表达方式是非常重要的。
以下是一些量子力学英语词汇和表达方式的例子：
1. Quantum mechanics - 量子力学
2. Wave function - 波函数
3. Superposition principle - 叠加原理
4. Uncertainty principle - 不确定性原理
5. Entanglement - 纠缠态
6. Quantum state - 量子态
7. Measurement - 测量
8. Eigenstate - 本征态
9. Operator - 算符
10. Hamiltonian - 哈密顿量
11. Schrdinger equation - 薛定谔方程
12. Commutation - 对易关系
13. Hermitian operator - 厄米算符
14. Unitary operator - 酉算符
15. Quantum field theory - 量子场论
通过学习这些量子力学英语词汇和表达方式，可以更好地理解和
交流量子力学相关的概念和研究成果。
量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似
a( 2) n
n'
)
则有
i
d dt
a(n0)
(
t)
0
i
d dt
a
(1) n
(
t
)
n'
Vnn
'einn'
ta
(0) n'
(t)
i
d dt
a
(2) n
(t)
n'
Vnn
'einn'
ta
(1) n'
(
t
)
于是有解 a(n0)(t) An ，它 与 t 无关。
由初条件 t t0 时，体系处于 Hˆ 0 的定
可，则
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eiω nk t1
dt1
这表明，体系在 t0 时刻处于 Hˆ 0定态
k (r, t0)。在 t 时刻，体系可处于 Hˆ 0 的
定态
n (r, t)
， 而其概率幅为
a
k(1) n
(t)
（ n k ）。
因此，我们在 t 时刻，测量发现体系处于
这一态的概率为
Pkn
akn(1) (t) 2
1 2
tt0 Vnk (t1)einkt1dt1 2
例1 处于基态（ t ）的氢原
子，受位势
V(t) e x E0e t
（ 0 为实参数）扰动,
① 求 t 时，处于态 nlm 的
概率
Pnlm
1 2
eE0 nlm x 100 e t ei(EnE1)t dt 2
n1n2nm1
t
（完整版）量子力学英语词汇
（完整版）量子力学英语词汇1、microscopic world 微观世界2、macroscopic world 宏观世界3、quantum theory 量子[理]论4、quantum mechanics 量子力学5、wave mechanics 波动力学6、matrix mechanics 矩阵力学7、Planck constant 普朗克常数8、wave-particle duality 波粒二象性9、state 态10、state function 态函数11、state vector 态矢量12、superposition principle of state 态叠加原理13、orthogonal states 正交态14、antisymmetrical state 正交定理15、stationary state 对称态16、antisymmetrical state 反对称态17、stationary state 定态18、ground state 基态19、excited state 受激态20、binding state 束缚态21、unbound state 非束缚态22、degenerate state 简并态23、degenerate system 简并系24、non-deenerate state 非简并态25、non-degenerate system 非简并系26、de Broglie wave 德布罗意波27、wave function 波函数28、time-dependent wave function 含时波函数29、wave packet 波包30、probability 几率31、probability amplitude 几率幅32、probability density 几率密度33、quantum ensemble 量子系综34、wave equation 波动方程35、Schrodinger equation 薛定谔方程36、Potential well 势阱37、Potential barrien 势垒38、potential barrier penetration 势垒贯穿39、tunnel effect 隧道效应40、linear harmonic oscillator 线性谐振子41、zero proint energy 零点能42、central field 辏力场43、Coulomb field 库仑场44、δ-function δ-函数45、operator 算符46、commuting operators 对易算符47、anticommuting operators 反对易算符48、complex conjugate operator 复共轭算符49、Hermitian conjugate operator 厄米共轭算符50、Hermitian operator 厄米算符51、momentum operator 动量算符52、energy operator 能量算符53、Hamiltonian operator 哈密顿算符54、angular momentum operator 角动量算符55、spin operator 自旋算符56、eigen value 本征值57、secular equation 久期方程58、observable 可观察量59、orthogonality 正交性60、completeness 完全性61、closure property 封闭性62、normalization 归一化63、orthonormalized functions 正交归一化函数64、quantum number 量子数65、principal quantum number 主量子数66、radial quantum number 径向量子数67、angular quantum number 角量子数68、magnetic