2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何听课学案理20180713492

第八单元解析几何
第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课前双击巩固
1.直线的倾斜角
(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l 的倾斜角为.
(2)范围:倾斜角α的取值范围是.
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .
(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.
3.直线方程的五种形式
名称方程适用范围
点斜
式
不含直线x=x0
斜截
式
不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x=x1(x1≠x2) 和直线y=y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面内所有直线都适
用
常用结论
直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
α
°
0°<α<
90°
90°
90°<α<180
°
k0 k>0 不存
在
k<0
题组一常识题
1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.
2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.
3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为.
题组二常错题
◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.
4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围
是.
5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.
6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.
课堂考点探究
探究点一直线的倾斜角和斜率
1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.
(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是
()
A.
B.∪
C.
D.∪
[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.
(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.
式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.
(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是.
探究点二直线的方程
2 求适合下列条件的直线l的方程:
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.
式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()
A.x-y+1=0
B.x-y=0
C.x+y+1=0
D.3x-y-1=0
(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()
A.B.
C.D.
探究点三直线方程的综合应用
3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O 为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.
(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和
x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.
[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y 的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.
式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.
(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()
A.2
B.4
C.6
D.2
第47讲两直线的位置关系、距离公式
课前双击巩固
1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:
位置关系l1,l2满足
的条件
l3,l4满足的条件
平行A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0
垂直A1A2+B1B2=0
相交A1B2-A2B1≠0
2.两直线的交点
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组
的解.
(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;
(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.
3.距离公式
点
P1(x1,y1),P2(x2,y2)
之间的距离
|P1P2|=
点P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0的距离
d=
两条平行线
Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0间的距
离
d=
常用结论
1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.
2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.
3.过两直线交点的直线系方程
若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中
λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.
4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
题组一常识题
1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值
为.
2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.
3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程
为.
4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.
题组二常错题
◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.
5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .
6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.
7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .
课堂考点探究
探究点一两条直线的位置关系
1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q 的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()
A. B.
C.D.
[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线
A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.
式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则
cos-2α的值为()
A.B.-C.2 D.-
探究点二距离问题
2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c= ()
A.-12
B.48
C.36
D.-12或48
(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.
[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为
一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.
式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是() A.B.
C.D.
(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为 ()
A.3
B.2
C.3
D.4
探究点三对称问题
考向1点关于点的对称
3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()
A.m=-3,n=10
B.m=3,n=10
C.m=-3,n=5
D.m=3,n=5
(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()
A.2x-y+1=0
B.2x-y+5=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y-5=0
[总结反思] 中心对称问题主要有两类:
(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足
(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
考向2点关于线对称
4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.
(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()
A.m=-4,n=-3
B.m=4,n=-3
C.m=-4,n=3
D.m=4,n=3
[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线
Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有
考向3线关于线对称
5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.
(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程
为.
[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.
(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.
考向4对称问题的应用
6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.
(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则
mn= .
[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.
强化演练
1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()
A.x-3y-2=0
B.x-3y+2=0
C.x+3y+2=0
D.3x+y-2=0
2.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()
A.a=-4,b=2
B.a=4,b=-2
C.a=4,b=2
D.a=2,b=4
3.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点
()
A.(2,0)
B.(1,-1)
C.(1,1)
D.(-2,0)
4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.
5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.
6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.
第48讲圆的方程
课前双击巩固
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨
迹)
标准
方程
(r>0)
圆心,半径
一般
方程
(D2+E2-4F>0)
圆心为-,-,
半径为
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则.
常用结论
常见圆的方程的设法:
标准方程的设一般方程的设法
法
圆心在
原点
x2+y2=r2x2+y2-r2=0
过原点
(x-a)2+(y-b)2=
a2+b2
x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x
轴上
(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0
圆心在y
轴上
x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0
与x轴相
切
(x-a)2+(y-b)2=
b2
x2+y2+Dx+Ey+
D2=0
与y轴相
切
(x-a)2+(y-b)2=
a2
x2+y2+Dx+Ey+
E2=0
题组一常识题
1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.
