江山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

江山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）
A．（﹣∞，0）B．C．[0，+∞）D．
2．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的
1
2
，则圆锥的体积（）
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的
1
6
3．已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（）
A．￢p B．￢p∨q C．p∧q D．p∨q
4．已知e为自然对数的底数，若对任意的
1
[,1]
x
e
∈，总存在唯一的[1,1]
y∈-，使得2
ln1y
x x a y e
-++=
成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
[,]e
e
B.
2
(,]e
e
C.
2
(,)
e
+∞ D.
21
(,)
e
e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
5．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（）
A．B．
C．D．
6．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高杂质低
旧设备37 121
新设备22 202
根据以上数据，则（）
A．含杂质的高低与设备改造有关
B．含杂质的高低与设备改造无关
C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
7． 在二项式
的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
8． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知集合 M={x||x|≤2，x ∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M ∩N=（ ） A ．{﹣1，0，2} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{﹣1，0，2，3}
D ．{0，1，2，3}
10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i
1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
A ．[1，+∞）
B ．[0.2}
C ．[1，2]
D ．（﹣∞，2]
二、填空题
13．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
14．设函数f （x ）=
，
①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；
②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
15．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．
16．定积分sintcostdt= ．
17．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．
18．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则
= ．
三、解答题
19．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求
及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cos θ的值．
20．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*
2120()n n n a a a n N ++-+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
21．已知椭圆E ：
=1（a ＞b ＞0）的焦距为2
，且该椭圆经过点
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线
MN 与y 轴垂直时，求k 1k 2的值．
22．（本小题满分12分）已知圆()()22
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
23．设函数f （x ）=x 3﹣6x+5，x ∈R （Ⅰ）求f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围．
24．已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．
江山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：y=|x|（1﹣x ）=，
再结合二次函数图象可知
函数y=|x|（1﹣x ）的单调递增区间是：． 故选：B ．
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为2
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=，所以122V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1 3． 【答案】D
【解析】解：命题p ：2≤2是真命题，
方程x 2
+2x+2=0无实根，
故命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02
+2x 0+2=0是假命题，
故命题￢p ，￢p ∨q ，p ∧q 是假命题， 命题p ∨q 是真命题， 故选：D
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】
A
【解析】
进行简单的合情推理．
【专题】规律型；探究型．
【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．
【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），
括号内表示的10进制数，其最大值为9999；
从大到小排列，第2013个数为
9999﹣2013+1=7987
所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7
则第2013个数是
故选A．
【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．
6．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高杂质低合计
旧设备37 121 158
新设备22 202 224
合计59 323 382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
7．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，
过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）=，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A 对应的集合，利用几何概型公式解答．
9． 【答案】A
【解析】解：由M 中不等式解得：﹣2≤x ≤2，即M=[﹣2，2]， ∵N={﹣1，0，2，3}， ∴M ∩N={﹣1，0，2}， 故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
10．【答案】A
【解析】解：因为直线x=和x=
是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin （
+φ）与sin （
+φ）分别是最大值与最小值，0＜
φ＜π，
所以φ=．
故选A ．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
11．【答案】
【解析】选A.由2＋a i
1＋i
＝3＋b i 得，
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 12．【答案】C
【解析】解：f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2
+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．
二、填空题
13．【答案】（0，1）．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
14．【答案】≤a＜1或a≥2．
【解析】解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，
所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，
而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，
所以≤a ＜1，
若函数h （x ）=2x
﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，
则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，
当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，
综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．
15．【答案】1ln 2
【解析】 试题分析：
()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
16．【答案】 ．
【解析】解： 0sintcostdt=
0sin2td （2t ）=
（﹣cos2t ）|=×（1+1）=．
故答案为：
17．【答案】
．
【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC ，高为AC ，
所以三棱柱的体积：××1×1×2=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．
18．【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=
；
∴
；
（2）同理可求得
；
；
∴=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求
的方法，以及向量夹角
余弦的计算公式．
20．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪
=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2129n a a a n n =++
+=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2
，
=1；
解得，a 2=4，b 2
=1；
故椭圆E 的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k 1=0时，M 点的纵坐标为0，
直线MN 与y 轴垂直， 则点N 的纵坐标为0， 故k 2=k 1=0，这与k 2≠k 1矛盾． 当k 1≠0时，直线PM ：y=k 1（x+2）；
由
得，
（+4）y 2﹣=0；
解得，y M =
；
∴M （，），
同理N （，），
由直线MN 与y 轴垂直，则=
；
∴（k 2﹣k 1）（4k 2k 1﹣1）=0，
∴k 2k 1=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=． 【解析】
试题分析：（1）L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可
证明；（2）由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.
1111]
（2）圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点：直线方程；直线与圆的位置关系. 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
∴当
，
∴f （x ）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f （x ）图象的大致形状及走向，
∴当
的图象有3个不同交点，
即方程f （x ）=α有三解．
24．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=﹣
=sin 2x+sinxcosx ﹣
=
+
sin2x ﹣
=sin（2x﹣）…3分
周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分
当2x﹣∈，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分
（2）当，2x﹣∈，…9分
sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，
故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．。