quantum number 磁量子数69、uncertainty relation 测不准关系70、principle of complementarity 并协原理71、quantum Poisson bracket 量子泊松括号72、representation 表象73、coordinate representation 坐标表象74、momentum representation 动量表象75、energy representation 能量表象76、Schrodinger representation 薛定谔表象77、Heisenberg representation 海森伯表象78、interaction representation 相互作用表象79、occupation number representation 粒子数表象80、Dirac symbol 狄拉克符号81、ket vector 右矢量82、bra vector 左矢量83、basis vector 基矢量84、basis ket 基右矢85、basis bra 基左矢86、orthogonal kets 正交右矢87、orthogonal bras 正交左矢88、symmetrical kets 对称右矢89、antisymmetrical kets 反对称右矢90、Hilbert space 希耳伯空间91、perturbation theory 微扰理论92、stationary perturbation theory 定态微扰论93、time-dependent perturbation theory 含时微扰论94、Wentzel-Kramers-Brillouin method W. K. B.近似法95、elastic scattering 弹性散射96、inelastic scattering 非弹性散射97、scattering cross-section 散射截面98、partial wave method 分波法99、Born approximation 玻恩近似法100、centre-of-mass coordinates 质心坐标系101、laboratory coordinates 实验室坐标系102、transition 跃迁103、dipole transition 偶极子跃迁104、selection rule 选择定则105、spin 自旋106、electron spin 电子自旋107、spin quantum number 自旋量子数108、spin wave function 自旋波函数109、coupling 耦合110、vector-coupling coefficient 矢量耦合系数111、many-particle system 多子体系112、exchange forece 交换力113、exchange energy 交换能114、Heitler-London approximation 海特勒-伦敦近似法115、Hartree-Fock equation 哈特里-福克方程116、self-consistent field 自洽场117、Thomas-Fermi equation 托马斯-费米方程118、second quantization 二次量子化119、identical particles 全同粒子120、Pauli matrices 泡利矩阵121、Pauli equation 泡利方程122、Pauli’s exclusion principle泡利不相容原理123、Relativistic wave equation 相对论性波动方程124、Klein-Gordon equation 克莱因-戈登方程125、Dirac equation 狄拉克方程126、Dirac hole theory 狄拉克空穴理论127、negative energy state 负能态128、negative probability 负几率129、microscopic causality 微观因果性本征矢量eigenvector本征态eigenstate本征值eigenvalue本征值方程eigenvalue equation本征子空间eigensubspace (可以理解为本征矢空间)变分法variatinial method标量scalar算符operator表象representation表象变换transformation of representation表象理论theory of representation波函数wave function波恩近似Born approximation玻色子boson费米子fermion不确定关系uncertainty relation狄拉克方程Dirac equation狄拉克记号Dirac symbol定态stationary state定态微扰法time-independent perturbation定态薛定谔方程time-independent Schro(此处上面有两点)dinger equation 动量表象momentum representation 角动量表象angular mommentum representation占有数表象occupation number representation坐标（位置）表象position representation角动量算符angular mommentum operator角动量耦合coupling of angular mommentum对称性symmetry对易关系commutator厄米算符hermitian operator厄米多项式Hermite polynomial分量component光的发射emission of light光的吸收absorption of light受激发射excited emission自发发射spontaneous emission轨道角动量orbital angular momentum自旋角动量spin angular momentum轨道磁矩orbital magnetic moment归一化normalization哈密顿hamiltonion黑体辐射black body radiation康普顿散射Compton scattering基矢basis vector基态ground state基右矢basis ket ‘右矢’ket基左矢basis