高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.3~06《双曲线及其标准方程》（人教A版选修2-1）

课题：双曲线及其标准方程
课时：02
课型：新授课
教学目标：
1， 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力
3.情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。

4.能力目标
（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
新课讲授过程
（1）双曲线的定义
〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}
122M MF MF a -=． 强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？
（2）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比双曲线：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()22
2210,0y x a b b a
-=>>． （3）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．
补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2
222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2
214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2
231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为．
① ∵⊙C 与⊙M 内切，点在⊙C 外，∴MC r =-，MA r =，因此有
MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是
(2
22217y x x -=≤； ②∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是
22
434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；
③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()22
1245
x y x -=≥． 例2 已知，两地相距800m ，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，
两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为轴、轴
方向，建立直角坐标系，设、、C 分别是西、东、北观察点，则
()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ．
设(),P x y 为巨响发生点，∵、C 同时听到巨响，∴OP 所
在直线为y x =-……①，又因点比点晚4s 听到巨响声，∴
()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，
1020c =，∴b =，∴点在双曲线方程为
22
2216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出点坐标为(P -．即
巨响在正西北方向处．
探究：如图，设，的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49
，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是
49
，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．
练习：第54页1、2、3 课堂小结：
作业：第60页1、2
补充作业：
1.【2015高考福建，理3】若双曲线
22
:1
916
x y
E-=的左、右焦点分别为
12
,F F，点在双曲线
上，且
13
PF=，则
2
PF等于（B ）
A．11 B．9 C．5 D．3
2.【2015高考四川，理5】过双曲线
2
21
3
y
x-=的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线
的两条渐近线于A，B两点，则AB=（ D ）
（D）。