电网络 - 第七章网络的灵敏度分析
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为比较分析不同参数的相对变化对网络特性 的影响，对绝对灵敏度做归一化处理，引入 相对灵敏度。
(2)相对灵敏度 lim Sx T X 0 T x//T x T T x x （ lln T n x） （微分 T x 灵 T x （敏 增度 量
显然这是网络特性的相对比变化量与网络参数 的相对变化量之比，是无量纲的纯数。可以有 以下几种定义方法。编P辑2版8pp1pt～P282(1) ～(3) 10
-
U0 R2
（RR 1（ 3 RR22RR3） 3） 2 IS，
S R U 1 0 U R 1 0 U R 1 0 （ R 1 R R 3 I 2 S R 3 ） （ R R 1 （ 3 R R 2 2 R R 3 ） 3 ） 2IS
R2R3 ， R1 R2 R3
S R U 2 0 U R 2 0 U R 2 0 R （ 2R R 1 1 R R 3 I 2 S R 3 ） （ R 1 R R 3 2 R 1R 3 ） 2IS
编辑版pppt
13
•在分析电力系统的调整问题时，总是希望知
道对某些变量的调整能在多大程度上影响系
统的运行状况。灵敏度分析是潮流问题的一
个重要概念（华中理工大学.电力系统分析
（下）p56）。在系统的故障分析中也有重要
应用。详见灵敏度分析与潮流计算(王尔智)
的专著；在数学课程计算数学中的梯度和共
轭梯度法是按函数最大变化率的方向搜索，
（d）仍可M用 aso公n式计算网络函敏数度的灵
例 72 ，某S网 F 如 G 络 下 的 图， a， f是 设温 t的 支度 函 路 StX 数 增 1 ， StX2 ，
解：原 流 1 （ 图 ce ： f d ） ce
c
x xo 1 1 x 1 （ [, aP （ c1 1 ea ， e） f1 d） b 1 d]c e ex, SP 2 b , 2 d 1
16
例7－1的计算方法太繁。下面介绍几种工程实际中常用的灵 敏度计算方法。
• 信号流图法（参数为网络参数时，与导数（增量）网络法 相同但求解方法不同）与伴随网络法。
5.信号流图法（导数网络法）的特点：求解一次导数网络可 求出一个参数变化时网络中各处电压、电流的改变量，也 即各网络特性的灵敏度。
6.伴随网络法的特点：对原网络只需求解一次，而每求解一次 伴随网络可求出一个网络特性对各个网络参数的灵敏度。
a
x1
由对称性得：
xS
x o x 2 ,P 1 b ， 1 1 c ,P 2 a , 2 f 1
x21 （ [b（ c 1 e c） fd） a]fcexS 编辑版pppt
f
d
b
x2
e
20
c
a c
a
x1
xS
f
d
b
x2
e
不变（回路与前同），
xS
t
x1
a
t
xS 0 t
f
d
x2
b
t
x1
R1
R2 R2
R3
，
可见灵敏度是网络参数的函数。对一个具体的电路网络参数是给定的。例如：
如：R 若 1 5，R2 10 ，R3 5，
SR U10 SR U20
1 25 00.75 ，R1每变1化 %，U0变化 0.75% 2500.25 ，R2每编辑变 版pp1 pt化 %，U0变化 0.25%
电网络分析选论
第七章 网络的灵敏度分析（P281）
编辑版pppt
1
概述
在任何一个系统的设计中，一个很重要的 问题是了解由于系统中某一个或某些参数 发生变化时对系统的影响。例如由于老化 或制造工艺方面的原因，使系统元件的参 数偏离标称值等，都是很正常的。定量描 述系统元件参数在一定范围内变化对系统 性能的影响的工具之一，就是本章要讲的 “灵敏度分析”。
该式我们曾在第一章给大家介绍过。
理论上 N和 网 N ˆ只 络 要有A 相 就同 可的 以了。使 但 N ˆ取 我
一些 特殊的支路，以简化灵敏度的计算。
下面讨论伴随网络的结构和元编件辑版参ppp数t 。
22
2. 线性网络灵敏度的伴随网络法
为分析方便，把网络元件按独立源（输入支路）、输出支路、R 、 G 、 L 、C 、CCCS 、 CCVS 、VCVS 、VCCS……把（2）式改写 成：