bra简并度degenerancy精细结构fine structure径向方程radial equation久期方程secular equation量子化quantization矩阵matrix模module模方square of module内积inner product逆算符inverse operator欧拉角Eular angles泡利矩阵Pauli matrix平均值expectation value （期望值）泡利不相容原理Pauli exclusion principle氢原子hydrogen atom球鞋函数spherical harmonics全同粒子identical particles塞曼效应Zeeman effect上升下降算符raising and lowering operator 消灭算符destruction operator产生算符creation operator矢量空间vector space守恒定律conservation law守恒量conservation quantity投影projection投影算符projection operator微扰法pertubation method希尔伯特空间Hilbert space线性算符linear operator线性无关linear independence谐振子harmonic oscillator选择定则selection rule幺正变换unitary transformation幺正算符unitary operator宇称parity跃迁transition运动方程equation of motion正交归一性orthonormalization正交性orthogonality转动rotation自旋磁矩spin magnetic monent(以上是量子力学中的主要英语词汇，有些未涉及到的可以自由组合。
量子力学中的量子力学近似方法
量子力学中的量子力学近似方法量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过数学模型来描述粒子的行为和性质。
然而，在处理复杂问题时，精确求解量子力学方程往往十分困难，因此需要使用近似方法来简化计算。
本文将介绍几种常见的量子力学近似方法。
一、时间无关微扰理论时间无关微扰理论是处理量子力学方程近似解的一种方法。
它将系统的哈密顿量（描述系统能量和相互作用的数学量）写成一个简单的部分（通常为已知的精确解）和一个微小的扰动部分的和。
然后，通过级数展开和微扰理论的方法来计算系统的性质。
这种方法适用于系统的扰动较小的情况，可以在较长时间范围内计算系统的行为。
二、变分法变分法是处理量子力学近似解的一种常用方法。
它通过猜测一个波函数形式，然后利用变分原理来确定波函数的具体形式和相应的能量本征值。
变分法的关键是找到一个合适的波函数猜测，通常可以通过物理直觉或数学技巧来选择。
这种方法适用于系统的基本状态和激发态的计算。
三、准经典近似准经典近似是处理量子力学中粒子运动问题的一种方法。
它基于经典力学的观点，将量子力学中的波函数用粒子的经典轨迹来近似描述。
在准经典近似下，波函数的振幅和相位可以看作是粒子的位置和动量的函数。
这种方法适用于粒子的运动速度远大于普朗克常数的情况。
四、WKB近似WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）近似是处理量子力学中波动方程的一种常用方法。
它通过对波函数进行分离变量的近似，将波函数表示为振幅和相位的乘积形式。
然后，利用波动方程的解析解和边界条件来确定波函数的形式和相应的能量本征值。
WKB近似适用于波函数变化缓慢的情况，例如势垒和势阱问题。
五、平均场理论平均场理论是处理量子力学中多体系统的一种方法。
它假设系统中粒子之间存在平均相互作用，而忽略粒子之间的具体相互作用细节。
通过求解平均场方程，可以得到系统的平均性质，如能量、密度和磁矩等。
平均场理论适用于大量粒子组成的系统，如原子核和凝聚态物质。
量子力学(第十章微扰论)
(0)
(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)
ˆ E 1 (1) H
利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解 令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2
(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)
(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率 考虑各向同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为
量子力学chapterfive2.ppt
Wkm
| Fmk 2
|2
2t ( mk
)
2t
2
| Fmk
|2
(
1
[
m
k])
2t
|
Fmk
|2
( m
k
)
同理， 对于 ω = -ωm k 有：
Wkm
2t
|
Fmk
|2
( m
k
)
二式合 记之：
Wkm
2t
| Fmk
|2
( m
k
)
15
（4）跃迁速率 或：
（5）讨论
km
Wkm t
2
| Fmk
|
a
(1) m
(t
)
|2
1 i
t 0
2
H m k e imk t dt
8
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即： 0
t0
Hˆ
Hˆ
( r )
0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
an(t)n
n
i
t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
相
消
i
n
d dt
an (t )n
n
an (t )Hˆ (t )n
3
i
n
d dt
an (t )n
n
an (t )Hˆ (t )n
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论
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目录
PRT One
