2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.5 椭 圆 第1课时 Word版含答案.docx

§9.5椭圆
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
知识拓展
点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系
(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20
a 2＋y 2
0b 2<1.
(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20
a 2＋y 2
0b 2＝1.
(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20
a 2＋y 2
0b
2>1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．[P68A 组T3]椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．12
答案 C
解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.
当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8. ∴m ＝4或8.
3．[P42A 组T5]过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2
4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.x 215＋y 2
10＝1 B.x 225＋y 2
20＝1 C.x 210＋y 2
15＝1 D.x 220＋y 2
15
＝1 答案 A
解析 由题意知c 2
＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2
λ
＝1(λ>0)，
则
9λ＋5＋4
λ
＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 2
10
＝1.
4．[P42A 组T6]已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶
点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭
⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，
所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，
所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭
⎫152，－1.
题组三 易错自纠
5．若方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )
A ．(－3,5)
B ．(－5,3)
C ．(－3,1)∪(1,5)
D ．(－5,1)∪(1,3)
答案 C
解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪
⎧
5－m >0，m ＋3>0，
5－m ≠m ＋3，
解得－3<m <5且m ≠1.
6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4
5，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－19
25或21
D.19
25
或21 答案 C
解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－19
25；若a 2＝4＋k ，
b 2＝9，则
c ＝k －5，由c a ＝4
5，即k －54＋k ＝45
，解得k ＝21.
7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l
交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2
2＝1 B.x 23＋y 2
＝1 C.x 212＋y 2
8＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 答案 A
解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为
3
3
，∴c ＝1， ∴b ＝a 2
－c 2
＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2
2＝1.
故选A.
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
答案 A
解析 由条件知|PM |＝|PF |，
∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．
2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2 2
答案 B
解析 椭圆方程变形为y 21＋x 2
1
4
＝1，
∴椭圆长轴长2a ＝2，∴△ABF 2的周长为4a ＝4.
3．(2017·承德模拟)椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与
椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72 B.
32
C. 3 D ．4
答案 A
解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴P ⎝⎛⎭⎫－3，±12，∴|PF 1→|＝1
2， ∴|PF 2→
|＝4－12＝72
.
4．(2017·呼和浩特模拟)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋2 6－ 2
解析 椭圆方程化为x 29＋y 2
5＝1，
设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，
又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－ 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程
典例 (1)(2018·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 2
48＝1 B.x 248＋y 2
64＝1 C.x 248－y 2
64＝1 D.x 264＋y 2
48
＝1 答案 D
解析 设圆M 的半径为r ，
则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，
故所求的轨迹方程为x 264＋y 2
48
＝1.
(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0) B.y 225＋x 2
9
＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2
9＝1(y ≠0) D.y 216＋x 2
9
＝1(y ≠0) 答案 A
解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则a ＝5，
c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.
故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 2
9＝1(y ≠0)．
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，5
2，(3，5)，则椭圆方程为__________． 答案 y 210＋x 2
6
＝1
解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，
3m ＋5n ＝1，
解得m ＝16，n ＝1
10.
∴椭圆方程为y 210＋x 2
6
＝1.
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
答案 y 220＋x 2
4
＝1
解析 方法一 椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.
由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2 ＋(3－0)2＋(－5－4)2，
解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4
＝1.
方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点相同，
∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，
即5a 2＋3
b
2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4
＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．
跟踪训练 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E
于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 答案 x 2＋3
2
y 2＝1
解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．
∵x 2
＋y 2
b
2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．
∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，则A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →
，
∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2
，y 0＝－b 23.
∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－53
1－b 2，－b
2
3. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 2
3代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝2
3. ∴椭圆E 的方程为x 2＋3
2y 2＝1.
题型三 椭圆的几何性质
典例 (1)(2017·安庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 2
15＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意
一条直径，则PE →·PF →
的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21] D ．(5,21)
答案 C
解析 PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →|2－4， 因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →
|≤5， 所以PE →·PF →的取值范围是[5,21]．
(2)(2018届晋豫名校调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2
c ，点
A 在椭圆上，AF 1→·F 1F 2→＝0，AF 1→·AF 2→
＝c 2，则椭圆的离心率e 等于( ) A.3
3 B.3－1
2 C.5－1
2
D.
22 答案 C
解析 由于AF 1→·F 1F 2→
＝0，
则A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2
a ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
∴AF 1→＝⎝⎛
⎭⎫0，－b 2a ，AF 2→＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a ， AF 1→·AF 2→＝b 4
a 2＝c 2，得
b 2＝a
c ，即a 2－c 2＝ac ，
即1－e 2＝e ，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5
2，
∵0<e <1，∴e ＝
5－1
2
，故选C. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
跟踪训练 (1)(2017·德阳模拟)已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1
的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． 答案
3
解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b 2
a ＝3.所以
b 2＝3，
即b ＝ 3.
