2020年安徽省六安市舒城县汤池中学高二数学文下学期期末试题含解析

2020年安徽省六安市舒城县汤池中学高二数学文下学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若一个椭圆的长轴长度、短轴长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A． B. C.
D.
参考答案：
A
略
2. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是
A．或 B．或
C．或 D．或
参考答案：
A
3. 已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于( )
A．B．2﹣C．﹣1 D．+1
参考答案：
C
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【分析】由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：x﹣y+3=0 的距离等于1，再根据点到直线的距离公式得圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离也是1，解出待定系数a．
【解答】解：圆心为（a，2），半径等于2，
由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：x﹣y+3=0 的距离为==1，
再由点到直线的距离公式得圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离 1=，∴a=﹣1．
故选C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用．
4. 已知如右程序框图,则输出的值是
A． B． C．
D．
参考答案：
C
5. 若直线到直线的
角为，则实数的值等于（）
A．0 B． C．0或 D．
参考答案：
D
6. 已知a＞0且a≠1，若当x≥1时，不等式恒成立，则a的最小值是( )
A.e
B.
C.2
D.ln2
参考答案：
A
7. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）
A．B．C．10 D．20
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【分析】﹣=﹣=1000d，即可得出．
【解答】解：∵100=﹣=﹣=1000d，
解得d=．
故选：B．
8. 设复数Z满足｜Z-3-4i｜=1，则｜Z｜的最大值是
（）
A. 3
B. 4
C.
5 D. 6
B
略
9. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
D
10. 已知菱形ABCD的两个顶点坐标：，则对角线BD所在直线方程为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列{a n}的前n项和S n=a n﹣，则数列{a n}的通项公式a n = ．
（﹣2）n
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系可得：a n=﹣2a n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵S n=a n﹣，
∴当n=1时，﹣，解得a1=﹣2．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，化为：a n=﹣2a n﹣1．
∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为﹣2．
∴a n=（﹣2）n．
故答案为：（﹣2）n．
【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；
当时，。

则函数的最大值等
于
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
参考答案：
6
略
13. 比较大小：403（6） 217（8）
参考答案：
>
14. 若曲线在点处的切线平行于轴,则_________.
参考答案：
15. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是海里.
参考答案：
16. 直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是．参考答案：
（﹣3，4）或（﹣1，2）
【考点】QJ：直线的参数方程；IS：两点间距离公式的应用．
【分析】根据点在直线上，设直线上的点的坐标为（﹣2﹣t，3+），然后代利用两点间距离公式列出等式，求出参数t的值，最后回代入点的坐标即得．
【解答】解：设直线上的点的坐标为（﹣2﹣t，3+），则
由两点间的距离公式得：
得：t=，
∴距离等于的点的坐标是：
（﹣3，4）或（﹣1，2），
故答案为；（﹣3，4）或（﹣1，2）．
【点评】本小题主要考查直线的参数方程、两点间距离公式的应用、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，方程思想、化归与转化思想．属于基础题．
17. 若函数，则使成立的实数的集合
为.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.
（1）求C；（2）若,的面积为，求的周长．
参考答案：
由已知及正弦定理得，，
即．故．
可得，所以．
（II）由已知，．又，所以．
由已知及余弦定理得，．故，从而．
所以的周长为．
19. 已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．
（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，
（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2
时，（x）的单调减区间为，单调增区间为
【解答】解：（Ⅰ），
∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0
即 a+a﹣2=0，解得 a=1
（Ⅱ），
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得
由
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为
（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1
当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）
20. 已知f(x)＝x2－aln x(a∈R)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时，x2＋ln x<x3.
参考答案：
略
21. （本题满分12分）已知圆C：，P点坐标为(2，－1)，过点P 作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA、PB的方程； (2)求直线AB的方程．
参考答案：
(1)设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)．即kx－y－2k－1＝0.
∴|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，以P为圆心，|AP|为半径的圆P的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，AB为圆C与圆P的公共弦由x2＋y2－2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y－3＝0相减得2x －6y＋6＝0，x－3y＋3＝0.∴直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
22. 已知函数f(x)=
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）设函数g(x)=（x+1）ln x－x+1，证明：当x>0且x≠1时，x－1与g(x)同号。

参考答案：
（I）f(x)的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）（II）见证明
【分析】
（I）先求得函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求得函数的单调区间.（II）先求得函数的定义域，对函数求导，根据（I）的结论判断出函数的单调区间，根据，由此证得和时，与同号.
【详解】解：（I）函数的定义域是（0，+），
又=，令=0，得x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以，的增区间是（1，+），减区间是（0，1）
（II）函数的定义域是（0，+），又=lnx+=lnx+=，
由（I）可知，==1，所以，当x>0时，>0，
所以，在区间（0，+∞）上单调递增。

因为，
所以当x>1时，>且x－1>0；
当0<x<1时，<且x－1<0，
所以，当x>0且x≠1时，x－1与同号。

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数值的取值范围，属于中档题.。