23-4.5阻尼振动

x A0e
其解：
t
cos(t ' ) A cos( pt )
H m ( p ) 4 p
2 0 2 2 2
A
x
t
结论：1）强迫振动是由阻尼振动及由强迫力产 生的振动的合成。
2）振动开始较复杂，尔后呈现稳定状态， 其稳定解为：
x A cos( pt )
3）
0
t
x
A
0
t
（临界阻尼及其实际应用）
xe(CBiblioteka C2t ) 0C1、C2为由初始条件决定的常数。
三、何谓受迫振动？ 系统在周期性外力（外源）作用下产生的振动。
o fmFX ˆ F强 F kxi
dx ˆ f i dt F强 H cos pt
解得：
p p 2
r 2 0
2
时振幅最大。
1、位移共振：共振时振幅最大。
A
p p 2
r 2 0
2
带入上式
2 1
3

A
H
2 0 2 0 2 2 2
1 2 3
2 0 2
m [ ( 2 )] 4 ( 2 ) H 2m
中，用无线电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起 氢原子核共振，并吸收能量。 1973年开始将它用于 医学临床检测.
无线电中利用谐振电路选择信号 M
uC
C
0

次声武器 3~17HZ
呀！受不 了啦！
2 0 2
x A cos( pt )
2、速度共振：共振时速度最大
Ap
dx v Ap sin( pt ) dt Hp
m ( p ) 4 p
2 0 2 2 2
速度最大时
解之有：
d ( Ap) 0 dp p pv 0 时速度最大
3、能量共振：共振时能量最大
依牛顿第二律：
d x dx m 2 kx H cos pt dt dt k 2 令： 0 m 2m 2 d x dx H 2 2 0 x cos pt 2 dt dt m
其解：
2
x A0e
t
cos(t ' ) A cos( pt )
T
0
m( p )k E (t )dt 2 2 2 2 4[(0 p ) 4 p ]
2 0 2 2
令： d E (t ) 0 时, 能量最大
dp
p pE 20
2 0 2
2 0
pr pE pv
产生共振的原因：
A
vE

当阻尼系数很小时：
2 0 2 2 arctg 2
1 1 2 2 E Ek E p mv kx 2 2
3、能量共振：共振时能量最大
1 1 2 2 E Ek E p mv kx 2 2 1 1 2 2 2 2 2 mA p sin ( pt ) kA cos ( pt ) 2 2
1 E T

2
fmF
X
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
(阻尼振动的线性 微分方程)
2
……(1)
称为阻尼系数
方程的解有三种情况
1)当
0
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
时 :(欠阻尼振动及其特点)
t
2
2
x A0 e
2 0
2）引起邻近质点振动， 以波的形式向周围传播能量。 二、阻尼振动的定量分析 以机械振动为例： 设一质点m，受力： E
ˆ F kxi
- -
C
dx ˆ 阻力： f v i dt 依牛顿第二律：
ˆ 设一质点m，受力：F kxi

o
称为阻力系数
d x dx m 2 kx dt dt 2 d x dx k x0 2 dt m dt m 令：2 k 0 m 2m
0
pr p E 0
x A cos( pt ) A cos( pt ) 2 Asin pt dx v A cos pt F强 H cos pt dt

振动速度与强迫力同相。驱动力总是作正功
4、共振现象的应用 核磁共振 其基本原理是将人体置于特殊的磁场
cos(t )
A0 ,
由初始条件决定
x
t
当阻力不大时,质点在平衡位置振动.但振 t 随时间变化。 幅 A A0 e
2）
0 （过阻尼） 1t 1t t (C1e C2e ) 其解： x e 2 2 2 1 0
C1、C2为由初始条件决定的常数。
驱动力总是作正功pt4共振现象的应用核磁共振其基本原理是将人体置于特殊的磁场中用无线电射频脉冲激发人体内氢原子核引起氢原子核共振并吸收能量
§4-5阻尼振动（Damped Oscillation）
一、 何谓阻尼振动？ 振幅（或能量）随时间逐渐减小的振动。 能量减小的原因： 1）摩擦阻力的存在
x
t L ++ R
强迫力提供的能量与克服阻力消耗的能量相等
四、共振 浪 桥
v人
v人 F强 v F强 v
共振：最强烈的强迫振动现象 1、位移共振：共振时振幅最大。
A
H m ( p ) 4 p
2 0 2 2 2
d 2 2 2 2 2 A要最大： [(0 p ) 4 p ] 0 dp