(2)(2018届武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2
b 2＝1(0<b <3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上
的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率e 为( ) A.12 B.24 C.13 D.22
答案 B
解析 由椭圆x 29＋y 2
b 2＝1(0<b <3)，
得A (－3,0)，B (3,0)． 设P (x 0，y 0)，则Q (x 0，－y 0)，
∴m ＝y 0x 0＋3，n ＝－y 0x 0－3，mn ＝－y 20
x 20－9，
又∵y 20＝－
b 2
9
(x 2
0－9)，∴mn ＝b 29
，
点A 到直线y ＝1－mnx 的距离为
d ＝
31－mn 1－mn ＋1
＝
31－
b 29
2－
b 29
＝1， 解得b 2＝638，∴c 2＝9－638＝9
8，
∴c ＝322
，∴e ＝c 3＝2
4，故选B.
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |
＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 答案 A
解析 由题意知|OM |＝1
2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，
∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.
2．(2018·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 2
9－k ＝1(k <9)的( )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
答案 D
解析 因为c 21＝25－9＝16，c 2
2＝(25－k )－(9－k )＝16，
所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．
3．已知圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆
C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C ．2
D.22
答案 D
解析 由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)，上顶点B 为(0，b )．因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2
经过右焦点F 和上顶点B ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
(c －1)2
＋1＝2，
1＋(b －1)2
＝2，解得b ＝c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8，解得a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝2
2
，故选D.
4．(2017·西宁模拟)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→
|
＝23，则∠F 1PF 2等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
答案 D
解析 因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→
|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，
所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2
.
5．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 2
12＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，
且满足PF 1→·PF 2→
＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．15
答案 D
解析 由椭圆方程x 216＋y 2
12＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，
而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|， 两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→
|2， 所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，
根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.
6．(2017·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦
点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A.35
B.12
C.23
D.34
答案 A
解析 ∵圆O 与直线BF 相切，∴圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc
a ，∵四边形F AMN 是平行四
边形，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫
a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得(a ＋c )2
4a 2＋c 2b 2
a 2
b 2＝1，
∴5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，∴e ＝3
5
.故选A.
7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________． 答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2
9
＝1
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
2c ＝8，c a ＝0.8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝5，c ＝4，
又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，
当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 2
9＝1，
当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 2
9
＝1.
8．若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别
为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________． 答案 x 220＋y 2
16
＝1
解析 设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·n
m ＝－1，
即m 2＋n 2－n －2m ＝0.
∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0， 即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.
∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 2
16
＝1.
9．(2017·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)相
交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为16
3，
则椭圆C 1的离心率e 为________． 答案
22
解析 联立⎩⎨⎧
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，y 2
a 2
＋x
2b 2
＝1，
两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2
b
2，又a ≠b ，
所以x 2
＝y 2
＝a 2b 2
a 2＋b
2，
故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b
2＝16
3，(*)
又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝
2
2
. 10．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2
＋(y －1)2
＝3和椭圆x 24＋y 2
＝1上的点，则
P ，Q 两点间的最大距离是________． 答案
73
3
解析 由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d ＝ x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5 ＝
－3⎝⎛⎭⎫y ＋132＋163
， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值43
3，
∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝
73
3
. 11．(2017·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．
解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝10，
c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)易知|y P |＝4，又c ＝3， 所以12
F PF S
＝12|y P |×2c ＝12
×4×6＝12. 12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝3
2
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2
m
m ＋3＝1，m >0.
∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m
m ＋3，
∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝
m (m ＋2)
m ＋3
. 由e ＝
3
2
，得 m ＋2m ＋3＝3
2
，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2
＋y 214
＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝3
2.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝
⎛⎭⎫－
32，0，F 2⎝⎛⎭
⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭
⎫0，1
2.
13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.2
2
D.32
答案 A
解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，
∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，
∴椭圆离心率e ＝2
1＋3
＝3－1.
14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1
3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端
点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B
sin C ＝________.
答案 3
解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA |
|AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭
圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1
e
＝3.
15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由
点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫12，1 B.⎣⎡⎦⎤
22，32 C.⎣⎡⎭
⎫
22，1
D.⎣⎡
⎭
⎫32，1
答案 C
解析 从椭圆上长轴端点P ′向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的∠AP ′B 最小． 若椭圆C 1上存在点P ，
所作圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°， 即α＝∠AP ′O ≤45°，∴sin α＝b a ≤sin 45°＝22.
又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2，∴e 2≥12，即e ≥2
2.
又0<e <1，∴
22≤e <1，即e ∈⎣⎡⎭
⎫2
2，1.
16.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2，F ，A 分别是椭
圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →
的最大值和最小值． 解 设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，
∵e ＝c a ＝1
2，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.
所求椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.
又F (－1,0)，A (2,0)，PF →
＝(－1－x 0，－y 0)， P A →
＝(2－x 0，－y 0)，
∴PF →·P A →＝x 2
0－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1 ＝1
4
(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →
取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.。