生电容和电感的高频时的编作辑版用pppt等）。
11
3.灵敏度的基本运算：P283（1）～（7）
（ 1）
S T1T 2 x
S T1 x
S
； T 2
x
（ 2）
S T1 T 2 x
1（ T1 T 2
T1S
T1 x
T2S
T 2）；
x
（ 3）
S Tn x
ln T n ln x
n ln T ln x
室，加速老化试验装置就是一个重要组成部
分。（总投入资金1200万）。
若用 T（x1xn）
表示任何一个系统或网络特性（广义网络函 数），则：
T 代表表示系统和网络对任
x
何一个编辑参版pp数pt 的灵敏度。
8
灵敏度是系统、网络（或设备）的个重要 指标，对网络的设计、分析都具有重要意 义。（容差设计、调节、控制等）
nS
T；
x
1
（ 4）
S
T x
S
T x
（ 5）
S
T 1
x
ln T ln 1
ln T ln x
S
T x
（ 6 ） H （ j设 ） H （ x） e j（ ） ， S x H （ j ） S x H （ ） j（ ） S x （ ）
（ 7 ） T 为 若 S 常 x T 0 。 量 编辑版pppt ，
k
t
xi 编辑版pppt k
18
所有输入支路 均按上式处理
所有外施激励输入 支路均按上式处理
（ x j k ） [ t（ x i k ） tkx i ] [ b x S k （ b k ） x S ]
（ x j k ） [ t （ x i k ） b x S k ] [ t kx i （ b k ） x S ]
12
4.灵敏度应用的若干说明
•如果把广义网络元件参数推广到一般意义下 的变量（含状态变量和控制变量），则可以
进行电力系统的灵敏度分析。
•在电力系统的规划、设计和运行中，有时潮
流计算的结果不能满足可靠性或经济性的要
求，因而必须改变系统的某些变量以改善系
统的潮流分布。即需要对系统的潮流进行适
当的调整和控制。
解： U 0R 2R 3R 3R R （ 1 1 R R 22 R R 3 ） 3IS， U 0R 1 R R 1R 23 R 3IS
+
Is R1
R3
U0
U R 1 0 R （ 3（ R 1 R 1 R 2 R 2 R 3 ） R 3 ） 2 R 3 R 1IS （ R R 1 （ 3 R R 2 2 R R 3 ） 3 ） 2IS
网络特性（广义网络函数）：可以是任何一 个感兴趣的物理量。指系统或网络的输出误
差函数，网络传递函数等。分析什么什么就
是被赋予了特性。如u-i，ψ-i，q-u等等。
编辑版pppt
7
网络参数（广义）：网络的元件参数：Z， Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压
力等标称值，实际值（老化）。
例如：2002年11月验收的电科，参变 1%， 化网络特性的 100x
2 ） ST x1x0 T x 0， ST x1 x 8 0 T x a Arx r g。 g
3）xT0， 0， SSxTxTddeeflX fliX im m 00T xx/T/TxTx1TxTxllTnxnxT
上式称为半归一化灵敏度，例如寄生参数（特别是寄
X （ 1A） XBSX ，设 参 ，数 X 则 （ ） 为是 的 参函 数数。
A （ ） B （ ， ） X （ S， ） 均为α的函数。
（如果不是关系式中出现x其它地方仍可用x表示参数。）
X （ 1A） X AXBXSBXS X （ 1A） X BXS （AXBXS）
xj txi ，
xj
k
（xi ）t
如图所示（每个节点及其输入均要处理）
xi
t
xj
xi
x j t
b
xS
xi
编辑版pppt
t b
b
xS
x 19 S
（a）相应的节点变量改 x为 j
（b） 所有输入支路分出相应的新源点
（ c ） 若 原 S F G 的 自 环 权 不 变 或 无 自 环 则 未 增 加 新 回 路 ，
A 与 原 S F G 同 ， 因 此 M a s o n 公 式 中 不 变 ；
编辑版pppt
2
