第二学期半期考试高二数学试卷(理科) (2)
高二第二学期期中理科数学试卷含答案
高二级第二学期期中考试 数学科试卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2()sin(1)f x x =+是奇函数， 以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 2. “1a ＞”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列计算错误．．的是（ ）A.sin 0x xdx x =-⎰ B.4π=⎰ C.1210dx =⎰ D.2211210x dx x dx =-⎰⎰4．已知三个方程：①2x t y t=⎧⎨=⎩②2tan tan x t y t=⎧⎨=⎩③2sin sin x t y t=⎧⎨=⎩ (都是以t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(5)1f f -==，'()f x 为()f x 的导函数，且导函数'()y f x =的图象如图所示，则不等式()1f x ＜的解集是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)6． 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．47. 在极坐系中点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆 θρcos 2= 的圆心之间的距离为( )8．已知函数32()(6)3f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,6)- B.(,3)(6.)-∞-⋃+∞C.[]3,6-D.(][,36,)-∞-⋃+∞9． 用数学归纳法证明不等式()1,1111 (122)n N n n n n n *∈++++++＞＞的过程中，从n k =到1n k =+时左边需增加的代数式是 ( ) A ．122k +B ．112122k k -++ C ． 112122k k +++ D ．121k + 10.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),A B --(1,1),C -(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( ) A.23 B.13 C.16 D.1211．设函数()xxf x e e -=-，以下结论一定错误．．的是( ) A ．'()2f x ≥ B ．若21(22)e e f x x ----＜，则x 的取值范围是(2,3)-.C ． 函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增D ．函数()f x 有零点12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ＞时，'()()xf x f x ＞，若(2)0f =，则不等式0()f x x＞的解集为（ ）A ．{02x x -＜＜或}02x ＜＜B ．{2x x -＜或}2x ＞C ．{02x x -＜＜或}2x ＞D ．{2x x -＜或}02x ＜＜第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .14. 已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5p =交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.15. 已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________．16．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求直线l 和圆C 的极坐标方程；（5分）(Ⅱ)设直线l 和圆C 相交于A,B 两点，求弦AB 与其所对劣弧所围成的图形面积．（5分）18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（4分）（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．（8分）19 .（本小题满分12分）（1）若x ，y 都是正实数，且2x y =＞，求证：21xy+＜与21y x +＜中至少有一个 成立．（6分）（2)n N *∈（6分）20．（本小题满分12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元（t 为常数，且25t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元（2540x ≤≤），根据市场调查，销售量q 与xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；（6分）（Ⅱ）若5t =，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．（6分）21.（本小题满分12分）已知函数2()1(1)(0)2k f x n x x x k =+-+≥． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（5分） （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（7分）22.（本小题满分12分） 已知函数1()(cos )()xf x ea x a R -=-+∈.(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（5分）(Ⅱ)若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.（7分）第二学期期中考试高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准一、选择题：（每题5分，满分60分）13.n(n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135...(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯- 14. 4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ 15. -2 16.0 16.【解析】由题意得，2()'()360g x f x x x ==-=，'()660g x x =-=解得1x =，(1)0f =，因为3232(1)(1)(1)3(1)2(1)3(1)20f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2403220162018...(1)02017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0．17.解：（Ⅰ）求直线l 的普通方程为20x -= （1）……………………（1分） 将cos ,sin x p y p θθ==代入（1）得cos sin 20p θθ-= 化简得直线l 的方程为cos()13p πθ-= …………………………（3分）圆C 的极坐标方程为2p = ……………………………………………………（5分）（Ⅱ）2cos 13p p πθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩解之得：A(2,0) , B(2,32π) ……………………（6分） ∴23AOB π∠=,∴21124=?···4=2233AOB S a r ππ=扇形…………………（8分）1··sin 2AOB S OA O B a ∆==4-=3AOB AOB S S S π∆=扇形………（10分） 18. 解：（1）由已知得 当n =1时，有S a a a =-=⇒=1111112； 当n =2时，有221221126s a a a a =-=+⇒=； 同理可得 ,a a ==34111220（说明：1a ，2a ，3a ，4a 一个1分）…………4分（2）猜想：(*)()n a n N n n =∈+11…………5分证明：①当n =1时，由（1）得a ==⨯111212，等式成立 ……6分②假设当(*)n k k N =∈时，()n a k k =+11成立…………7分则 当n k =+1时，有k k k a S S ++=-11[()]()k k k a ka +=-+--1111()k k ka k a +=-+11 ……9分k k ka a k +⇒=+121·2(1)k k k k =++()[()]k k =+++1111 …………10分即 当n k =+1时，等式也成立……………………………11分综合①②可知 ()n a n n =+11对一切*n N ∈都成立………………12分19. 证明：（1）假设1x y +＜2和1y x +＜2都不成立，即1xy+≥2和1y x +≥2同时成立． ∵x ＞0且y ＞0，∴12x y +≥，且12y x +≥．两式相加得222x y x y ++≥+，∴2x y +≤．这与已知条件2x y +＞矛盾，∴1xy+＜2和1y x +＜2中至少有一个成立．……………………（6分）（2）原式子等价于2)n N *∈，两边平方得到224(1)221n n n n +++⇒+⇔+＞＞22212n n n n ⇔+++＞恒成立，得证．……………………（12分）20．解：（Ⅰ）设日销量3030,100,100x k kq k e e e==∴=则 …………………（2分）∴日销量30100x e q e =∴30100(20)(2540)xe x t y x e --=≤≤． ……（6分） （Ⅱ）当5t =时，30100(25)xe x y e-=…………………………………（7分）30100(26)'xe x y e -= …………………………………………………（8分）由'0y ≥得26x ≤，由'0y ≤得≥x 26∴y 在[]25,26上单调递增,在[]26,40上单调递减………………（10分）∴当26x =时,4max 100y e =………………………………………（11分）当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．（12分） 21．