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PRT Three
量子力学微扰理论 的数学基础
PRT Five
量子力学微扰理论 的近似方法
PRT Two
量子力学微扰理论 的基本概念
PRT Four
量子力学微扰理论 的具体应用
PRT Six
量子力学微扰理论 的扩展和展望
单击添加章节标题
微扰项的应用：微扰项在量子力学中有广泛的应用例如在量子力学中微扰项可以用来描 述系统的能量、波函数等物理量的变化也可以用来描述系统的微小变化。
量子力学中的微扰计算方法
微扰理论：量子力学中处理微小扰动的理论 微扰计算方法：通过计算微扰项来求解量子力学问题 微扰项：量子力学中微小扰动的表示 微扰计算步骤：确定微扰项、求解微扰方程、计算微扰结果 微扰计算应用：在量子力学、量子场论、量子光学等领域有广泛应用
微扰理论在量子力学中的具体应用实例
量子力学中的微扰理论可以用于求解量子系统的 能量和波函数
微扰理论在量子力学中的具体应用实例包括：求 解氢原子的能级和波函数、求解电子在磁场中的 运动、求解光子的散射等
微扰理论在量子力学中的具体应用实例还 包括：求解量子系统的能量和波函数、求 解电子在磁场中的运动、求解光子的散射 等
添加标题
微扰理论在量子力学中广泛应用于 求解量子系统的能量和波函数
微扰理论在量子光学中也有应用用 于求解量子光学中的各种物理量
量子力学微扰理论 的数学基础
线性代数和矩阵运算
线性代数：研究线性方程组、向量空间、线性变换等 矩阵运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等 矩阵的特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量 矩阵的逆矩阵：求解矩阵的逆矩阵用于求解线性方程组
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
量子力学第五章微扰理论
量子力学第五章微扰理论微扰理论在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。
常用的近似方法有微扰论、变分法等。
不同的近似方法有不同的适用范围。
在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。
本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。
§5. 1 非简并定态微扰理论近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。
当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。
假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：Hψ=Eψ (5.1.1)满足下述条件:(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)H=H(0) + H' (5.1.2) H'H(0) (5.1.3)（5.1.3）式表示，H与H(0)的差别很小，H'可视为加于H(0)上的微扰。
（5.1.3）式的严格意义将在后面再详细说明。
由于H 不显含t，因此，无论H(0)或是H'均不显含t。
(2) H(0) 的本征值和本征函数已经求出，即H(0)的本征方程(0)(0)(0)H(0)ψn=Enψn (5.1.4)中，能级En及波函数ψn都是已知的。
微扰论的任务就是从H(0)的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。
(3) H(0)的能级无简并。
严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并，例如，要通过微扰论计算H'对H(0)的第n个能级En的修正，就要求En不简并，它相应的波函数(0)ψn只有一个。
量子力学微扰理论
解：
（1）带电谐振子的Hamilton 量
H ˆ22d d x 221 2
2 x2 ex
将 Hamilton 量分成H0 + H 两部分，在弱电场下，上 式最后一项很小，可看成 微扰。
Hˆ0
22 ddx22
12
2x2
Hˆex
24
（2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), ψn(0)
n (0 ) N n e 2 x2/2 H n(x)
[ H ˆ( 0 ) E n ( 0 )]n ( 1 ) [ H ˆ E n ( 1 ) ]n ( 0 )
利用本征基矢的正交归一性：
E n ( 1 ) H n n n ( 0 )|H ˆ| n ( 0 )
其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中 的平均值
11
二、非简并定态的微扰近似
'
m
Hnm2
E(0) n
Em (0)
欲计算能量二级修正，首先应计算 H mn 矩阵元。
H m n m ( 0 ) * H ˆ n ( 0 ) d x e m ( 0 ) * x n ( 0 ) d x
利用线性谐振子本征函数的递推公式：
x [ ] (0 ) 1 n (0 ) n 1 (0 ) n 2 n 1 2 n 1
量子力学 第五章 微扰理论
缪灵 miaoling@
1
可解析求解模型
V(x)
V(x)
II I
II
II
I
x
II x
V(x)
II I II x
2
一、近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解 复杂问题的近似（解析）解。
量子力学微扰理论
E ( 2) n
E(0) n
H nn
m
Hm n 2
E(0) n
E(0) m
(23)
第五章 微扰理论 5.1、 非简并定态微扰理论
5.1.3、讨论
5.1.3、讨论
微扰理论适用的条件：级数收敛
Hm n 2 1
E(0) n
E(0) m
(
E(0) n
E(0) m
)
因此，要求，
a) 矩阵元 Hm n 很小，即： H 是一个小的扰动；
5.1.3、讨论
为求解能级 Enj
E(0) n
E (1) nj
所对应的零级近似波函数，
可以把
E (1) nj
的值带回(3)式，
k
( H li
E (1) n
il )ci(0)
0，
l 1,2,L ,k 。
(3)