所谓系统的性能，就是系统的广义网络函 数（任何一个关心的或感兴趣的物理量均 可称为广义网络函数）；所谓系统或网络 元件参数，也是广义的，它可以是实际的 网络元件参数，也可以是影响元件参数的 某个物理量（如温度、压力等） ；所谓 “灵敏度”，就是广义网络函数对网络广 义参数变化的敏感程度。
2
2T hij x i x j 称为二阶微分灵敏度，依此类推。
• 网络灵敏度可分为时域灵敏度和频域灵敏度， 本章只讲频域灵敏度分析。其它灵敏度分析可
以举一反三，触类旁通。
下面介绍网络灵敏度分析的具体内容。
编辑版pppt
6
§7-1灵敏度分析的意义～
§7-2灵敏度分析的基本概念
1.灵敏度的概念： 任何一个系统或网络特 性（广义网络函数），对参数变化的敏感程 度。是一个函数（全体参数的函数）。
T 称为一阶微分灵敏度。
x j
写成向量形式
T T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) T X
T Tx1
T x2
编xT 辑n版pppt就是我们熟悉的梯度5 。
同理也由多元函数的Taylor （series）展开式得
T TX1(X)TH X其中H称为Hessian矩阵，
实际就是按函数的最大灵敏度方向搜索。
编辑版pppt
14
计算灵敏度最直接的方法
设 x 时 x ， x x ， T T ， x x ，
计算 xT， SxT
xT任何（广义） ， Tx
计算机求解很容易。
如果求出T的解析表达式可以直接求导。
编辑版pppt
15
例 71，求图中电 U0路 对 R1R 的 2的输 灵出 敏度。R2
可见选哪种方法求网络的灵敏度应根据具体要求来确定。
一位伟人说过：“马克思主义的精髓和活的灵魂，就是对
具体事务作具体分析。人们常说：通向罗马的路不只一条。
但有一条是捷径。下面就一编一辑版介ppp绍t 。
17
7.用信号流图SFG求灵敏度
（ 1 ）规则：方 设程 有 A＝ X组 线 BSX ， 性 S则 代 F 对 G数 应的方
f
e
t
XS Xt1，p1at X1Xt1，p1ft d
1 1e 1 1
X1 t
a1t（ （ 1ce） eXSfd） ft cdeX1
同理可得编辑：版pppt
X2 t
1at（ f XcS（ e1fcd） ） ftcXe1
21
§7-3 伴随网络法(P286)
设 1由.设 特特U网网 勒勒b络N 根根ˆNU与 因络 定b定N 所理理有 有 U的b， 差网相 I分络b 形参A 同 I式b， 数其 的的 Ib变 ，各 化 支 原UN+-k 路电 Ik U ˆU+-kk压 和 Iˆk电 原NNUˆ+-流 k I为 k+Iˆ∆kIk U+-U+-kˆ+k∆Uk
编辑版pppt
3
在网络的“灵敏度”分析中，自然要把 广义网络函数表为广义网络参数的函数。
T （ x1， x2， xn ）
编辑版pppt
4
d （ x T 1 x n ） x T 1 d 1 x x T 2 d 2 x x T kd k x x T n d nx
T （ x 1 x n ） x T 1 x 1 x T 2 x 2 x T k x k x T n x n
则 U Ib Tb TU iˆˆbb00， ，U （ I（ b T b T IU b T） b T） U ˆiˆb b 0 0二式相减得
U b Tiˆb Ib TU ˆb0 （ 1 ）
称 差 分 形 式 的 特 勒 根 定 理 写。 成和式为 U k T i ˆ k Ik T U ˆk 0 (2 )
2.灵敏度的定义
网络或系统的灵敏度可分为绝对灵敏度、相
对灵敏度、微分灵敏度和增量灵敏度。下面
给出相应的定义。
编辑版pppt
9
设 T（ x1 xn）表示任一x表 网示 络任 特,一 性 则参 ， ：数
(1)绝对灵敏度
lim D x T T x X 0 T x 称 为 绝 对 灵 敏 度 （ 微 分 灵 敏 度 ）
(2)相对灵敏度 lim Sx T X 0 T x//T x T T x x （ lln T n x） （微分 T x 灵 T x （敏 增度 量
显然这是网络特性的相对比变化量与网络参数 的相对变化量之比，是无量纲的纯数。可以有 以下几种定义方法。编P辑2版8pp1pt～P282(1) ～(3) 10