解（I ）当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . ………（2分）由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，…………………………………………………（4分）所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. …………………………………………………………（5分） （II ）f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x，x ∈(－1，＋∞)．……………………………（6分）当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )> 0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．……………（7分） 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和(1－k k，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)（9分）当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)…………（10分）当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)（12分）22．解：(Ⅰ)由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，…………………………（1分） 若函数()f x 存在单调减区间，则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤………………（2分）即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π≤+存在取值区间………（4分）所以a <…………………………………………………………………………（5分）(Ⅱ)当0a =时，11()cos ,()(sin cos )x x f x e x f x e x x --'==-+21(1)2()cos(1)cos(1)[sin()]4x x f x f x x x e x π+-'--+⋅+=+⋅-⋅+…………………（6分）由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦，从而cos(1)0x +>，要证原不等式成立，只要证21sin()04x xe x π+--⋅+>对11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立（7分）首先令21()(22)x g x e x +=-+，由21'()22x g x e +=-，可知，当1(,)2x ∈-+∞时()g x 单调递增，当1(,)2x ∈-∞-时()g x 单调递减， 所以211()(22)()02x g x ex g +=-+≥-=，有2122x e x +≥+………………………（9分）构造函数()22)4h x x x π=+-+，11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为'()2)2(cos())424h x x x ππ=-+=-+， 可见，在[]1,0x ∈-时，'()0h x ≤，即()h x 在[]1,0-上是减函数， 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0'()h x ＞，即()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以,在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，min ()(0)0h x h ==，所以()0g x ≥.所以，)224x x π+≤+，等号成立当且仅当0=x 时，……………………（11分）综上：2122)4x e x x π+≥+≥+，由于取等条件不同，故21)04x ex π+-+>，所以原不等式成立. ………………………………（12分）。
高二理科数学第二学期半期考试题.doc
高二理科数学第二学期半期考试题高二数学试题（理科）第Ⅰ卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至4页．考试结束后，将第Ⅱ卷交回．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号或座位号在答题卡上填写清 2． 把答案写在第Ⅱ卷规定位置。
一、 选择题：（共12题每题5分，共60分）1. 复数z=2-3i 对应的点z 在复数平面的 （ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知()()()77,,108P AB P A ==则P B A 等于 （ ）49.80A 1.8B 9.10C 4.5D 3. 因指数函数x a y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ） （A ）大前提错导致结论错 （B ）小前提错导致结论错（C ）推理形式错导致结论错 （D ）大前提和小前提都错导致结论错4. 在4次独立试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为8165，则事件A 在1次独立试验中出现的概率为 （ ）A ．31B ．52C ．65D ．以上全不对5. 若()......x a a x a x a x -=++++929012915，那么......a a a a ++++0129的值是 ( )A.1B.94C. 95D. 966. 五个数字0,1,2,3,4组成五位数，其中0与4不相邻的五位数共有（ ）A ．48个B ．54个C ．60个D ．66个7. 曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积 （ ） A.-1 B.2 C.25 D.38. 函数x x y ln =的单调递减区间是 （ ） A.（1-e ，+∞） B.（－∞，1-e ） C.（0，1-e ） D.（e ，+∞） 9. 方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10.已知直线l 与抛物线C ,当直线l 从0l 开始在平面上绕O 点按逆时针方向匀速旋转（旋转的角度不超过09011.某旅行社有n 名导游，会英语的有3人，会日语的有5人，现从中选2人，只会英语或只会日语的有15种选法，则n 为 （ ）A 5B 6C 7D 812. 给出以下命题：（1）若0)(>⎰dx x f ba （a ＜b ＝，则()0f x >；（2）演绎推理是由一般到特殊的推理； （3）否定结论“至多有两个解”，可以用“至少有两个解”（4）f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则dx x f dx x f T a Ta⎰⎰+=)()(0；（5）用数学归纳法证明“22n n >”对于0,n n n ≥的自然数都成立时第一步证明中的起始值01n = 。
高二数学半期考试(理科)
高二数学半期试卷（理科）拟题人：令狐世飞 成润银一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．设集合M={x|-1＜x ＜4}，N={x|0≤x ≤5}，则M ∩N=（ ） A A （0，4] B ． [0，4） C ． [﹣1，0）D ． （﹣1，0]2．双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为（ ）A ．y=±43x B. y=±34x C. x=±23y D .y=±23x .3．若函数32)(2+-=mx x x f ，当)2,(--∞∈x 时是减函数，当),2(+∞-∈x 时是增函数，则=)1(f （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量 4．已知1||||||=+==b a b a 则=-||b a （ ）A3 B. 23 C 33 D 435．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足4=xy 的概率为（ ）A ．161B ．81C ．163D ．416．命题：“若x 2+y 2=0,则x=y=0. ” 的否命题是（ ）A. 若x 2+y 2=0,则x=y=0B. 若x 2+y 2≠0,则x 与y 中至少有一个不为0C. 若x 2+y 2≠0,则x=y=0D. 若x 2+y 2=0,则x ≠y ≠0 7．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为（ ） A ．+=1B ．+y 2=1C ．+=1D ．+=18.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A.1B.25C.2D.59． 过圆044222=-+-+y x y x 内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ）A ．03=-+y xB ．03=--y xC ．034=-+y xD ．034=--y x 10． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 11．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1=（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数f(x)={|lgx | , 0<x ≤10−12x +6 , x >10, 若a,b,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．(20,24) D. (10, 12)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13． 某学院A 、B 、C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
高二理科选修2-2半期考试试题
一、选择题：
1、计算
2、曲线ｙ＝－ －2在点（－1， ）处切线的倾斜角为（）
Ａ30º Ｂ45º Ｃ135º Ｄ150
3、如右图，阴影部分面积为（ ）Байду номын сангаас
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4、函数 导数是（）
A.. B. C. D.
