2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期10月月考数学(文)试卷

2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期月考
数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 已知复数z 满足
，则z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知
，则
A. B.
C.
D.
4. 如图所示，向量
在一条直线上，且
,
则 A. B. C. D.
5. 已知函数
，以下命题中假命题是
A. 函数的图象关于直线对称
B. 是函数
的一个零点
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
D. 函数
在
上是增函数
6. 已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，则
的值为
A.
B.
C. 1
D. 2
7. 若实数,a b 满足23,32a
b
==,则函数()x
f x a x b =+-的零点所在的区间是( )
A.(2,1)--
B. (1,0)-
C. (0,1)
D. (1,2)
8. 已知椭圆C ：22
221
x y a b
+=0)a b >>（的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A ．
63
B ．
33 C ．23
D ．
1
3
9. 设()(),01
21,1
x x f x x x ⎧<<⎪=⎨
-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 在
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
，且
则
的面
积的最大值为
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数
,在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 A.
B.
C.
D.
12. 丹麦数学家约翰·延森(Jihan Jensen)对数学分析作出了卓越的贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为'(),'()f x f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ,
若在(,)a b 上''()0f x <恒成立,则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知4323()332
x t f x x x =-+在
(1,4)上为“凸函数”则实数t 的取值范围是( )
A. [3,)+∞
B. (3,)+∞
C. 51[,)8+∞
D. 51
(,)8
+∞ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 14. 设函数
若
为奇函数，则曲线
在点 (0,0)
处的切线方程为__________. 15. 直线
与圆
相交于A ，B 两点，若
，则
________．
16. 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取
值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）已知函数2
()sin 3sin cos f x x x x =+．
(1)求()f x 的最小正周期； (2)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为3
2
，求
m 的最小值．
18.（本小题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单
位：元/千克)满足关系式y ＝a
x －3
＋10(x －6)2
，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，
每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19.（本小题12分）已知
的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足，
，又点D 满足
．
求a 及角A 的大小； 求
的值．
20.（本小题12分）设函数ax x x a x f +-=2
2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2
)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．
21. 已知椭圆C: 122
22=+b y a x
0)a b >>（的长轴长是短轴长的2倍,A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，
且OAB ∆的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线AM 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.
22.（本小题12分）已知函数2
()12
x a f x x e x =-++，1a ≤， 2.718...e =为自然对数的底数. （1）当0a ≤时，判断
()f x 零点个数并求出零点；
（2）若函数()f x 存在两个不同的极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围.
高三数学（文）试题答案
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】B 2.已知复数z 满足
，则z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 3.已知
，则
A. B.
C.
D.
【答案】B
，可得
，
．故选：B ．
4. 如图所示，向量
在一条直线上，且
,
则 A. B. C. D.
【解析】解：由
得
．
，
，故选：D ．
5. 已知函数
，以下命题中假命题是
A. 函数的图象关于直线对称
B.
是函数
的一个零点
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
D. 函数
在
上是增函数
【解析】解：对于A ，当
时，函数为最大值，
的图象关于直线对称，A 正确；
对于B ，当
时，函数
，
是函数的一个零点，B 正确；
对于C ，函数，
其图象可由的图象向左平移个单位得到，C 错误； 对于D ，时，
，
函数
在
上是增函数，D 正确．故选：C ．
6.已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 与P 、Q 两点，则
的
值为
A.
B.
C. 1
D. 2
【解析】解：抛物线C ：的焦点为
，过点F 作斜率为1的直线l ：
，
可得
，消去y 可得：，可得
，
， ，
，
，
则
．故选：C ．
7. 若实数,a b 满足23,32a
b
==,则函数()x
f x a x b =+-的零点所在的区间是( )
A.(2,1)--
B. (1,0)-
C. (0,1)
D. (1,2)
【答案】解析：因为23,32a
b
==,所以12,01a b <<<<,所以()x
f x a x b =+-是增函数.又
2(2)20f a b --=--<,1(1)10f a b --=--<,0(0)00f a b =+->,1(1)10f a b =+->，所以零点
所在的区间为(1,0)-,故选B.
8. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线
20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A ．
63
B ．
33 C ．23
D ．
1
3
【答案】A
9. 设()(),01
21,1
x x f x x x ⎧<<⎪=⎨
-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 【答案】C
10. 在
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
，且
则
的面
积的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：根据正弦定理可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，可得：
，
当且仅当时，等号成立，
，解得
，
,故选：C ．
11.已知函数
,在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解： 因为在单调递增，
所以若单调递增，所以，解得．故选D ．
12. 丹麦数学家约翰·延森(Jihan Jensen)对数学分析作出了卓越的贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为'(),'()f x f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ,
若在(,)a b 上''()0f x <恒成立,则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知432
3()332
x t f x x x =
-+在(1,4)上为“凸函数”则实数t 的取值范围是( )
A. [3,)+∞
B. (3,)+∞
C. 51[
,)8+∞
D. 51
(,)8
+∞ 解析：由函数4323()432
x t f x x x =-+,可得322
'()3,''()323f x x tx x f x x tx =-+=-+.因为
4323()432
x t f x x x
=-+在(1,4)上为“凸函数”,所以2
3230x tx -+<在(1,4)上恒成立,即31
()2t x x
>+在
(1,4)上恒成立.令31()()2g x x x =+,因为()g x 在(1,4)上单调递增,所以51()(4)8g x g <=.所以51
8t ≥
,即实数t 的取值范围是51
[,)8
+∞,故选C.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 【答案】λ＝1
2.
14. 设函数 若
为奇函数，则曲线
在点 (0,0)处的切线方程为__________.
【答案】．
15.直线与圆
相交于A ，B 两点，若
，则
________．
【答案】
【解析】解 由题意
．由
得
．
即．所以圆心到直线的距离为1，
因此，解得．故答案为．
16. 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】⎝ ⎛
⎦⎥⎤1，1＋1e
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）已知函数2
()sin 3cos f x x x x =．
(1)求()f x 的最小正周期； (2)若()f x 在区间[,]3m π-
上的最大值为3
2
，求m 的最小值． 【解析】(1)1cos 23311
()22cos 2222
x f x x x x -=
=-+ π1sin(2)62x =-+，所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T ==．
(2)由(1)知π1()sin(2)62f x x =-+．因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ
2[,2]666
x m -∈--．
要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π
[,]3m -上的最大值为1．
所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π
3
．
18. （本小题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a
x －3
＋10(x －6)2
，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每
日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a
2＋10＝11，a ＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3
＋10(x －6)2
， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f (x )＝(x －3)⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2x －3＋10（x －6）2
＝2＋10(x －3)(x －6)2
，3<x <6.
从而，f ′(x )＝10[(x －6)2
＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，
于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋
0 － f (x )
极大值42
由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19. （本小题12分）已知
的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足，
，又点D 满足
．
求a 及角A 的大小； 求
的值．
【答案】解：
由
及正弦定理得
，即
，
在中，，所以
．又
，所以
．
在中，，由余弦定理得
，
所以
．
由
， 得，所以．
20. （本小题12分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2
)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．
【解析】（Ⅰ）因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中 所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=- 由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞
（Ⅱ）【证明】：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即
由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，
要使2
1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立， 只要222(1)11,()f a e f e a e ae e
=-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得.a e =
21. 已知椭圆C: 122
22=+b y a
x (a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，且△OAB 的面积为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线AM 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.
22.（本小题12分）已知函数2()12x a f x x e x =-+
+，1a ≤， 2.718e =为自然对数的底数. （1）当0a ≤时，判断()f x 零点个数并求出零点；
（2）若函数()f x 存在两个不同的极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 只有一个零点，零点为0；（2）01a <<.
【解析】（1）由题知：()1x f x e ax '=-+，令()1x g x e ax =-+，()x g x a e '=-，
当0a ≤，()0g x '<，所以
()f x '在(,)-∞+∞上单调递减， 因为
(0)0f '=，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞单调递减， 所以()(0)0f x f ≤=，故()f x 只有一个零点，零点为0.
（2）由（1）知：0a ≤不合题意，
当01a <<时，因为(,ln )x a ∈-∞，()0g x '>；(ln ,)a +∞，()0g x '<； 又因为(0)0f '=，所以(ln )0f a '>； 又因为11()0a f e a -'-=-<，因为函数1()ln a a a ϕ=+，22111()0a a a a a
ϕ-'=-=<，(0,1)a ∈， 所以()(1)10a ϕϕ>=>，及1ln a a -
<，所以存在11(,ln )x a a ∈-，满足1()0f x =， 所以1(,)x x ∈-∞，
()0f x '<；1(,0)x x ∈，()0f x '>，(0,)x ∈+∞，()0f x '<；
此时()f x 存在两个极值点1x ，0，符合题意. 当1a =时，因为(,0)x ∈-∞，()0g x '>；(0,)x ∈+∞，()0g x '<； 所以()(0)0g x g ≤=；所以
()0f x '≤，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减， 所以()f x 无极值点，不合题意.综上可得：01a <<.。