-
U0 R2
（RR 1（ 3 RR22RR3） 3） 2 IS，
S R U 1 0 U R 1 0 U R 1 0 （ R 1 R R 3 I 2 S R 3 ） （ R R 1 （ 3 R R 2 2 R R 3 ） 3 ） 2IS
R2R3 ， R1 R2 R3
S R U 2 0 U R 2 0 U R 2 0 R （ 2R R 1 1 R R 3 I 2 S R 3 ） （ R 1 R R 3 2 R 1R 3 ） 2IS
编辑版pppt
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•在分析电力系统的调整问题时，总是希望知
道对某些变量的调整能在多大程度上影响系
统的运行状况。灵敏度分析是潮流问题的一
个重要概念（华中理工大学.电力系统分析
（下）p56）。在系统的故障分析中也有重要
应用。详见灵敏度分析与潮流计算(王尔智)
的专著；在数学课程计算数学中的梯度和共
轭梯度法是按函数最大变化率的方向搜索，
（d）仍可M用 aso公n式计算网络函敏数度的灵
例 72 ，某S网 F 如 G 络 下 的 图， a， f是 设温 t的 支度 函 路 StX 数 增 1 ， StX2 ，
解：原 流 1 （ 图 ce ： f d ） ce
c
x xo 1 1 x 1 （ [, aP （ c1 1 ea ， e） f1 d） b 1 d]c e ex, SP 2 b , 2 d 1
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例7－1的计算方法太繁。下面介绍几种工程实际中常用的灵 敏度计算方法。
• 信号流图法（参数为网络参数时，与导数（增量）网络法 相同但求解方法不同）与伴随网络法。
5.信号流图法（导数网络法）的特点：求解一次导数网络可 求出一个参数变化时网络中各处电压、电流的改变量，也 即各网络特性的灵敏度。
6.伴随网络法的特点：对原网络只需求解一次，而每求解一次 伴随网络可求出一个网络特性对各个网络参数的灵敏度。
a
x1
由对称性得：
xS
x o x 2 ,P 1 b ， 1 1 c ,P 2 a , 2 f 1
x21 （ [b（ c 1 e c） fd） a]fcexS 编辑版pppt
f
d
b
x2
e
20
c
a c
a
x1
xS
f
d
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x2
e
不变（回路与前同），
xS
t
x1
a
t
xS 0 t
f
d
x2
b
t
x1
R1
R2 R2
R3
，
可见灵敏度是网络参数的函数。对一个具体的电路网络参数是给定的。例如：
如：R 若 1 5，R2 10 ，R3 5，
SR U10 SR U20
1 25 00.75 ，R1每变1化 %，U0变化 0.75% 2500.25 ，R2每编辑变 版pp1 pt化 %，U0变化 0.25%
电网络分析选论
第七章 网络的灵敏度分析（P281）
编辑版pppt
1
概述
在任何一个系统的设计中，一个很重要的 问题是了解由于系统中某一个或某些参数 发生变化时对系统的影响。例如由于老化 或制造工艺方面的原因，使系统元件的参 数偏离标称值等，都是很正常的。定量描 述系统元件参数在一定范围内变化对系统 性能的影响的工具之一，就是本章要讲的 “灵敏度分析”。
该式我们曾在第一章给大家介绍过。
理论上 N和 网 N ˆ只 络 要有A 相 就同 可的 以了。使 但 N ˆ取 我
一些 特殊的支路，以简化灵敏度的计算。
下面讨论伴随网络的结构和元编件辑版参ppp数t 。
22
2. 线性网络灵敏度的伴随网络法
为分析方便，把网络元件按独立源（输入支路）、输出支路、R 、 G 、 L 、C 、CCCS 、 CCVS 、VCVS 、VCCS……把（2）式改写 成：
生电容和电感的高频时的编作辑版用pppt等）。
11
3.灵敏度的基本运算：P283（1）～（7）
（ 1）
S T1T 2 x
S T1 x
S
； T 2
x
（ 2）
S T1 T 2 x