2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程
是.
3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.
4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程
是.
题组二常错题
◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.
5.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.
6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.
7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.
课堂考点探究
探究点一圆的方程
1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为
()
A.+y2=
B.+y2=
C.+y2=
D.+y2=
(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
()
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.
式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.
(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.
探究点二与圆有关的最值问题
考向1斜率型最值问题
2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()
A.B.
C.D.
(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是
()
A.∪
B.∪∪
C.∪
D.
[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意
义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.
考向2截距型最值问题
3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值
是.
(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.
[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.
考向3距离型最值问题
4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.
(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()
A.4
B.6
C.3+1
D.1+
[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.
考向4利用对称性求最值
5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()
A.4
B.5
C.3-1
D.2
[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
强化演练
1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()
A.
B.∪
C.
D.(-∞,-]∪[,+∞)
2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()
A.B.5
C.2
D.10
3.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()
A.5 -4
B.-1
C.6-2
D.
4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.
5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则
|3x+4y-26|的最小值为.
6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.
探究点三与圆有关的轨迹问题
6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是
()
A.x2+y2=1
B.x2+y2=1
C.x2+y2=1
D.y=
(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.
式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()
A.8x-6y-21=0
B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0
D.6x-8y-21=0
(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为
()
A.+y2=1
B.x2+=1
C.x2+=1
D.+y2=1
第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系
课前双击巩固
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系相离相切相交
图形
量
化
方程
观点
Δ
Δ
Δ
几何
观点
d r
d
r
d r
2.两圆的位置关系
设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
位置
关系
相离外切相交内切内含
图形
量的
关系
常用结论
1.求圆的切线方程,常用两种方法
(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数. 2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.
题组一常识题
1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.
2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程
是.
3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.
4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.
题组二常错题
◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.
5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .
6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.
7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程
为.
课堂考点探究
探究点一直线与圆的位置关系
1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()
A.0<m<1
B.-4<m<0
C.m<1
D.-3<m<1
[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:
(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.
式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).
(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l的斜率的取值范围是.
探究点二圆的切线与弦长问题
2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当
=4时,直线l的方程为.
(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程
是.
[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值
为.
(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B 关于直线l:x+y=0对称,则= .
(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()
A.±2
B.±3
C.±4
D.±2
探究点三圆与圆的位置关系
3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()
A.相离
B.外切
C.相交
D.内切
(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.
[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.
(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
第50讲椭圆
课前双击巩固
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若,则集合P为椭圆;
(2)若,则集合P为线段;
(3)若,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方
程
+=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形
性质
范围
对称
性
对称轴:
对称中心:
顶点
A1,A2
B1,B2
A1,A2
B1,B2轴
长轴A1A2的长为
短轴B1B2的长为
焦距|F1F2|=
离心
率
e=,e∈
a,b,c
的关
系
c2=
常用结论
椭圆中几个常用的结论:
(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.
①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).
(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.
(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则
①弦长l==|y1-y2|;
②直线AB的斜率k AB=-.
题组一常识题
1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率
为.
2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.
3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.
4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.
题组二常错题
◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.
5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.
6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.
7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.
课堂考点探究
探究点一椭圆的定义
1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()
A.8
B.4
C.4
D.2
(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点
A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.
式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()
A.36
B.16
C.20
D.24
(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .
探究点二椭圆的标准方程
2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为 ()
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若线段AB的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:
(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;
(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.
式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为()
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
探究点三椭圆的几何性质
3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()
A.B.
C.D.
[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:
(1)求出a,c,代入公式e=.
(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.
式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2=() A.-1 B.2-
C.2-
D.-2
(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()
A.B.
C. D.
探究点四直线与椭圆的位置关系
4[2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.
[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|==
(k为直线斜率).
(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:
涉及问题处理方法
根与系数的关系、弦长公式
弦长
(直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中
点差法(结果要检验Δ>0)
点
式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.
第51讲双曲线
课前双击巩固
1.双曲线的定义。