高中物理竞赛辅导讲义2

高中物理竞赛辅导讲义
第[2]讲几 何 光 学
基本知识
一、光在球面上的反射——球面镜
反射面是球面一部分的镜叫做球面镜．用球面的内表面作反射面的叫做凹镜，用球面的外表面作反射面的叫做凸镜．
1．成像公式
如图所示，凹面镜中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中
心，球面的半径R 称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO 称
为主轴．发光点P 在主轴上，光线PA 反射后与PO 的交点P’为像点，
AC 是∠PAP’的角平分线．由图中可知：β=α+θ，γ=β+θ．两式相减得：
α+γ=2β．
若考虑P 发出的光线靠近主轴(近轴光线)。

即α、γ都很小，
PO=u 为物距，P’O=v 为像距．当u→∞时，2
R v =，即沿主轴方向的平行光束入射经球面反射后，成为会聚的光束，其交点在主轴上，称为反射球面的焦点，焦点到顶点间的距离，称为焦距，以f 来表示，则2R f =，凹面镜成像公式为f
v u 111=+ 用同样的方法可以证明：在近轴的条件下，对于凸面镜只要取2R f -=，上面的公式同样适用．
2．符号规则
成像公式中各量的符号规定如下：
物距u ：实物为正，虚物为负；像距v ：实像为正，虚像为负；焦距f ：凹面镜为正，凸面镜为负．
3．作图法
球面镜成像，还可以用作图法来确定．作图时有三条特殊光线可以利用：(1)平行主轴的入射光线反射后过焦点F ，(2)过焦点的入射光线反射后平行主轴，(3)过曲率中心C 的入射光线沿原路反射．作图时只要取两条光线就可以确定一个像点．
4．横向放大率
如图所示，PQ 是垂直主轴的线状物，它的像也应是垂直主
轴的，用作图法确定物的顶点Q 所对应的像点Q’，再过Q 作
主轴的垂线P’Q’就行了．设物PQ 高度为y ，像P’Q’高度为y’，
则横向放大率Ⅲ=卫．入射光线OO ，则反射光线为OQ’(图中
未画出)，△POQ ∽△ POQ’，因此有：OP
OP PQ Q P '''=，横向放大率u
v y y m -=='
物距、像距按符号规则代入计算，若m为正表示像正立，m为负表示像倒立．
二、光在球面上的折射
1．成像公式
如图所示，设球形折射面两侧的折射率分别为n、
n’)，O为球面顶点，球面曲率中心为C，半径为R．连
线OC为主轴．主轴上的物点P发出的任意光线PA
折射后和沿主轴的光线PO的交点P’为像点，PA与主
轴的夹角为a，AP’与主轴的夹角为β，AC与主轴的
夹角为θ，入射角为i，折射角为γ，则根据折射定律，得nsini=n’sinγ
考虑到近轴光线，i、y都很小，有ni≈n’γ
这就是球面折射的成像公式．如果R→∞就是平面折射的公式．
平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F’，从球面顶点O到像方焦点的距离称为像方焦距f’．由球面折射的成像公式可见，当u→∞时，即
得
如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后将成为平行于主轴的平行光束,那么,这
例题分析
1．与光轴平行的两条光线射到半径R=5cm的球面镜上．求从球面镜反射后的光线与光轴两个交点之间的距离△x．两条光线到光轴的距离分别为h1=0.5cm，h2=3crn．
2．薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm的凸面镜M2相距b=16cm，物点P放在玻璃平板前a
远处(如图所示)，要使P在M1中的像与在M2中的像重合，a应取多大?
0.1cm的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8cm处．求像的位置及大小，并作光路图．
4．一半径为R ，折射率为”的透明球，其球心为C ．在一径向方向上取P 、Q 两点，使CP=n R ， CQ=nR ．试证，从P 点发出的光，经界面折射后，总是像从Q 点发出的．
5．如图所示，有一半径为R=0.128m 的玻璃半球，过球心O 并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体AB(B 离球心O 较近)，其长度为l =0．02m ．若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像(此外可能还有亮度更弱的像，不必考虑)，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动．现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端B 距球心O 的距离为S=0.020m ．
试利用以上数据求出构成此半球的玻璃的折射率”．(计算时只考虑近轴光线)
同步练习
1．两个焦距都是f的凸镜共主轴相对放置，如图所示，a为平行于主光轴的光线．问两镜之间的距离L满足什么条件时，光线a可形成循环光路?画出光路图．
2．如图所示，凹球面反射镜中盛有一层清水，球心C到水面的垂直距离CP=40.0cm，从主
光轴上物点Q发出的傍轴光线经折射和反射后所成的像点仍位于物点Q(即像点与物点重
合)，并已知QP=30.0cm．试求水的折射率n．
3．一凹面镜所成的像，像高为物高的1/4，物与像相距l m，求凹面镜曲率半径．
4．一种人眼的简化眼模型为：人眼的成像归结为只由一个曲率半径为5.70mm、介质折射
率为1.33的单球面折射。

试求：
①这种简化眼的像方焦距；
②若已知某物在角膜后24.02mm处网膜上成像，求该物应在何处。

5．如图所示，一块凹平薄透镜，凹面曲率半径为0.5m，玻璃折射率n=1.5，且在平面上涂一反射层。

在此系统左侧的主轴上放一物P，P距系统1.5m，试问最后成像在何处?大小有何变化?
6．如图所示，一个球内壁涂铝，半径为r，球心在c点。

今在距球心为a处放一小物Q，试
问：此物在左半球面镜O1M1和右半球面镜O2M2成
的像各在何处?两像相距多远?
7．体温计截面图如图所示，已知细水银柱Q离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该柱面的半径，C为圆柱面中心轴位置，玻璃折射率n=3/2。

如果人在右方观察，试求：在图示横截面上观察者从右方所看到的水银柱像的位置及其大小。

8．如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上。

现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射。

当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b。

试近似地求出玻璃的折射率n。