1（ T1 T 2
T1S
T1 x
T2S
T 2）；
x
（ 3）
S Tn x
ln T n ln x
n ln T ln x
室，加速老化试验装置就是一个重要组成部
分。（总投入资金1200万）。
若用 T（x1xn）
表示任何一个系统或网络特性（广义网络函 数），则：
T 代表表示系统和网络对任
x
何一个编辑参版pp数pt 的灵敏度。
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灵敏度是系统、网络（或设备）的个重要 指标，对网络的设计、分析都具有重要意 义。（容差设计、调节、控制等）
nS
T；
x
1
（ 4）
S
T x
S
T x
（ 5）
S
T 1
x
ln T ln 1
ln T ln x
S
T x
（ 6 ） H （ j设 ） H （ x） e j（ ） ， S x H （ j ） S x H （ ） j（ ） S x （ ）
（ 7 ） T 为 若 S 常 x T 0 。 量 编辑版pppt ，
k
t
xi 编辑版pppt k
18
所有输入支路 均按上式处理
所有外施激励输入 支路均按上式处理
（ x j k ） [ t（ x i k ） tkx i ] [ b x S k （ b k ） x S ]
（ x j k ） [ t （ x i k ） b x S k ] [ t kx i （ b k ） x S ]
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4.灵敏度应用的若干说明
•如果把广义网络元件参数推广到一般意义下 的变量（含状态变量和控制变量），则可以
进行电力系统的灵敏度分析。
•在电力系统的规划、设计和运行中，有时潮
流计算的结果不能满足可靠性或经济性的要
求，因而必须改变系统的某些变量以改善系
统的潮流分布。即需要对系统的潮流进行适
当的调整和控制。
解： U 0R 2R 3R 3R R （ 1 1 R R 22 R R 3 ） 3IS， U 0R 1 R R 1R 23 R 3IS
+
Is R1
R3
U0
U R 1 0 R （ 3（ R 1 R 1 R 2 R 2 R 3 ） R 3 ） 2 R 3 R 1IS （ R R 1 （ 3 R R 2 2 R R 3 ） 3 ） 2IS
网络特性（广义网络函数）：可以是任何一 个感兴趣的物理量。指系统或网络的输出误
差函数，网络传递函数等。分析什么什么就
是被赋予了特性。如u-i，ψ-i，q-u等等。
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网络参数（广义）：网络的元件参数：Z， Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压
力等标称值，实际值（老化）。
例如：2002年11月验收的电科，参变 1%， 化网络特性的 100x
2 ） ST x1x0 T x 0， ST x1 x 8 0 T x a Arx r g。 g
3）xT0， 0， SSxTxTddeeflX fliX im m 00T xx/T/TxTx1TxTxllTnxnxT
上式称为半归一化灵敏度，例如寄生参数（特别是寄
X （ 1A） XBSX ，设 参 ，数 X 则 （ ） 为是 的 参函 数数。
A （ ） B （ ， ） X （ S， ） 均为α的函数。
（如果不是关系式中出现x其它地方仍可用x表示参数。）
X （ 1A） X AXBXSBXS X （ 1A） X BXS （AXBXS）
xj txi ，
xj
k
（xi ）t
如图所示（每个节点及其输入均要处理）
xi
t
xj
xi
x j t
b
xS
xi
编辑版pppt
t b
b
xS
x 19 S
（a）相应的节点变量改 x为 j
（b） 所有输入支路分出相应的新源点
（ c ） 若 原 S F G 的 自 环 权 不 变 或 无 自 环 则 未 增 加 新 回 路 ，
A 与 原 S F G 同 ， 因 此 M a s o n 公 式 中 不 变 ；
编辑版pppt
2
