(山东专用)2021版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

考点三 三角函数的定义——多维探究 角度1 定义的直接应用
例 3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，
点 C 在 x 轴的正半轴上．在△AOC 中，若 cos∠AOC＝－ 35，则点 A 的横坐标为( A )
A．－ 5
B． 5
C．－3
D．3
(2)若角 －__4_6______.
第三章 三角函数、解三角形
第一讲 任意角和弧度制及 任意角的三角函数
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、__负__角____和__零__角____. (2)从终边位置来看，角可分为__象__限__角____与__轴__线__角____. (3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为_______β_＝__2_k_π_＋__α_，__k_∈__Z. 知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式 (1)1弧度的角 长度等于__半__径__长____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识 必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋ α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的 偶数倍，而不是π的整数倍．
2．终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角．
题组二 走进教材
2．(必修 4P10AT8 改编)下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋94π(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
[解析] 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋
(2)角 α 的弧度数
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值是|α| l ＝___r___.
(3)角度与弧度的换算 ①1°＝___1_π8_0_r_a_d____；②1rad＝____(1_π8_0_)_°____.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则 l＝____|_α_|r______，扇形 的面积为 S＝12lr＝____12_|α_|·_r_2__.
弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为 6 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧
田面积约是( 3≈1.73)( C )
A．16 m2
B．18 m2
C．20 m2
D．25 m2
[解析] (1)设扇形的半径为 R，则弧长 l＝4－2R，∴扇形面积 S＝12lR＝R(2－R) ＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当 R＝1 时，S 最大，此时 l＝2，扇形圆心角为 2 弧度．
合，它的终边过点
P(－35，－45)．则
4 sin(α＋π)的值为___5___.
[解析] 由角 α 的终边过点 P(－35，－45)得 sin α＝－45，所以 sin(α＋π)＝－sin α
＝45.
︵︵︵︵ 6.(2018·北京，5 分)在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆 x2＋y2＝1
当 k＝2m＋1，m∈Z 时，54π＋m·2π<α2<32π＋m·2π，m∈Z， 所以α2终边在第三象限，综上，α2的终边在第一或三象限．故选 A、C．
[引申](1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？
[答案] α2的终边在第二或第四象限． (2)在本例题(3)中，条件不变，α3的终边所在的位置是___在__第__一__、__二__或__四__象__限___. (3)在本例(3)中，条件不变，则 π－α 是第___一___象限角，2α 终边的位置是 ___第__三__或__第__四__象__限__或__y_轴__负__半__轴__上____.
1．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α 终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α 终边关于 x 轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α 终边关于 y 轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α 终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 2．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 α 终边相同 的角时，单位必须一致．
A．一
B．二
C．三
D．四
[分析] (1)关于角度制与弧度制的互化主要是利用公式 1°＝1π80rad,1rad＝(1π80)° 求解．
(2)注意角的旋转方向和实虚线． (3)根据象限角及不等式的性质求解.
[解析] (1)α1＝－350°＝－315800π＝－3158π＝－2π＋1π8， α2＝860°＝816800π＝493π＝4π＋79π. ∴α1 在第一象限，α2 在第二象限． 又 β＝265π＝(265π×1π80)°＝750°， ∵750°＝720°＋30°，∴与 750°终边相同的角为 k·360°＋30°(k∈Z)． 当 k＝－1 时，β1＝－330°， 当 k＝－2 时，β2＝－690°， ∴在[－720°，0°]内与 750°终边相同的角为－330°，－690°.与 β 终边相同的最小 正角为 30°.
4．(必修4P10BT1改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面 积为____6_π___.
[解析] 设此扇形的半径为 r，由题意得π3r＝2π，所以 r＝6，所以此扇形的面积
为12×2π×6＝6π.