5、已知 则a，b，c的大小关系为（）
A．a>b>cB．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a
填空：
13、对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是．
14、
15、若
16、若数列{ }，(n∈N )是等差数列，则有数列b = (n∈N )
也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c }是等比数列，且c ＞0 (n∈N ),
则有d =(n∈N )也是等比数列.
解答题：
17、已知二次函数 在 处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行．(1）求 的解析式；(2）求函数 在 的最值。
21、若数列 中，
（1）试求 ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的结论；
（3）若函数 试求数列 的前 项和 。
22、证明：（1） （ ＞0）
（2）
AB的中点坐标 ， ，即中点为 。
19、如图，在三棱柱ABC-A1BlC1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M,N分别是棱CC1、AB的中点.
(I)求证：CN//平面AMB1;
(II)若 ,求二面角A-MB1-C（锐角）的大小
解：
（Ⅰ）设AB1的中点为P，连结NP、MP．
∵CM AA1，NP AA1，∴CM NP，
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
高二第二学期月考数学试卷(理科)及答案
..高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ）A.-36B.36C.-84D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-b x a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103B.4C.163D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e x f （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ．15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34， ②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34， ③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)..17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列 {b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．..利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ． 本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0， ∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围..成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解． 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题． 12. 解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g ′（x ）=e x f （x ）+e x f ′（x ）-e x =e x [f （x ）+f ′（x ）-1]， ∵f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴f （x ）+f ′（x ）-1＞0， ∴g ′（x ）＞0，∴y =g （x ）在定义域上单调递增， ∵e x f （x ）＞e x +3， ∴g （x ）＞3，又∵g （0）═e 0f （0）-e 0=4-1=3， ∴g （x ）＞g （0）， ∴x ＞0故选：A ．构造函数g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X ～N （μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P （X ＜1）=12，P （X ＞2）=p ，P （X ＜0）=p ，则P （0＜X ＜1）=12−p ． 故答案为：12−p ．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1的导数f ′（x ）=x 2+2ax +1由于函数f （x ）有两个极值点，则方程f ′（x ）=0有两个不相等的实数根， 即有△=4a 2-4＞0，解得，a ＞1或a ＜-1． 故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到． 本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题． 15. 解：由f （x ）=f ′（π4）cosx +sinx ，得f ′（x ）=-f ′（π4）sinx +cosx ， 所以f ′（π4）=-f ′（π4）sin π4+cos π4， f ′（π4）=-√22f ′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=34..17.解：（1）∵√3sinCcosC −cos 2C =12， ∴√32sin2C −1+cos2C2=12∴sin （2C-30°）=1∵0°＜C ＜180° ∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120° ∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0．∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)． ∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×22=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k -32k 21+4k +4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，.. 当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0．∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数．∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax -e x =0有两个根x 1，x 2，又因为x =0显然不是该方程的根，所以方程2a =e x x 有两个根， 设ℎ(x)=e x x ，得ℎ′(x)=e x (x−1)x 2．若x ＜0时，h （x ）＜0且h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减．若x ＞0时，h （x ）＞0．当0＜x ＜1时h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ＞1时h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增．要使方程2a =e x x 有两个根，需2a ＞h （1）=e ，故a ＞e 2且0＜x 1＜1＜x 2．故a 的取值范围为(e 2，+∞)．（ii ）证明：由f ′（x 1）=0，得：2ax 1−e x 1=0，故a =e x 12x 1，x 1∈（0，1） f(x 1)=ax 12−e x 1=e x 12x 1⋅x 12−e x 1=e x 1(x 12−1)，x 1∈（0，1）设s （t ）=e t (t 2−1)（0＜t ＜1），则s ′(t)=e t (t−12)＜0，s （t ）在（0，1）上单调递减 故s （1）＜s （t ）＜s （0），即−e 2＜f(x 1)＜−1．。
高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（ ）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（ ） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为 ．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．三、解答题 ：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值； （II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ； （II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==， 又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1， 又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++， 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==， 在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=， 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。
