浙江专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十四两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析20190614360

课时跟踪检测（二十四） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·宁波模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．1
7 B ．7 C ．－17
D ．－7
解析：选A 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，所以tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3
4＋11＋34
＝17
.
2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－1
3
B ．13
C ．－23
D ．23
解析：选D 依题意得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2
＝12(1＋sin 2α)＝23.
3．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )
A ．－
2
3
B ．
23
C ．－13
D ．13
解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝1
3，
所以cos 2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2
α－sin 2
α
sin αcos π4＋cos αsin π4
＝
α－sin αα＋sin α
22
α＋cos α
＝－132
2
＝－23.
4．(2019·衢州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．
解析：由tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
tan x ＋11－tan x ＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝1－tan 2
x 2＝49.
答案：4
9
5．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin α
cos α＝2，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝－4
3. 答案：－4
3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43
B ．43
C ．－4
3
或0
D ．4
3
或0 解析：选D ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
2sin 2α＝1＋cos 2α，
sin 22α＋cos 2
2α＝1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin 2α＝0，
cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2α＝4
5，cos 2α＝3
5
，∴tan 2α＝0或tan 2α＝4
3
.
2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α，则sin 2α的值为( )
A ．－118
B ．1
18 C ．－1718
D ．1718
解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos
α－sin α)，
又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－17
18
.
3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )
A.3
3 B ．－33 C.53
9
D ．－
69
解析：选C ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π
4，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝
223
. 又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63
. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539
. 4．(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m 在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，2) B ．[－3，3) C ．[3，2)
D ．[0,2)
解析：选 C 令f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝0，则有m ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以有2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－3，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m ∈[3，2)．
5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等
于( )
A ．－12
B ．12
C ．－13
D ．2327
解析：选D ∵cos α＝1
3，2α∈()0，π，
∴cos 2α＝2cos 2
α－1＝－79，
sin 2α＝1－cos 2
2α＝429
，
又∵cos(α＋β)＝－1
3，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝1－cos
2
α＋β＝
22
3
， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋
429
×223＝2327. 6．(2018·杭州二中模拟)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan α＝________；tan 2α＝________.
解析：由sin α＋2cos α＝
102两边平方可得sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2
α＝52
，故sin 2
α＋4sin αcos α＋4cos 2
αsin 2α＋cos 2α＝52，即tan 2
α＋4tan α＋4tan 2
α＋1＝5
2，解得tan α＝3或tan α＝－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α＝－34
.
答案：3或－13 －3
4
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.
解析：cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
33＝－1. 答案：－1
8．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin
2α＝________.
解析：由已知得
2
2
(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝1
4，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平
方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝15
16
.
答案：15
16
9．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－72
10.
(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．
解：(1)cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝cos 2
α－sin 2
αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2
α
1＋tan 2
α
. 因为tan α＝2，所以cos 2α＝1－41＋4＝－3
5.
(2)因为α∈(0，π)，tan α＝2，
所以α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
因为cos 2α＝－35，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin 2α＝45. 因为β∈(0，π)，cos β＝－72
10，
所以sin β＝
210且β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×2
10＝－22
.
因为2α－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 10．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π，
函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6，32.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．
解：(1)依题意有f (x )＝a ·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴T ＝2π
ω＝2π，解得ω＝1.
将点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋φ＝32，
∴π6＋φ＝π3＋2k π，k ∈Z 或π6＋φ＝2π
3＋2k π，k ∈Z. ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2
. 故f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .
(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴sin α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝4
5，sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
，
∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝925－1625＝－725
，
∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×5
13＝
36325
.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知平面向量a ＝(sin 2
x ，cos 2
x )，b ＝(sin 2
x ，－cos 2
x )，f (x )＝a ·b ＋4cos 2
x ＋23sin x cos x ，若存在m ∈R ，对任意的x ∈R ，f (x )≥f (m )，则f (m )＝( )
A ．2＋2 3
B ．3
C ．0
D ．2－2 3
解析：选C 依题意得f (x )＝sin 4
x －cos 4
x ＋4cos 2
x ＋3sin 2x ＝sin 2
x ＋3cos 2
x ＋3sin
2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，因此函数f (x )的最小值是－2＋2＝0，即有f (m )＝0.
2．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R
恒成立，则
①f ⎝
⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )
的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的
图象不相交．
以上结论正确的是________(填序号)．
解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2
sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中tan φ＝b a ，因为对一切x
∈R ，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝k π＋π6(k ∈Z)，故f (x )＝±a 2＋b 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝±a 2＋b 2·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×11π12＋π6＝0，所以①正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 47π30＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2
·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和f (x )＝－a 2＋b 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可知(图略)，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )
的图象不相交，故⑤错误．
答案：①③
3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.
(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1
tan α
的值． 解：(1)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π6＋α
＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1
4，
即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.
∵α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.
(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－3
2
.
∴tan α－
1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2
α－cos 2
αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－
32
1
2
＝
2 3.。