题组三 考题再现
5．(2019·浙江，14 分)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°， k∈Z}，故选 C．
(3)由角 α 的终边在第二象限， 所以π2＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z， 所以π4＋2k·2π<α2<π2＋2k·2π，k∈Z， 当 k＝2m，m∈Z 时，π4＋m·2π<α2<π2＋m·2π，m∈Z， 所以α2终边在第一象限；
考点二 扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
例 2 (1)(2020·广东珠海模拟)已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，
扇形的圆心角的弧度数是( A )
A．2
B．1
C．12
D．3
(2)(2020·山东潍坊期中《) 九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方
田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)，弧田(如图) 由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到
知识点三 任意角的三角函数
(1) 定 义 ： 设 α 是 一 个 任 意 角 ， 它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P(x ， y) ， 那 么 sinα ＝ ___y___，cosα＝____x__，tanα＝_______yx_(x_≠__0_)____.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP， OM，AT分别叫做角α的___正__弦__线___，____余__弦__线__和____正__切__线__.
上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始边，OP 为终边．若 tan α<cos
α<sin α，则 P 所在的圆弧是( C )
︵ A．AB
︵ B．CD
︵ C．EF
︵ D．GH
[解析] 设点 P 的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得yx<x<y，所以 x<0，y>0， ︵
(2)如图，由题意，得∠AOB＝23π，OA＝6.在 Rt△AOD 中，可得∠AOD＝3π，∠ DAO＝π6，OD＝12AO＝12×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由 AD＝AO·sin 3π＝6× 23＝3 3， 可得弦 AB＝2AD＝2×3 3＝6 3，所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)＝12(6 3×3＋32) ＝9 3＋4.5≈20(m2)，故选 C．
θ
的终边经过点
P(－
3，m)(m≠0)且
sinθ＝
2 4m
，则
cosθ
的值为
[分析] 利用三角函数的定义求解．
[解析] (1)设点 A 的横坐标为 x，则由题意知 x2x＋4＝－ 35，解得 x＝ 5或－ 5，
3．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法 (1)讨论法： ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围． ②写出αk的范围． ③根据 k 的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角 α 是第 m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角． ①等分：将每个象限分成 k 等份． ②标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴． ③选答：出现数字 m 的区域，即为αk所在的象限． 如α2判断象限问题可采用等分象限法．
所以 P 所在的圆弧是EF ，故选 C．
考点突破 • 互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
将 α例1 用1弧(度1)已制知表示α1为＝－_－_3_35_150_8°_π，__α，2＝它8是60第°，__β_一＝__2_56象π. 限角； 43π
将 α2 用弧度制表示为___9___，它是第__二____象限角． 将 β 用角度制表示为____7_5_0_°_____，在－720°～0°之间与它终边相同的角为 ____－__3_3_0_°__，__－__6_9_0_°________.与 β 终边相同的最小正角是____3_0_°____.
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意 圆心角的单位是弧度． (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数 求最值的方法确定相应最值． (3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中 R 是扇形的半径，l 是弧 长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．
2kπ 或 k·360°＋45°(k∈Z)．
3．(必修4P15T6改编)若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或终边
在y轴负半轴上，故θ是第三象限角．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD ) A．小于 90°的角是锐角 B．将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30° C．角 a＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角 D．若 sin α＝sin π7，则 α＝π7 [解析] 根据任意角的概念知 ABCD 均是错误的．
(2)如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( C ) A．{α|－45°≤α<120°} B．{α|120°<α≤315°} C．{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°<α≤315°＋k·360°，k∈Z}
(3)(多选题)已知角 α 的终边在第二象限，则α2的终边在第几象限( AC )
〔变式训练 1〕
(1)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2
B．sin 2
C．sin2 1
D．2sin 1
(2)(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)若一个扇形的周长与面积的数值相等，
则该扇形所在圆的半径不可能等于( B )
A．5
B．2
C．3
D．4
[解析] (1)∵2Rsin 1＝2，∴R＝sin1 1，∴l＝|α|R＝sin2 1.故选 C． (2)设扇形所在圆的半径为 R.扇形弧长为 l，因为扇形的周长与面积的数值相等， 所以12lR＝2R＋l，所以 lR＝4R＋2l，所以 l＝R4－R2，因为 l>0，所以 R>2.故选 B．