高二第二学期半期考数学(理科)试卷.doc
高二第二学期半期考数学（理科）试卷（ 满分：150分 时间：120分钟 命题：阙庆洲 ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、设,a c 是异面直线，,b c 也是异面直线，则,a b 的位置关系是A ．异面直线B ．平行直线C ．相交直线D ．位置关系不确定 2、6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 A ．144 B ．72 C ．36 D ．18 3、的是2112><x x A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又非必要条件 4、已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5、a 、b 表示直线，α表示平面，下列判断正确的是 A ．α⊥a ，α//b b a ⇒⊥ B ．b a b a ⊥⇒⊥αα,// C ．αα⊥⇒⊥b a b a ,//D ．α⊥a ，α⊂⇒⊥b b a6、已知O 是三角形ABC 外一点，且OC OB OA ,,两两垂直，则三角形ABC 一定是 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形（D ）都有可能7、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、11B D 的中点，则直线EF 与1DA 所成的角为A ．060 B ．045 C ．090 D ．0308、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比 为1：2，则此棱锥的高被分成的两段之比为A． B ．1：4 C．1:1) D．1:1)1D 1A1CCBAD1BEF9、短轴长为5，离心率为32的椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为A ．24B ．12C ．6D ．310、设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒， 则甲、乙两地的球面距离为 AB ．6R πC ．56R πD ．23R π 11、如图，三棱锥O-ABC中，2,4,OA OB OC AB BC =====060ABC ∠=，则直线OA 与平面ABC 所成的角是A. arcsin63 B. arccos 33C. arcsin 33D. arccos 6312、直线l 与圆221x y +=l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于A ．32 B ．12 C ．1或3 D ．12或32二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1与2不相邻的五位数有_ __个14、在条件02021x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下， 3z x y =-的最大值是15、球面上三点A 、B 、C ，3===BC AC AB ，若球心到截面ABC 的距离等于球半径的一半，则球的体积为16、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是○1等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ○2等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ○3等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 O AC○4等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 三、解答题（第17－21小题每小题12分，第22题14分，6个小题共74分）17、(本小题满分12分)解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式． 18、(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于2)20(x km ，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？19、(本小题满分12分)如图，在三棱锥S-ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ， 且△SAC 是正三角形, △ABC 是等腰直角三角形，其中 AC=CB=2，O 是AC 的中点． （1）求证：SO ⊥AB ；（2）求二面角B-SA-C 的大小．20、(本小题满分12分)已知：如图，矩形ADEF 垂直正方形ABCD ， AF=2AD=2，P 为线段AF 上一动点。
高二理科数学第二学期半期考试题
10
已知P AB
a.49
80
3.
因指数函数
4.
B.
B.1
8
第二象限C.
7,则P BA等于
8
第三象限
(
D.
C.-9
10
y ax是增函数(大前提)，而y
1
y(丄厂是增函数(结论)”上面推理的错误是
3
(A)大前提错导致结论错
(C)推理形式错导致结论错
(B)
(D)
在4次独立试验中，事件A发生的概率相同,
(n N)
(川)若数列｛3n｝，(n€N*)是等差数列，则有数列｛bn｝(bn旦上 引)
A5B6C7D8
12.给出以下命题：
b
(1)若f(x)dx0(av b=，贝Uf(x) 0;
a
(2)演绎推理是由一般到特殊的推理；
(3)否定结论“至多有两个解”，可以用“至少有两个解”
aa T
(4)f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则°f(x)dx丁f(x)dx；
(5)用数学归纳法证明“2n
则事件A在1次独立试验中出现的概率为
2
5
A.-
3
B.
5.
若(15x)9
0)qx a2x2
A.1
B.
6.
五个数字
0,123,4
A .48个B
……a/,那么a。
曲线y cosx, x [0,3
2
A.-1
B.2
)
第四象限
D.-
5
1
C)x是指数函数(小前提)，所以
3
小前提错导致结论错
大前提和小前提都错导致结论错
高二数学下学期半期考试试题理试题 2
高2021级高二下期半期考试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数 学〔理科〕满分是：150分 时间是：120分钟 第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分. 1．11ii+=-〔 〕 A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -2． 假设向量a =〔1,2,0〕，b =〔-2,0,1〕，那么A ．21cos =b a B ．b a ⊥ C ．b a // D b a =3． 假设nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为〔 〕A ．10B ．20C ．30D ．1204． 0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，其中0,1不能相邻的不同排法数为〔 〕A.36B.24C.54D.275． 设直线⎩⎨⎧=+=t y tx l 31:〔t 为参数〕，曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，那么AB =〔 〕A ．2B ．1C ．12 D ．136． 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，那么异面直线BA 1与AC 1所成的角等于〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7． x ax x f sin )(+=是R 上的增函数，那么实数a 的范围是〔 〕A ．〔﹣∞，1]B ．〔﹣∞，1〕C ．〔1，+∞〕D ．[1，+∞〕8． 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭的以下判断中正确的选项是 A ．曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．曲线C 关于极点()0,0对称C ．曲线C 关于直线56πθ=对称 D ．曲线C 关于直线3πθ=对称9． 在()31x-()101x +的展开式中5x 的系数是〔 〕A ．－297B ．－252C ．297D ．20710．三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图所示，那么''f (3)f (1)-=〔 〕 A ．﹣1 B ．2 C ．﹣5D ．﹣311．在△ABC 中，2π=∠B ，AB=BC=2，P 为AB 边上一动点，PD∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA沿PD 翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD ，当棱锥A′﹣PBCD 的体积最大时，PA 的长为〔 〕A ．