高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析

【最新】《平面解析几何》专题解析
一、选择题
1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ⇒+
++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A
B
．
2
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>
，可设(1,),(2,C m B m ，
则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知椭圆C ：2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于
点B ，若3FA FB =u u u v u u u v
，则AF u u u v ＝( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v
，得043x =，013
y n =，根据点
B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】 根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v
，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =
，01
3
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2
212112AF n u u u v =-+=+=
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y
轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且
5
3
OA a =，则
||||FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据5
3
OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.
【详解】
由于双曲线渐近线为b y x a =±
，不妨设直线AB 的斜率为a
b
-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c b
b y x a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由
()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得22222
,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得2
2
222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭，化简得()()2222
440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故1
2b a =舍去，所以2b a
=，即2b a =.故
22222222||44||45
B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B 5C ．25D ．4
【答案】A 【解析】
圆2
2
:20C x y y ++=即2
2
(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

由于四边形PACB 面积等于1
22
PA AC PA ⨯
⨯⨯=，而21PA PC =-. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.
又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而()
2
2
014521d ++==+-
故四边形PACB 512-=，
故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
6．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22
525:()416
C x y +-=
'于,A B 两点，且5AB =若过抛物线C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线
2x =-的距离为（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
易得圆C '过原点，抛物线2
2y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】
圆:2
2
525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭'即为22
52x y y +=,可得圆经过原点.
抛物线2
2y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2
2
5
2
m n n +=
联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人2
2y px =，解得2p =，
故抛物线方程为2
4y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.
如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，
可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|.
设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离
11
(|)422
EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.
7．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，
E 为2O
F 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，
B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C
D
．
3
【答案】B 【解析】 【分析】
由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得21
2
d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】
由已知可设()0A a -，
，()0B a ，，AC b
k a
=， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()b
y x a a
=
+， 令0x =，可得()0C b ，
， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为
1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC
的距离为ab
d r c
=
=
=， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴
2122
ab c
OF r c ===, ∴22ab c =， ∴()2
2
244a
c
a c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，
∴()
2
22
0e -=，
∴22e =， ∴2e =或2-(舍)， ∴2e =
.
故选：B. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.
8．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若
3AF FB =uu u r uu r
，则BC =（ ）
A ．4
B ．43
C ．6
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得
BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1
sin 2
ACN ∠=
，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，
因为3AF FB =uu u r uu r
，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，
根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=，
所以1
sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠=
=，则212CF FP ==，2CB x =，
则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14
) B ．1(,1)4
-
C ．(1,2)
D ．(1,2)-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：抛物线2
4y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为
M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，
直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；
所以点P 纵坐标为1，则横坐标为
14,即(1
,14
)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.
10．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A ．22(3)4x y ++=
B ．22(23)41x y -+=
C ．22(3)1x y -+=
D ．22(23)41x y ++=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到
0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.
【详解】
设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）
则00
322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，
Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=
()()222321x y ∴-+=即()2
22341x y -+=
故选：B 【点睛】
本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
3AF FB =uu u r uu r
，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A 3
B 3
C ．
3
3
D ．23【答案】B 【解析】 【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得
30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到
1210
3x x +=
，根据焦点弦性质得到163
AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o AOF S V 即可.
【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r
，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =. 在RT ABM V 中，1
2
AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .
(1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.
2
23(1)310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12
103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=
+=，3
44
AF AB ==. 在RT AFH V 中，sin 6023AH AF ==o
所以1
12332
AOF S =⨯⨯=V 故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．已知椭圆1C ：2
2113x y +=，双曲线2C ：22
221(,0)x y a b a b
-=>，若以1C 的长轴为直
径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） A 3B ．3
C 5
D ．5
【答案】A
【解析】
由已知得13OA =，设OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴
可设()00,A x kx ，进一步可得20113k x +=，得2
213
13,
,11k A AB k
k ⎛
⎫
∴ ⎪
⎪++⎝⎭
的一个三分点坐标为221313,3131k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，该点在椭圆上，2
2
221313111k k k ⎛⎫
⎪⎛⎫
+⎝⎭∴+= ⎪ ⎪+⎝⎭
，即(
)
2
2
11391k k
+=+，解得2
2k =，从而有,2
22222b b a a
==，解得
222
3c a b e a a
+===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
13．如图，设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在
第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
13
D ．
14
【答案】C 【解析】
如图，设AC 中点为M ，连接OM ，
则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且
OF OM 1FA
AB
2
=
=
，
即
c c a -=12可得e=c a =13
． 故答案为
1
3
． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任
意一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．已知曲线()22
22:100x y C a b a b
-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P
是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v
，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若
122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
23
B ．7
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】
由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得
124,2PF a PF a == ，
由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7c
e a
=
=.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
16．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭
()115522333
⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
17．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A
B
．
4
C
．
7
D
【答案】D
【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2
212314e e ∴
+=，又22e =，2145
e ∴=，
1e ∴=
故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
18．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则
POF V 的面积为
A
B
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线的标准方程2
4y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1
||2
S y OF =可得. 【详解】
由2
4y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,
如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,
设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入2
4y x =
可得y =±,
所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅
=1
12
⨯= 故选B .
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
19．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ） A 2 B ．2
C ．4
D ．22【答案】B 【解析】 【分析】
由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】
∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ， ∴22||(cos cos )(sin sin )PQ αβαβ=-+-2222cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαβαβαβ=+-++-()()()2
222cos
sin cos sin 2cos cos sin sin ααββαβαβ=
+++-+22cos()αβ=--
∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B .
【点睛】
本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
20．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A B ，两点，OAB ∆的面积为
3
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
3 C ．
2
D ．
3
【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=±
OAB V 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=
可得c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．。