i1
k
解出一组
c(0) i
，再带入(2)式，
(0) n
ci(
0) i
，即可。
i1
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
斯塔克(Stark)效应：将原子置于外电场中，它发射的光谱
线会发生分裂的现象。
氢原子：能级的裂距 E1(外电场)一级斯塔克效应
碱金属：… …
E2
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
无外场时，氢原子中，库仑势( es2 r )具有球对称性，
5.1.2、 非简并情况下的微扰
(b) 波函数的一级修正
当k
n
时，由
C (1) k
量子力学中的扰动理论与微扰展开
量子力学中的扰动理论与微扰展开量子力学是描述微观粒子行为的理论，它在物理学领域中占有重要地位。
在量子力学中，扰动理论和微扰展开是研究系统的一种重要方法。
本文将重点介绍量子力学中的扰动理论和微扰展开的基本概念和应用。
1. 扰动理论的基本概念扰动理论是研究系统在外界扰动下的行为变化的一种方法。
在量子力学中，我们通常将系统的哈密顿量分为两部分：一个是我们已经了解和可以求解的部分，称为未扰动哈密顿量；另一个是我们不了解或难以求解的部分，称为扰动哈密顿量。
扰动理论的目标是通过对未扰动哈密顿量的求解，来推导出系统在扰动哈密顿量下的行为。
2. 微扰展开的基本原理微扰展开是扰动理论的一种重要工具。
它的基本原理是将扰动哈密顿量表示为一个无穷级数的形式，然后通过逐项求解的方法来获得系统的解。
微扰展开的关键是确定展开系数，即确定各级扰动对系统的影响程度。
一般来说，展开系数与扰动哈密顿量的大小有关，当扰动哈密顿量很小的时候，可以只考虑前几项展开。
3. 微扰展开的应用微扰展开在量子力学中有广泛的应用。
以氢原子为例，我们可以将电子与原子核之间的库仑势能看作是未扰动哈密顿量，而将其他的外界电场、磁场等看作是扰动哈密顿量。
通过微扰展开的方法，可以计算出氢原子在外界电场、磁场下的能级变化和波函数变化。
此外，在量子场论中，微扰展开也是一种常用的方法。
例如，在量子电动力学中，我们可以将电子与光子的相互作用看作是扰动哈密顿量，通过微扰展开的方法，可以计算出各种物理过程的概率振幅。
4. 微扰展开的局限性尽管微扰展开是一种非常有用的方法，但它也有一定的局限性。
首先，微扰展开要求扰动哈密顿量相对于未扰动哈密顿量来说很小，如果扰动哈密顿量过大，微扰展开的结果可能不准确。
其次，微扰展开只适用于哈密顿量是线性的情况，对于非线性的情况，需要采用其他的方法来求解。
总结起来，量子力学中的扰动理论和微扰展开是研究系统行为变化的重要方法。
通过对未扰动哈密顿量的求解，可以推导出系统在扰动哈密顿量下的行为。
(英文)量子力学-微扰理论
Problem :
H n En n
can't solve exactly. But
H H H ' 2 H "
0
with
0 0 0 Lim 0 H n En n 0
Unperturbed eigenvalue problem. Can solve exactly.
H n En n
Sum of infinite number of terms for all powers of equals 0.
0 0 0 0 0 ' 0 H ' n En H n En n 0 H n En n n 0 0
Left multiply by
0 n
c E
i i i 0 i
0 i
0 0 0 H ' n En i0 n En
c E
i
0 0 0 0 H ' n En n i0 n En
0 n i0 0
unless n = i, but then
0 0 0 with eigenvalues E0 , E1 , E2 , and
0 0 n m mn
Kronecker delta
nm
1 n m 0 n m
Expand wavefunction
0 2 n n n n
First order correction to the wavefunction Again using the equation obtained after substituting series expansions
《微扰理论》PPT课件
小于前项，即
H m n
E
(0)
n
E
(0) m
1
(E
(0)
n
E
) (0)
m
14
14
5.1 非简并定态微扰理论（续10）
Chapter 5. Perturbation Theory
微扰适用条件表明：
（1）微扰矩阵元 H mn 要小；
（2）
E
(0)
n
E
(0) m
要大，即能级间距要宽。
例如：在库仑场中，体系能量（能级）
(0) n
ln
Hln
E(0) n
E(0) l
(0) l
（2）展开系数
a
(1) l
第 n 个扰动态矢 n
E的(nH0贡)lE献n l(0)有表多明大第。l展个开未系扰数动反态比于l0扰 对动
前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态
0
l
贡献的也
越强。因此波函数一阶修正无须计算无限多项。
（3）由
E
n
E
0
n
一 微扰体系方程
二 态矢和能量的一级修正
三 能量的二阶修正
四 微扰理论适用条件
五 讨论
六 实例
5
5
5.1 非简并定态微扰理论（续1）
Chapter 5. Perturbation Theory
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为
Hˆ n En n
(1)
当 Hˆ 比较复杂，方程(1)难求解时，将Hˆ 写成：
0)
d
＝０
＝1
l
a
(1) l
(0)* n
量子力学5.6-5.7
∫
m
k
1 t iωmk t ' 5.6-10） 由（5.6-10）式：am (t ) = ∫0 H 'mk e dt ' i
Fmk am (t) = i
ei (ωmk +ω)t ' + ei (ωmk ω)t ' dt ∫0
14
t
5.7
跃迁几率（续６）
Chapter 5. Perturbation Theory
′(t) = Acos ωt = F (eiω t + eiω t ) H
微扰矩阵元： 微扰矩阵元： H 'mk
* = ∫ m H '(t )k dτ
（5.7-9） 5.7-
F mk
= Fmk (eiωt + eiωt ) * = F dτ