332 B ．33C ．32D ．112．假设存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公一共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，那么称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线〞，函数21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x=∈=<=，有以下命题：①()()()F x f x g x =-在(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线〞，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线〞，且k 的取值范围是(4,0]-；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线〞y e =-． 其中真命题的个数有〔 〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．假设曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，那么点P 的坐标是_________．14．甲、乙两个小组，甲组有2个男生，2个女生，乙组有2个男生，3个女生，现从两组中各抽取2人，4个人中恰有1个女生的不同抽取数为 ．〔用数字答题〕 15．()5050221050...32x a x a x a a x++++=-其中,...,,210a a a 是常数,计算()()249531250420......a a a a a a a a ++++-++++= ．16．在极坐标系中，曲线C ：θθρsin 2cos 2+=，A,B 是曲线C 上的两点，O 为极点，2π=∠AOB ，那么AOB ∆面积的最小值为 ．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分. 17．〔本小题满分是10分〕某网站针对“2021年春节放假安排〞开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果如下表〔单位：万人〕：从所有参与调查的人中任选1人是“老年人〞的概率为35. 〔Ⅰ〕求n 的值；〔Ⅱ〕从参与调查的“老年人〞中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B 方案〞的概率.18．〔本小题满分是12分〕在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数〕．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求圆C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线l 的极坐标方程是(sin 3)33ρθθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为P O ,,射线OM 与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．19.〔本小题满分是12分〕如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDE ； 〔Ⅱ〕求二面角FBED 的余弦值．20.〔本小题满分是12分〕函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当1a =时，求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（参考数据：069<ln2<0.70）；21．〔本小题满分是12分〕如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．〔Ⅰ〕求证：AC // 平面DEF ；〔Ⅱ〕在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 假设存在，恳求出FQ 的长;假设不存在，请说明理由．22．〔本小题满分是12分〕函数x x f ln )(=，[])()1()(x tf m t tx f x g ---=，〔其中t m ,为常数且0,10><<m t 〕．〔Ⅰ〕求)(x g 的极值；〔Ⅱ〕0>∀n ，是否存在,00>x 使得n x x f <-+1)1(00成立，并说明理由．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高二数学下学期半期联考试题理含解析试题
十校2021-2021学年高二数学下学期半期联考试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕，是z的一共轭复数，那么=A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】2.假如用反证法证明“数列的各项均小于〞，那么应假设( )A. 数列的各项均大于B. 数列的各项均大于或者等于C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项，【答案】D【解析】试题分析：各项均小于2，的否认是存在一项大于或者等于2，所以选D考点：反证法，，那么任取一点，使的概率( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式，然后利用几何概型公式求出概率.【详解】,任取一点，使的概率，故此题选C.【点睛】此题考察了几何概型，正确解出不等式的解集是解决此题的关键.4. 执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.，那么等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据=f′〔x0〕，将条件代入即可求出所求．解：∵=1，∴=f′〔x0〕=应选C．在点〔1,1〕处切线的斜率等于〔〕.A. B. C. 2 D. 1 【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，应选C. 考点：导数的集合意义.7.从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗的高度，其茎叶图如下图．根据茎叶图，以下描绘正确的选项是( )A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，以下情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球【答案】B【解析】【分析】由题意可知，根本领件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确之答案.【详解】由题意可知，根本领件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故此题选B.【点睛】此题考察了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联络与区别.互斥事件是指两个事件不能同时发生，但是可以同时不发生，而对立事件是指两事件中必有一个发生，一个不发生，也就是说互斥不一定对立，但是对立一定互斥.个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上适宜的语句，使之能完成该题算法功能( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】A【解析】【分析】要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故此题选A.【点睛】此题考察了补充循环构造，正确读懂题意是解此题的关键.．现采用随机模拟的方法估计该运发动三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：据此估计，该运发动三次投篮恰有两次命中的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113一共两个，而总的试验数据一共20个，所以该运发动三次投篮都命中的概率为0，应选C．11.某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：那么以下结论正确的选项是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，同理，应选A.时，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，应选C.考点：不等式恒成立问题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷的横线上。
高二数学下学期半期考试试题理PDF
