新高考热门专题同构知识点总结

一、同构基础知识
1.六大同构函数：
(1)x
y xe = (2)x x y e = (3)x
e y x
= (4)ln y x x = (5)ln x y x =
ln (6)x y x = 2.两个恒等式：
（1）0,1,0,log x a a a x x a >≠>=； （2）log 0,1,0,a x
a a x x a >≠>=
3.指对变换的核心：ln ln x
x e x e ==
4.常见变形：
（1）加：()
ln ln ln ln ;x x x x e x xe +=+=()
222ln ln ln ln x x
x x e x x e +=+=
（2）减：ln ln ln ln x
x e x x e x x
⎛⎫-=-=
⎪⎝⎭
（3）乘：ln ln ;x x x x x xe e e e +==22ln 2ln x
x x
x x x e e
e e +==
（4）除：ln ln x x x x x e e e x e -==；2ln 22ln x x x x
x e e e x e
-== 二、同构模式
1.地位同等要同构，主要针对双变量，方程组上下同构，合二为一
（1）()()()()()()()()为增函数。

kx x f y kx x f kx x f kx kx x f x f x x k x x x f x f -=⇔-<-⇔-<-⇔<>--22112121212121
（2）
()()()()()()()()()为减函数。

x
k
x f y x k x f x k x f x x x x k x f x f x x x x k
x x x f x f +=⇔+<+⇔->-⇔<<
--221121212121212121
含有地位同等的两个变量21,x x ，或q p ,等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形， 如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.
如：2224222log 42log 2log 2log 2a b b b a b b b +=+=+<+，
同构函数()22log x
f x x =+判断其为增函数
2.指对跨阶想同构，同左同右取对数（重点内容） （1）积型：ln a
ae b b ≤的三种同构方式： 同右：ln ln ()ln a a e e b b f x x x ≤→= 同左：()ln ln ()a b x ae b e f x xe ≤→=
取对：ln ln ln(ln )()ln a a b b f x x x +≤+→=+
例：x m
x
m e x
m x x me x x ≥⇔≥2
23ln ln 2。

（2）商型：()()()()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧-=→-≤-=→≤=→≤⇒≤x x x f b b a a x e x f b e a e x x
x f b b e e b b a e x
b a a
a a ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 取对：同左：同右： （3）和差型：ln ln a
b
e a e
b ±>±两种同构方式：
同左：ln ln ()a b x e a e b f x e x ±>±→=± 同右：ln ln ()ln a
a
e e b b
f x x x ±>±→=± 例：()()
()()1ln 1ln 11ln 1ln +>⇔++>+⇔+++>++x ax x e
ax e x x ax e x ax
ax
3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常熟或凑参数或凑变量（难点内容）
（1）x x axe x ae ax
x ax ln ln >−−→
−>⨯同 （2）()()()()()()()
1ln ln 1ln 11ln ln 1
1ln ln 11ln 1ln 1ln ln ln ->-⇔-+=-+->-+−→−-->-⇔-->⇔
-->--+-x a x x e x x a x e x a e x a e a
a a ax a e x a x x a x x
x （3）()x x e a x a
x
e
x a a x a
x a x
ln ln ln ln log ln ln >⇔>
⇔> 注意：因为x a a x
log 、互为反函数，所以还可以这样转化
x
x
a x a x a x a x ln ln log >
⇔>⇔>。

对于某些不等式，两边互为反函数比较隐蔽，需要出众的观察和做题量。

如：
()21111111ln 11e
a e x a x e a x a e a x x x >⇔->⇔>+→->+
4、同构放缩、切线放缩 （1）
()()
10,01,2022,21,412221
≤<≥+≥<≤-+≤
++≥≥⇒≥⇒≥>⇒+≥-a x ax e x x
x
e x x e x e e ex e x e x e x x x x
x
x x
变形：().
ln 2,1ln 2;1ln ,1ln ,1ln ln 22ln 22ln ln ln x x e e e x x x e e x x x e e
x
x x e x e x x e xe x x x x x x x x x x x x x
x x
+≥=++≥=+-≥=+-≥=++≥=++--+ （2）
()()()()()1,11ln ;1112ln ,1121ln ,1ln 1
1ln ,2ln 1ln ,ln ln 1ln ≥≥-≤≥+-≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-≥⇒-≥-⇐⇒-≤≤⇒≤⇒-≤a x x a x x x x x x x x x x x x x
x ex x x x e x x x ex x x
变形：x
e x x xe x x x
x
ln ln ,ln ln =-=+。