高考数学 考前冲刺第一部分专题一 选择题解题方法突破

高考数学 考前冲刺第一部分专题一 选择题解题方法突破
【方法一】直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座”，作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1 双曲线方程为2
2
21x y -=，则它的右焦点坐标为 （ ）
A .2(,0)
B.5(,0)
C. 6
(
,0) D. (3,0)
【特别提醒】（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为22b =；（2）混淆椭圆和双曲线标准方程中,,a b c 的关系，在双曲线标准方程中2
2
2
c a b =+.
此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据,,a b c 的关系求出
c ，继而求出右焦点的坐标.
例 2阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ）
A .2 B.3 C.4 D.5
【解析】解：由程序框图可知，该框图的功能是输出使和
123122233211i S i =⋅+⋅+⋅+
+⋅>
时的i 的值加1，因为1
2
12221011⋅+⋅=<，1
2
3
12223311⋅+⋅+⋅>，所以当
11S >时，计算到3i =故输出的i 是4，答案选C.
【特别提醒】没有注意到1i i =+的位置，错解3i =.实际上 i 使得11S >后加1再
输出，所以输出的i 是4.
【变式训练】 根据所示的程序框图（其中[]x 表示不大于x 的最大整数），输出r =
（ ）.
A
.
73 B. 74 C.2 D. 32
例3.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）
A .
23 B.3
3 C.23
D.63
1
22
2111311
sin 60(2),2222
ACD ACD
S
AC AD a a S AC CD a =
⋅=⨯⨯=
⋅=,. 所以1
31
2
3
,3ACD
ACD S
DD DO a S
a
⋅=
== 记1DD 与平面1ACD 所成角为θ,
则13sin 3
DO DD θ==,
所以6cos 3θ=,故答案选D.
【特别提醒】直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错. 此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及sin h
l
θ=
转化后，只需求点到面的距离.
【方法二】 特例法：
用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例4：在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A(－4，0) 和C(4，0)，且顶点B 在椭圆2
2125
9
x
y 上，则
sin sin sin A C B
+=（ ） A.54 B. 3
5 C.1 D.45
例5已知函数()f x =
lg ,0101
6,102
x x x x ⎧<≤⎪⎨-+>⎪⎩ 若,,a b c 均不相等，且
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是 （ ）
A .（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)
【解析】解：不妨设a b c <<，取特例，如取1
()()()2
f a f b f c ===
，则易得1122
10,10,11a b c -
===，从而11abc =，故答案选C ．
另解：不妨设a b c <<，则由()()1f a f b ab =⇒=，再根据图像易得1012c <<.
实际上,,a b c 中较小的两个数互为倒数.
【特别提醒】此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.
例 6.12,,x x …n x 中的最大数为12max{,,}n x x x ⋅⋅⋅，最小数为12min{,,}n x x x ⋅⋅⋅.已知
ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为
max{,,}min{,,}a b c a b c
t b c a b c a
=⋅，则“1t =”是“ABC ∆为等边三角形”的
（ ）
A . 充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要的条件
【特别提醒】当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.
【方法三】 排除法：
充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的.
例7.下列函数中，周期为π，且在[
,]42
ππ
上为减函数的是（ ）
A .sin(2)2y x π
=+ B.cos(2)2
y x π
=+ C.sin()2y x π
=+
D.cos()2
y x π
=+
【解析】解：C 、D 中函数周期为2π，所以错误.当
[
,]42
x ππ
∈时，32,22x πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，
函数sin(2)2y x π
=+
为减函数,而函数cos(2)2
y x π
=+为增函数，所以答案选A.
例8.函数2
2x
y x =-的图像大致是（ ）
【解析】解：因为当x =2或4时，2
20x
x -=，所以排除B 、C ；当x =-2时，
22x x -=
1
4<04
-，故排除D ，所以答案选A.
例9 设函数()21
2
log 0log ()0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ， 若()()f a f a >-, 则实数a 的取值范围
是（ ）
A . (1,0)(0,1)-⋃ B. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ C. (1,0)(1,)-⋃+∞ D.
(,1)(0,1)-∞-⋃
【解析】解：取2a =验证满足题意，排除A 、D. 取2a =-验证不满足题意, 排除B.所以答案选C.
【特别提醒】排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题, 尤其是选项为范围的选择题的常用方法.
【方法四】 验证法：
将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.
例10 将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2
π
个单位.若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能．．．
等于（ ） A .4 B.6 C.8 D.12 【解析】解：逐项代入验证即可得答案选B.
实际上，函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移
2
π
个单位所得函数为()sin[()]2
f x x π
ωϕ=++=
sin[()]2x π
ωϕω++⋅，此函数图像与原函数图像重合，即
sin[()]2
x π
ωϕω++⋅sin()x ωϕ=+，于是ω为4的倍数.