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日七中2021-2021学年高二数学下学期半期考试试题 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考试时间是是：120分钟 满分是：150分一、 选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1.复数12z i =-，那么=z 〔 〕〔A〔B 〕1+2i 〔C 〕12+55i 〔D 〕1255i -2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是〔 〕〔A 〕()2,1,3 〔B 〕 ()2,1,3-- 〔C 〕()2,1,3-〔D 〕()2,1,3-- 3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是〔 〕 〔A 〕2ρ= 〔B 〕2θπ= 〔C 〕cos 2ρθ= 〔D 〕sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日那么下面判断正确的选项是〔 〕 〔A 〕在区间(－2,1)上f (x )是增函数 〔B 〕在区间(1,3)上f (x )是减函数 〔C 〕在区间(4,5)上f (x )是增函数〔D 〕当x ＝2时，f (x )取到极小值5. 函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极大值点为〔 〕 〔A 〕0 〔B 〕6π 〔C 〕3π 〔D 〕2π 6. 实数x y z 、、满足236x y z ++=，那么222+x y z +的最小值是〔 〕〔A 〕6 〔B 〕3 〔C 〕187〔D 〕67．七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 〔 〕〔A 〕2332cm〔B 〕24cm 〔C 〕232cm 〔D 〕223cm制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日8.假设3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，那么a 的取值范围是〔 〕 〔A 〕(,0]-∞ 〔B 〕(,0)-∞ 〔C 〕[0,)+∞〔D 〕(0,)+∞9.我国古代数学名著?九章算术?中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆周合体而无所失矣.〞其表达的是一种无限与有限的转化过程，比方在2+2+2+中“〞即代表无限次重复，但原式却是个定值x2+x x =确定=2x ，那么11+=11+1+是〔 〕〔A 〕1+5〔B 〕51-〔C 〕51-- 〔D 〕15-10.二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，那么CD 的长为〔 〕〔A 〕2a 〔B 〕22a 〔C 5a 〔D 3a11.函数()f x 的导数()f x '满足()()()f x xf x f x ''+>-对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()xf x yf y f y f x ->-，那么以下关系式恒制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日成立的是〔 〕〔A 〕331111x y <++ 〔B 〕22ln(1)ln(1)x y +>+ 〔C 〕x y x y e e< 〔D 〕sin sin x y x y ->-12.设函数()x f x mπ=.假设存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，那么实数m 的取值范围是〔 〕〔A 〕()(),66,-∞-⋃+∞ 〔B 〕()(),22,-∞-⋃+∞ 〔C 〕()(),44,-∞-⋃+∞ 〔D 〕()(),14,-∞-⋃+∞二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.54xdx =⎰.14.不等式152x x ---<的解集是 .15.函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩假设方程()0f x m -=恰有两制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日个实根，那么实数m 的取值范围是 .16.函数()()2320,.3f x x ax a x R =->∈假设对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，那么a 的取值范围是 .三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.其中17题10分，18—22题每一小题12分17.〔本小题满分是10分〕函数311()32f x x =+． 〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；〔Ⅱ〕求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.〔本小题满分是12分〕如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.C 1B 1D CBA制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔Ⅰ〕点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； 〔Ⅱ〕当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值. 19.〔本小题满分是12分〕直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin .ρρθρθ+=+〔Ⅰ〕求圆C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．20.〔本小题满分是12分〕函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数．假设()()()()11,,n n g x g x g x g g x n N *+==∈⎡⎤⎣⎦．〔Ⅰ〕求()n g x 的表达式；〔Ⅱ〕求证：()()()()2222211213111n g g g g n n -+-+-++-<+，其中n N *∈．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日21.〔本小题满分是12分〕函数()()21ln 12f x a x a x x =-++-，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调性；〔Ⅱ〕当0a >时，假设()212f x x ax b ≥-++恒成立，求1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值．22.〔本小题满分是12分〕函数()ln xe f x ax x x=-+． 〔Ⅰ〕1a =时，求函数()f x 的极值；〔Ⅱ〕假设211,42e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值()g a 的取值范围．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高二数学下学期半期考试试题 理
卜人入州八九几市潮王学校射洪二零二零—二零二壹高二数学下学期半期考试试题理一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分 1．函数x xx f -=1)(的导数是〔〕 (A)xx 112-(B)xx 2112+-(C)xx 2112-(D)xx 2112--2.．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值是〔〕A ．41B ．21C ．2D ．4 3设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂〔〕(A)假设lβ⊥，那么αβ⊥(B)假设αβ⊥，那么l m ⊥(C)假设//l β，那么//αβ(D)假设//αβ，那么//l m 4()933123-++=x ax x x f 在1=x 处获得极值，那么的值()A.2B.1C.-2D.-15.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔〕A ．24B ．20+4C ．28D ．24+46.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的间隔为4，那么点P 的横坐标为〔〕 A ．2B.3 C.4D.57.执行右面的程序框图，假设输入的t =0.01，那么输出的n =() A.5B.6 C.8.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝4，那么C 的实轴长为()A. B ．2 C ．4D ．89.R 上可导函数f (x )的图象如下列图，那么不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为()A.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10将一枚骰子先后抛掷两次，所得向上点数依次记为m 和n ，那么函数1323+-=nx mx y 在[)+∞,1上为增函数的概率是〔〕A.21B.32C.43D.65 11．设,M N 是抛物线x y 42=上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON =，过点()4,0A 作MN 的垂线与抛物线交于点P Q 、两点，那么四边形MPNQ 面积的最小值为()A.80B.100C.120D.16012．