所谓系统的性能，就是系统的广义网络函 数（任何一个关心的或感兴趣的物理量均 可称为广义网络函数）；所谓系统或网络 元件参数，也是广义的，它可以是实际的 网络元件参数，也可以是影响元件参数的 某个物理量（如温度、压力等） ；所谓 “灵敏度”，就是广义网络函数对网络广 义参数变化的敏感程度。
2
2T hij x i x j 称为二阶微分灵敏度，依此类推。
• 网络灵敏度可分为时域灵敏度和频域灵敏度， 本章只讲频域灵敏度分析。其它灵敏度分析可
以举一反三，触类旁通。
下面介绍网络灵敏度分析的具体内容。
编辑版pppt
6
§7-1灵敏度分析的意义～
§7-2灵敏度分析的基本概念
1.灵敏度的概念： 任何一个系统或网络特 性（广义网络函数），对参数变化的敏感程 度。是一个函数（全体参数的函数）。
T 称为一阶微分灵敏度。
x j
写成向量形式
T T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) T X
T Tx1
T x2
编xT 辑n版pppt就是我们熟悉的梯度5 。
同理也由多元函数的Taylor （series）展开式得
T TX1(X)TH X其中H称为Hessian矩阵，
实际就是按函数的最大灵敏度方向搜索。
编辑版pppt
14
计算灵敏度最直接的方法
设 x 时 x ， x x ， T T ， x x ，
计算 xT， SxT
xT任何（广义） ， Tx
计算机求解很容易。
如果求出T的解析表达式可以直接求导。
编辑版pppt
15
例 71，求图中电 U0路 对 R1R 的 2的输 灵出 敏度。R2
可见选哪种方法求网络的灵敏度应根据具体要求来确定。
一位伟人说过：“马克思主义的精髓和活的灵魂，就是对
具体事务作具体分析。人们常说：通向罗马的路不只一条。
但有一条是捷径。下面就一编一辑版介ppp绍t 。
17
7.用信号流图SFG求灵敏度
（ 1 ）规则：方 设程 有 A＝ X组 线 BSX ， 性 S则 代 F 对 G数 应的方
f
e
t
XS Xt1，p1at X1Xt1，p1ft d
1 1e 1 1
X1 t
a1t（ （ 1ce） eXSfd） ft cdeX1
同理可得编辑：版pppt
X2 t
1at（ f XcS（ e1fcd） ） ftcXe1
21
§7-3 伴随网络法(P286)
设 1由.设 特特U网网 勒勒b络N 根根ˆNU与 因络 定b定N 所理理有 有 U的b， 差网相 I分络b 形参A 同 I式b， 数其 的的 Ib变 ，各 化 支 原UN+-k 路电 Ik U ˆU+-kk压 和 Iˆk电 原NNUˆ+-流 k I为 k+Iˆ∆kIk U+-U+-kˆ+k∆Uk
编辑版pppt
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在网络的“灵敏度”分析中，自然要把 广义网络函数表为广义网络参数的函数。
T （ x1， x2， xn ）
编辑版pppt
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d （ x T 1 x n ） x T 1 d 1 x x T 2 d 2 x x T kd k x x T n d nx
T （ x 1 x n ） x T 1 x 1 x T 2 x 2 x T k x k x T n x n
则 U Ib Tb TU iˆˆbb00， ，U （ I（ b T b T IU b T） b T） U ˆiˆb b 0 0二式相减得
U b Tiˆb Ib TU ˆb0 （ 1 ）
称 差 分 形 式 的 特 勒 根 定 理 写。 成和式为 U k T i ˆ k Ik T U ˆk 0 (2 )
2.灵敏度的定义
网络或系统的灵敏度可分为绝对灵敏度、相
对灵敏度、微分灵敏度和增量灵敏度。下面
给出相应的定义。
编辑版pppt
9
设 T（ x1 xn）表示任一x表 网示 络任 特,一 性 则参 ， ：数
(1)绝对灵敏度
lim D x T T x X 0 T x 称 为 绝 对 灵 敏 度 （ 微 分 灵 敏 度 ）