【特别提醒】()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2
π
个单位所得函数解析式，应将原
解析式中的x 变为2
x π
+
，图像左右平移或x 轴的伸缩变换均只对x 产生影响，其中平移符
合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.
例11设数列{}n a 中， 32,211+==+n n a a a ， 则通项n a 是（ ）
A ．n 35-
B ．12
31
-⋅-n C ．235n - D ．32
51
-⋅-n
【解析】解：把1a 代入递推公式得：27a =，再把各项逐一代入验证可知，答案选D.
例12 下列双曲线中离心率为
6
的是（ ） A .22124x y -= B. 22142x y -= C . 22146x y -= D.22
1410
x y -=
【解析】解：依据双曲线22221x y a b -=的离心率c
e a
=，逐一验证可知选B.
【方法五】 图解法：
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数形结合法.
例13设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ）
A .[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2 D.[]2,4
【解析】解：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合，答案选A.
【特别提醒】此题考查函数零点问题，可转化为两个熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值大小关系.
例14.若曲线1C ：
022
2=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）
A. )33,33(-
B. )33
,0()0,33( - C. ]33,33[-
D. ),3
3()33,(+∞--∞ 【解析】此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思想进行求解.
曲线1C ：1)1(2
2
=+-y x ，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线2C ：0=y ，或者0=--m mx y ，
直线0=--m mx y 恒过定点)0,1(-，即曲线2C 图像为x 轴与恒过定点)0,1(-的两条直线。

作图分析：
3330tan 1=
︒=k ，3
330tan 2-=︒-=k ，又直线1l （或直线2l ）、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知)3
3
,0()0,33( -
∈=k m 【特别提醒】（1）忽略曲线方程2C ：0)(=--m mx y y 表示的是两条直线（2）求直线与曲线相切时m 的值时不结合图像取值导致错误.
例15. 直线32y x =
+与圆心为D 的圆33cos ,([0,2))13sin x y θ
θπθ
⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 （ ）
A .
7
6
π B.
54π C.43
π D.
5
3
π 【解析】解：数形结合，设直线AD 与BD 的倾斜角分别为,αβ，则6
EAD π
α=∠+
，
【方法六】 分析法：
特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法.
例17.已知342sin ,cos ()552m m m m πθθθπ--=
=<<++，则tan 2
θ
等于( ) A .
3
9m m -- B.
3
9m m
--
C.
13
D. 5
【解析】由于受条件2
2
sin cos 1θθ+=的制约，m 为一确定的值，进而推知tan 2
θ
也
为一确定的值，又
2
π
θπ<<，因而
4
2
2
π
θ
π
<
<
，故tan
12
θ
>，所以答案选D.
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan
2
θ
，运算较复杂，试根据答案数值特征分析.
例18.当[4,0]x ∈-时，24
413
a x x x +--≤
+恒成立，则a 的一个可能值是（ ） A . 5
B.53
C.53
- D.-5
【方法七】估值法：
对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项. 例19.若4
cos 5
a =-
，a 是第三象限的角， 则sin()4
a π
+=（ ）
A .72
10
-
B.7210
C.210-
D.210
【解析】根据单位圆估算2
sin()4
2
a π
+<-
, 所以答案选A .
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及两角和
公式，可根据角的范围先求出a 的正弦值，再根据两角和公式求sin()4
a π
+
.
例20. 已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则球面面积是（ ）
A .
169π B. 83π C. 4π D. 649
π 【解析】球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径23
3
r =
， 2216
=4453
S R r ππππ≥=
>球，所以答案选D. 【特别提醒】此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利用勾股定理求出球半径，再求球面面积.
【方法八】逆推法：
假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论，从而找出正确答案.
例21.用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值. 若函数()min{,}f x x x t =+的图像关于直线1
2
x =-
对称，则t 的值为（ ）. A .2- B. 2 C. 1- D. 1
【特别提醒】此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于t 的值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.
例22.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin cos cos A B
C A B
+=+，
则ABC 是（ ）
A.等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形 【解析】等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B 正确.此时60A B C ===,
3sin C =
，33sin sin 2
2311cos cos 22
A B A B +
+==++，不满足题目条件，所以A ， B ，C 均不满足题意，故答案选C.
例23.平行四边形的周长等于26,120m ABC ∠=，BCD 的内切圆半径等于3m ，已知AD AB >，则它的边长是（ ）.
A .5,8AD m A
B m == B. 8,5AD m AB m == C. 2613
,33
AD m AB m =
= D. 9,4AD m AB m ==
【特别提醒】逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法，排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得出的答案唯一.