函数()||x e f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，那么a 的取值范围是A.21(1,)21e e ---B.(1,)+∞C.21(,2)21e e --D.21(,)21e e -+∞- 二．填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．以坐标原点为顶点，圆x y x 422=+的圆心为焦点的抛物线方程是________．14．曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为______．15．f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在[－2,2]上有最大值3，那么f (x )在[－2,2]上的最小值为________．16．函数||,0()||,0a x a x f x x a a x --≥⎧=⎨+-<⎩，其中常数0a >，给出以下结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，2()()f x a f x -≥对任意的x R ∈恒成立； ③()f x 的图像关于x a =和x a =-对称；④假设对1(,2)x ∀∈-∞-，()2,1x ∃∈-∞-，使得12()()1f x f x =，那么1(,1)2a ∈. 其中正确的结论有_________.〔写出所有正确结论的序号〕三、解答题：本大题一一共6个小题，一共70分 17．〔本小题总分值是10分〕 函数f (x )＝x 3－a x －1，(1)假设f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围 (2)当a 为3时，求f (x )的单调区间；18．〔本小题总分值是10分〕 正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DCB --．〔Ⅰ〕试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；〔Ⅱ〕求二面角E DF C --的余弦值；19.〔本小题总分值是12分〕如以下列图所示，圆心C 的坐标为〔2，2〕，圆C 与x 轴和y 轴都相切．〔I 〕求圆C 的一般方程； 〔II 〕求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．20.〔本小题总分值是12分〕 假设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且方程20n n x a x a --=有一个根为n s －1，n=1,2,3...〔1〕求12,a a ； 〔2〕猜想数列{}n s 的通项公式，并用数学归纳法证明21．〔本小题总分值是12分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2.〔I 〕求椭圆E 的方程；〔II 〕直线1y kx =+与椭圆交于A B 、两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ，是否存在实数k ，使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？假设存在，求出k 的取值范围；假设不存在，请说明理由. 22．〔本小题总分值是14分〕设函数()ln g x x =，()[(1)]()f x g x a g x λλλ=+--，其中,a λ是正常数，且01λ<<.〔I 〕求函数()f x 的最值；〔II 〕对于任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式00(1)|1|g x m x +-<成立？并说明理由；〔III 〕设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对于任意正数12,a a 都有12121122a a a a λλλλ≤+.。
人教A版选修2-2第二学期期中考试高二理科数学试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二学期期中考试高二理科数学试题说明:本卷满分150分,考试时间120分钟一、选择题（每小题正确答案均唯一，每小题5分，共40分）1、设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2、下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．1()2x y =D ．1y x x=+3、下列推理正确的是（ ）A ．y x y x y x c b a a a a a log log )(log )(log )(+=+++类比，则有：与把 B. y x y x y x b a a sin sin )sin()sin()(+=+++类比，则有：与把 C. n n n nn y x y x b a ab +=++)()()(类比，则有：与把 D. )()()()(yz x z xy z xy c b a =++类比，则有：与把 4、因为指数函数x a y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）A ．推理形式错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．大前提错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 5、用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ） A ．1 B ．12+ C ．123++ D ．1234+++6、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数7、已知数列 ， ， ， ， 112252则52是这个数列的（ ）A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项 8、已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 已（如图所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在对应题号后的横线上）9、曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 10、函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在x= _________ 处取得极小值． 11、若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=12、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块.13、由曲线y=x 2与y=x 3在第一象限所围成的封闭图形面积为14、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。
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一中四校联考2005～2006学年华安、连城永安、漳平第二学期半期考试高二数学试卷（理科）(考试时间：120分钟 总分：150分)命题人：漳平一中 蔡仁平 审题人：漳平一中 陈炳泉第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题。
（每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意）1．下列命题正确的是（ ）A ．直线a ，b 与直线l 所成角相等，则a//bB ．直线a ，b 与平面α成相等角，则a//bC ．平面α，β与平面γ所成角均为直二面角，则α//βD ．直线a ，b 在平面α外，且a ⊥α，a ⊥b ，则b//α2．空间四边形ABCD ，M ，N 分别是AB 、CD 的中点，且AC=4，BD=6，则（ ） A ．1<MN<5 B ．2<MN<10 C ．1≤MN ≤5 D ．2<MN<53．已知AO 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在α内的射影，直线OC 在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC 等于 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．不确定 4．若3=e ，5-=e ，且||||BC AD =，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．非等腰梯形 5．一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ）A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱6．二面角M —l —N 的平面角是60，直线a ⊂平面M ，a 与棱l 所成的角是30，则a 与平面N 所成的角的余弦值是 （ ）A ．43B ．22C ．413D ．217．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为AB ，1CC 的中点， 则异面直线C A 1与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．