（5.7-10） 5.7-10） （5.7-11） 5.7-11）
的本征函数， 注意， 是 H 0 的本征函数，无微扰时 i Φn = H0Φn 注意， Φ t
消去（5.6式中两边的第一项得： 消去（5.6-5）式中两边的第一项得：
da n (t ) i ∑ Φ n = dt n
a n (t ) H ′Φ n ∑
n
9
5.6 与时间有关的微扰理论（续4）
* m
5.6（5.6-1）
n (r ) →ψ (r , t)
5.6（5.6-2）
由含时薛定格方程： 由含时薛定格方程：
i ψ(r,t) = H(t)ψ(r,t) = H0 + H′(t)ψ(r,t) t
4
Chapter 5. Perturbation Theory
ψ (r , t) = ?
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M
b a
+ t2
M - molecule with dipole moment
surface
+ t1
x
I+
1. Molecule, M, weakly phys. absorbed on surface. Not translating or rotating. (Example, CO on Cu surface.) 2. Dipole moment points out of wall. Interaction with wall very weak; can be ignored. 3. When not interacting with ion – vibrations harmonic. 4. M has – side to right.
opposite
+ t2
+ t1 x
I+
Qualitatively Correct Model
+ M
M +
–
b a
+ t2
surface
Ion causes cubic perturbation of molecule Correct symmetry, odd.
– end of M always closer to I+ than positive end of M.
Bond stretch energy lowered – closer to I+. + further from I+.
+ M
M +
–
b a
surface
Bond contracted Energy raised.
0 n t
These terms equal. Unperturbed problem. They cancel. Canceling gives
0 0 i c c H n n n n n n
Have
0 0 i c c H n n n n n n
m n
Approximations Usually start in a particular state 0 Dealing with weak perturbation. System is not greatly changed by perturbation. Assume:
* c c 1
Time Dependent Perturbation Theory Time dependent Schrö dinger Equation
H i
t
H H H
0
Take
time independent
time dependent will treat as time dependent perturbation H0 time independent - solution are
H 0 i
0
0 t
iEn t / 0 0 q , t q e n n 0 n q
complete set of time independent orthonormal eigenfunctions of H0.
time dependent phase factors
e iEn t /
To solve
H i
t
Expand
q, t cn t 0 n H H
Substitute expansion
0
used derivative product rule
0 0 i c 0 i c c H c H n n n n n n n n n n n
At any time, t, I+ to M distance = a.
a b 2 (Vt )2
b = distance of closest approach (called impact parameter). V = Ion velocity.
Ion flies by molecule Coulomb interaction perturbs vibrational states of M. Model for Interaction
+ M
M +
–
b a
+ t2
surface
+ t1 x
I+
Positively charged ion, I+, flies by M. I+ starts infinitely far away at t Passes by M at t = 0. I+ infinitely far away at t
With these assumptions:
cm
i 0 (q, t ) 0 ( q , t ) H m
No longer coupled equations
Grazing Collision of an Ion and a Dipolar Molecule - Vibrational Excitation
Time independent.
0 never changes significantly.
The probability of being in the initial state
The probability of being in any other state never gets much bigger than zero.
Left multiply by
0 m
0 0 i c c H m n m n n
Zeroth order eigenkets are orthonormal.
Therefore,
cm
i 0 cn 0 m H n n
Exact to this point. Set of coupled differential equations. In Time Dependent Two State Problem (Chapter 8) two coupled equations 0 H 0