2021年高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(八) 含答案

xx 届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个正确选项）
1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于
（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的 ( )
A.充分非必要条件；
B.必要非充分条件；
C.充要条件；
D.既不是充分条件，也不是必要条件.
3．在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与
49 cm 2之间的概率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设，，是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
( )
A.当时，若，则∥
B. 当时，若，则⊥
C.当，且c 是a 在内的射影时，若，则
D.当，且时，c ∥，则b ∥c
5．在数列{}中，若对任意的n 均有＋＋为定值，且，，则数列的前100项的和
S 100＝ ( )
A ．132
B ．299
C ．68
D ．99
6．执行如图所示的程序框图，输出的值是 ( )
A ．3
B 。

4
C 。

5
D 。

6
7．设等差数列满足：
22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+， 公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是
( )
A. B . C. D.
8．已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为. 若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．
B 。

C 。

D 。

9．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°
，则 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“好运”函数.给出下列函数:
①;②;③;④.
其中是“好运”函数的序号为 .
A 。

① ②
B 。

① ③
C 。

③
D 。

② ④
二、填空题： （本大题共4小题，每小题5分 ，共20分。

）
11．的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．
12．已知M ，N 为平面区域内的两个动点
向量=（1，3）则·的最大值是
13．设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若P （ξ＜2a －3）＝P （ξ＞a ＋2），则a 的值为______________.
14．研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所
以不等式的解集为。

类比上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
三、选作题：本小题5分。

15．（1）．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 。

（2）. 直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。

四、 解答题：本大题共6小题，共75分。

16．（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。

17. （本小题满分12分）
在xx 年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选
题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23
，且每题正确回答与否互不影响．
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
18． (本小题满分12分)
已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q ，使得，并说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知函数，若存在使得恒成立，则称是的一个“下界函数”．
(I)如果函数（t为实数）为的一个“下界函数”，
求t的取值范围；
（II）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．
20. （本小题满分13分）
已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
2021年高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八） 含答案
参考答案
三、选作题：本小题5分。

15.(1) ; 15.(2) 2
三、 解答题：本大题共6小题，共75分。

16.（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。

解（Ⅰ）2
1)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π， （2分） ∴.
由，得.
故函数的单调递减区间是. （6分）
（2）1)6
2sin(21.65626,36≤+≤-∴≤+≤-∴≤≤-πππ
π
π
π
x x x Q . 当时，原函数的最大值与最小值的和，
. （8分）
（3）由题意知 （10分）
=1 （12分）
17. （本小题满分12分）
在xx 年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选
题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响． (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力． 解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36
＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15
， ∴考生甲正确完成题数的分布列为
ξ 1 2 3
P 15 35 15
Eξ＝1×15＋2×35＋3×15
＝2.（4分） 又η～B (3，23)，其分布列为P (η＝k )＝C k 3·(23)k ·(13)3－k ，k ＝0，1，2，3；∴Eη＝np ＝3×23
＝2.（6分） (II)∵Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝npq ＝3×23×13＝23，（8分）∴Dξ<Dη.∵P (ξ≥2)＝35＋15
＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827
≈0.74，∴P (ξ≥2)>P (η≥2)．（10分） 从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．（12分）
18． (本小题满分12分)
已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q ，使得，并说明理由．
解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，， ，，
此几何体的体积为； 3分 解法一：（Ⅱ）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，
∴ ；即异面直线与所成角的余弦值为。

7分 ∴ （Ⅲ）在上存在点Q ，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点； 连接、，在和中， ，∽，
，
，，，
，，， 以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；
，，，，
，
； 12分 A B C D E
F B C D E y z
解法二：（Ⅰ）同上。

（Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。

（Ⅲ）设存在满足题设的点，其坐标为，
则，，，
， ①；
点在上，存在使得，
即，化简得， ②，
②代入①得，得，；
满足题设的点存在，其坐标为。

19．（本小题满分12分）
已知函数，若存在使得恒成立，则称 是的一个“下界函数” ．
(I)如果函数（t 为实数）为的一个“下界函数”，
求t 的取值范围；
（II ）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）恒成立，，， ……………2分
令，则， ……………4分
当时，，在上是减函数，当时，，在上是增函数，
……………6分
（Ⅱ）由（I ）知，①，
()121111ln ()x x x x F x x ex ex x e e
e e ∴=-+≥-=-， 令，则， …8分
则时，， 上是减函数，时，，
上是增函数，
②， 10分
()121111ln ()0x x x x F x x ex ex x e e
e e ∴=-+≥-=-≥，①②中等号取到的条件不同，，函数不存在零点. …12分
20. （本小题满分13分）
已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为， ………(1分)
．，
由，得． ………… (2分)
设点的坐标为，由，有，
代入，得． ……… (4分)
（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，
则，． ………… (5分)
由，得， 同理得． …………(7分)
，，则． ……(8分)
由，得，． ……… (9分)
则． …………… (11分)
因此，的值是定值，且定值为． ……… (13分)
解法二：①当时， 、，则， ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． …………… (6分)
②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．…(8分)
由，得，．…………(9分)
则．…………(11分)
因此，的值是定值，且定值为．…………(13分)
21.（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在
直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
解。

（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.
又＝，即，，
∴+=1.
①当=时，=，+=；
②当时，，
+=+===
综合①②得，+. 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +
∴，k=.
n≥2时，+++，①
，②
①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.
当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n. 7分
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