33 B ．32 C ．31 D ．618．对于任一个长方体，都一定存在一点：①这点到长方体的各顶点距离相等；②这点到长方体的各条棱距离相等；③这点到长方体的各面距离相等，以上三个结论中正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．②D ．①③9．将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°],则折后两条对角线之间的距离的最值为（ ）A ．最小值为3, 最大值为23B ．最小值为3, 最大值为43C ．最小值为41, 最大值为3D ．最小值为43, 最大值为310．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为52，则它的侧面积为（ ）A ．24B ．12C D ．21211．将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC 折起，使则三棱锥D-ABC 的体积为（ ） BA C 1D 1 A 1DFEB 1A ．12 B C D ．2412．从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度与注水时间t 之间的关系用图象表示应为（ ）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．正四棱锥S-ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 为SC 中点，BE 与SA 所成角的余弦值为 。
14．有下列四个命题：①若平面α的两条斜线段P A 、QB 在平面α内的射影相等，则P A 、QB 的长度相等 ②已知PO 是平面α的斜线，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则必有α∥β其中不正确．．．命题的序号为___________. 15．已知A ，B ，C ，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD 的距离等于_____________。
16．斜三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11的面积为S ，1AA 到面11B BCC 的距离是a ，则该三棱柱的体积是_____________。
一中四校联考2005～2006学年华安、连城永安、漳平第二学期半期考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题。
（每小题4分，共16分）13、___________ 14、__________ 15、___________ 16、___________三、解答题。
(17题10分，18～20每题12分，21、22题每题14分，共74分)17．（本小题满分10分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．18．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 中点。
在直线CC 1上求一点N ，使MN ⊥AB 1．19（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是以∠ADC 为锐角的菱形。
（1）试问：当∠ADC 为多大时，有PA ⊥CD ；（2）当PA ⊥CD 时，求面PAB 与面PCD 所成角的大小。
20（本题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF ⊥平面FD 1B 1； （Ⅱ）求异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值；21．（本小题满分14分）已知：如图，四边形ABCD ，EADM 和MDCF 是个三边长为a 的全等的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点。
求：（1）PQ 与AD 所成的角的大小；（2）平面EBF 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值； （3）多面体EFM-ABCD 的体积。
P A BCD O 1A B D C C 1 EFA 1B 1D 122.(本小题满分14分)如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，P A=h，AD=y.(1)试求y关于h的函数解析式；(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.一中四校联考2005～2006学年华安、连城永安、漳平第二学期半期考试卷高二数学参考答案（理科）一、选择题1．D 2．A 3．C 4. C 5．C 6．C 7．B 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A 二、填空题 13．33 14．①②③④ 15．6616．a s 2三、解答题17．解: 如图, 四面体ABCD 中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=213（4分）, 只有棱DB 的长x 是可变的． 在三角形ACD 中, M 为AC 的中点, MD=32121322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． MB=23……（6分）．由MF-MB<BD<MD+MB （8分）……, (MF=MD) 得:.23323<<BD ……（10分） 18．解：方法1：坐标计算法,AC 所在直线的y 轴,AA 1所在直线为z 轴,A 为原点 1AB =(23,21,2) M(43,43,0)N(1,0,Z) MN =(﹣43,41,Z)，………6分由11A B MN ∙ =0 得 Z=81, ∴N点在CC 1上且CN=81处。
………10分方法2：AB 1在面BCC 1B 1的射影为B 1M ，故之需B 1M ⊥MN ，………3分 设CN=x. 则有 ︱B 1M ︱=414+ ︱MN ︱=241x +,︱B 1N ︱=2)2(1x -+… 8分，由勾股定理x=81………10分（或由△B 1BM ∽△MCN 可得）。
19（1）如图，过P 作PH ⊥CD 于H ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PH ⊥平面ABCD 。
∴AH 是PA 在平面ABCD 上的射影， 又PC=PD∴H 为CD 中点，当︒=∠60ADC 时，ACD ∆为正三角形，AH ⊥CD ， 又PH ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ………6分 （2）过P 作直线CD l //l AP CD ⊥⇒⊥AP 。
PH ⊥l 。
∴APH ∠为所求二面角的平面角，又PHA ∆为等腰直角三角形，∴︒=∠45APH ………12分20．（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。
则D 1（0，0，0）、O 1（2，2，0）B 1（4，4，0）、E （2，0，8）、A （4，0，8）、B （4，4，8）、 F （0，4，4）。
2分AF=（-4，4，-4），1D F =（0，4，4）， 1B F=（-4，0，4） .4分1AF D F =0+16-16=0，1AF B F=16+0-16=0∴AF ⊥平面FD 1B 1. ………6分证法二：连结BF 、DF ，则BF 是AF 在面BC 1上的射影，易证得BF ⊥B 1F ， DF 是AF 在面DC 1上的射影，也易证得DF ⊥D 1F ，所以AF ⊥平面FD 1B 1.（Ⅱ）解法一：EB=（2，4，0），1O F =（-2，2，4） ………………….9分 设EB 与1O F的夹角为θ，则11cos ||||EB O F EB O F θ==2分 解法二：在B 1C 1上取点H ，使B 1H=1，连O 1H 和FH 。
易证明O 1H ∥EB ，则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O F 所成角。
………………………...9分又O 1H=21BE=5，HF=2243+=5， O 1F=222422++=26， ∴在△O 1HF 中，由余弦定理，得 cos ∠FO 1H=625225524⋅⋅-+=3030…………………………..12分 21．（1）过P 作PH ⊥AE 于H ，过Q 作QN ⊥AB 于N ，连结HN 。
则QN//AD 21//PH。
∴四边形PHNQ 是平行四边形。
∴PQ//HN 。
又∵AB AD AE AD ⊥⊥,，且A AB AE =⋂。
则AD ⊥平面EAB 。
而HN ⊥平面EAB 。
而HN ⊂平面EAB ， ∴AD ⊥HN ，即AD ⊥PQ 。
∴PQ 与AD 所成的角为90°。
………5分（2）过B 作RS//AC 交DA 的延长线于点R ，交DC 的延长线于点S 。
取EF 的中点O ，连结OB 、OQ 、QB 。
∵正方形ABCD ，∴QB ⊥AC 。
又∵RS//AC ，∴QB ⊥RS 。
∵OQ ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可得OB ⊥RS 。
∴OBQ ∠为平面EBF 与平面ABCD 所成二面角的平面角在OQB Rt ∆中，A 111a OQ =，a BQ 22=， ∴2tan ==∠BQOQOBQ 。