【专题训练】
1．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方
程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 解析：特例法，利用正弦函数图象验证．
答案：D 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π
3－2x ＋sin
2x 的最小正周期是
( )
A.
π
2
B ．π C．2π D．4π 解析：(代入法)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，而f (x ＋π)
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3－2x ＋π＋sin[2(x ＋π)]＝f (x )．所以应选B ； 另解：(直接法)y ＝
32cos 2x －1
2
sin 2x ＋sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，T ＝π，选B.
答案：B
3．若动点P 、Q 在椭圆9x 2
＋16y 2
＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距 离OH 必等于 ( ) A.203 B.23
4 C.
125 D.415
解析：选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2
＝16，b
2
＝9得，OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝12
5.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也
成立”可知，答案C 正确．
答案：C
4．椭圆b 2x 2
＋a 2y 2
＝a 2b 2
(a >b >0)，A ，B 是椭圆上的两点且OA ，OB 互相垂直，则1|OA |
2
＋
1|OB |
2
的值为 ( )
A.a 2＋b 2a 2b 2
B.a 2b 2a 2＋b 2
C.
1
a 2
＋b 2
D ．不能确定 解析：取点A ，B 分别为长轴与短轴的两个端点，则|OA |＝a ，|OB |＝b ，所以1
|OA |
2＋
1
|OB |2＝1
a 2＋1
b 2＝
a 2＋
b 2
a 2
b 2
. 答案：A 5．设a ＝sin
5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7
，则
( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
6．设(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，若S ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则S 的值为 ( )
A ．2n
B ．2n
＋1 C.3n
－12 D.3n
＋1
2
解析：方法一：令x ＝1，得到3n
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n .令x ＝－1，得到1＝a 0－a 1＋a 2
－a 3＋…＋a 2n .∴2S ＝3n
＋1.
方法二：(特值法)
令n ＝1,1＋x ＋x 2
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
，a 0＋a 2＝2.排除B 、C.令n ＝2,1＋2x ＋3x 2
＋2x 3
＋
x 4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，a 0＋a 2＋a 4＝5，排除A.
答案：D
7．已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当
x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有 ( )
A ．f (x )<－1
B ．－1<f (x )<0
C ．f (x )>1
D ．0<f (x )<1
解析：取特殊函数．设f (x )＝2x
，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y
＝2x ·2y
)，
且满足
x >0时，f (x )>1，根据指数函数的性质，当x <0时，0<2x <1，即0<f (x )<1.
答案：D
8．设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合P ＝{(x ，y )|y ＝x 2
＋2bx ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝2a (x
＋b )}，S ＝{(a ，b )|P ∩Q ＝∅}，则S 的面积是 ( ) A ．1 B ．π C．4 D ．2π
9．函数y ＝lg|x |
x
的图象大致是 ( )
解析：y ＝lg|x |
x
为奇函数，故排除B.
又当x ＝1时，y ＝0，故排除C. 又当x ＝10时，y ＝110
当x ＝100时，y ＝2100<1
10，故排除A.
答案：D
10. 与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－72的夹角相等，且模为1的向量是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35
C.⎝
⎛⎭⎪⎫22
3
，－13
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22
3，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13
解析：方法一：(直接法)
设所求向量e ＝(cos θ，sin θ)，则由于该向量与a ，b 的夹角都相等，故a ·e |a ||e |＝b ·e
|b ||e |
⇒a ·e ＝b ·e ⇒72cos θ＋12sin θ＝12cos θ－7
2
sin θ⇒3cos θ＝－4sin θ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
sin θ＝－
35
cos θ＝4
5
，或⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝
35
cos θ＝－4
5
可知B 选项成立，故选B.
方法二：(数形结合法)
画出a 、b 的草图．
然后画出⎝
⎛⎭
⎪⎫232，－13，显然它与a 、b 的夹角不相等，逐一排除，可选B.
方法三(定性判断、验证法)若存在一向量c 与a 、b 的夹角相等，则－c 与a 、b 的 夹角也一定相等，故应有2个向量，排除A 、C ，
∵|a |＝|b |，∴若c 与a 、b 的夹角相等，由向量的夹角公式可得a ·c ＝b ·c ，显然
⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12·⎝
⎛⎭⎪⎫232，－13≠⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72·⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－13，排除D.
答案：B
11．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和 为M ，则有 ( ) A ．P ＝S
M B ．P >S M
C ．P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n D ．P 2
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n
q n (n －1)，而P 2＝a 2n 1q
n (n －1)，故有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n . 综上有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n .
方法二：特例检验法
取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，
显然P >S M
和P 2
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求． 再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n
，M ＝n
2，
这时有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n ，而P ≠S M
，所以A 选项不正确，故选C.
答案：C。