【名师点拨】2014-2015学年高中数学第一章集合与函数概念过关测试卷新人教a版必修1

【名师点拨】2014-2015学年高中数学 第一章 集合与函数概念过关
测试卷 新人教A 版必修1
（100分，60分钟） 一、选择题（每题6分，共48分）
1.〈杭州模拟〉已知集合M ={y |y =21x +,x ∈R }，N ={y |y =x +1,x ∈R }，则M ∩N =( ) A.(0,1)(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y |y =1或y =2} D.{y |y ≥1}
2.〈临沂高一检测〉若函数f (x )=()
()22
2331a a x a x --+-+的定义域和值域都为R ，则
（ ）
A.a =－1或a =3
B.a =－1
C.a =3
D.a 不存在
3.〈衡水高一检测〉下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） （1）y =
3
)
5(3+-+x x x ）（,y =x －5
（2）y =11-+x x ,y =())1(1-+x x
（3）y =x ,y
（4）y =x ,
y
（5）y =()2
25x -,y =2x －5
A. （1）, （2）
B.（2）, （3）
C. （3）, （5）
D. （4）
4.〈济南模拟〉函数f (x )=245x mx -+在区间［－2,+∞)上是增函数，则（ ） A.f (1)≥25 B.f (1)=25 C.f (1)≤25 D.f (1)＞25
5.已知函数f (x )是定义在［－5,5］上的偶函数，f (x )在［0,5］上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.f (－1)＜f (－3) B.f (2)＜f (3) C.f (－3)＜f (5) D.f (0)＞f (1)
6.〈唐山模拟〉已知函数f (x )= 1,10
1,01
x x x x ---<⎧⎨
-+<⎩≤≤则f (x ) －f (－x )＞－1的解集为（ ）
A.( －∞, －1)∪(1，+∞)
B. ⎪⎭⎫
⎢⎣
⎡-
-21,1∪（0,1］ C.( －∞,0)∪(1，+∞) D. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--2
1,1∪(0,1)
7.若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )=af (x )+bg (x )+2在区间（0,
+∞）上有最大值5，则F （x ）在（－∞,0）上（ ） A.有最小值－5 B.有最大值－5 C.有最小值－1 D.有最大值－3
8.设奇函数f (x )在［－1,1］上是增函数，且f (－1)=－1，若对所有的x ∈［－1,1］及任意的a ∈［－1,1］都满足f (x )≤221t at -+，则t 的取值范围是（ ） A. －2≤t ≤2 B. －
12≤t ≤12
C.t ≥2或t ≤－2或t =0 D .t ≥
12或t ≤－1
2
或t =0
二、填空题（每题6分，共18分）
9.函数f (x 的单调减区间为__________.
图1
10.如图1，定义在［－1,+∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________.
11.设函数f (x )是1()f x =4x +1, 2()f x =x +2，3()f x =－2x +4三个函数中的最小值，则f (x )的最大值为___________.
三、解答题（14题14分，其余每题10分，共34分）
12.已知全集U =R ，集合A ={x |0＜x ≤5}，B ={x |x ＜－3或x ＞1}，C ={x |［x －(2a －1)］［x －(a +1)］＜0,a ∈R }.
（1）求A ∩B ，(∁U A )∩(∁U B ) , ∁U (A ∩B ) ;
（2）若(∁R A )∩C =Ø，求a 的取值范围.
13.已知函数f (x )的定义域为（－2,2），函数g (x )=f (x －1)+f (3－2x ). （1）求函数g (x )的定义域；
（2）若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集.
14.已知函数f (x )=
2
1
3++x x . （1）判断函数在区间［1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论;
（2）求该函数在区间［1,5］上的最大值和最小值.
参考答案及点拨
一、1. D 点拨：∵M ={y |y =2
1x +,x ∈R }={y |y ≥1},N ={y |y =x +1,x ∈R }=R ，∴M ∩N =M ={y |y
≥1}.
2. B 点拨：若使函数f (x )的定义域和值域都为R ，则f (x )应为一次函数，即满足
2230
1,30
a a a a ⎧--=⇒=-⎨
-≠⎩选B. 3. D 点拨：（1）中定义域不同；（2）中定义域不同,在y =
11-⋅+x x 中，由
1
0110x x x +⎧⇒⎨
-⎩
≥≥，≥∴y =11-⋅+x x x 的定义域为{x |x ≥1}，而y =)1)(1(-+x x 中，由（x +1）(x －1)≥0⇒x ≥1或x ≤－1，∴y =)1)(1(-+x x 的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}.此题易错；（3）中定义域虽相同，但对应关系不同；（5）中定义域不同；故只有（4）是同一函数，选D.
4. A 点拨：∵f (x )图象的对称轴为直线x =8
m
，要使f (x )在［－2,+∞)上是增函数，则应满足
8
m
≤－2，∴m ≤－16，即－m ≥16.∴f (1)=9－m ≥25，即f (1)≥25，故选A. 5. D 点拨：∵f (x )为偶函数，且f (－3)＜f (1).即f (3)＜f (1).又∵f (x )在［0,5］上是单调函数，∴f (x )在［0,5］上单调递减，在［－5,0］上单调递增，结合偶函数的对称性可知只有选项D 正确. 6. B 点拨：（1）当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，由f (x ) －f (－x )＞－1.得－x －1－(x +1)＞－1，解得x ＜21-
.∴－1≤x ＜2
1
-. （2）当0＜x ≤1时，则－1≤－x ＜0.由f (x )－f (－x )＞－1，得－x +1－(x －1)＞－1，解得x ＜
23，∴0＜x ≤1.综上（1）（2）可知：f (x ) －f (－x )＞－1的解集为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡
--21,1∪（0,1］,选B.
7. C 点拨：当x ＞0时，F （x ）≤5.即af (x )+bg (x )+2≤5，∴af (x )+bg (x )≤3,设x ＜0，则－x ＞0，∴af (－x )+bg (－x )≤3，又∵f (x ),g (x )都是奇函数，∴－af (x ) －bg (x )≤3,即af (x )+bg (x)≥－3,∴F (x )=af(x )+bg (x )+2≥－1，故选C.
8. C 点拨：由题意，得f (1)= －f (－1)=1，又∵f (x )在［－1,1］上递增，∴当x ∈［－
1,1］时，f (x )≤f (1)=1.又∵f (x )≤2
21t at -+对所有的x ∈［－1,1］及任意的a ∈［－
1,1］都成立，则2
21t at -+≥1在任意的a ∈［－1,1］上恒成立，即22t at -≥0对任意
的a ∈［－1,1］上恒成立.设g(a)= －2ta+2
t ,只需00
1,(1)0(1)0t t t g g ⎧⎧=⎨⎨-⎩⎩
＞＜或或≥≥即t ≥2
或t ≤－2或t =0，故选C. 二、9. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,21 点拨：∵26x x --+≥0⇒－3≤x ≤2.∴函数的定义域为［－3,2］.
设u =－2
x －x +6,y =u .∵u =2
12524x ⎛
⎫-++ ⎪⎝
⎭.则u =226x --+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,3上是增函数，
在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,21上是减函数，又y =u 为增函数，∴f (x )=
－的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,3，单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21.∴答案为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,21. 10. []()2
1,1,0()121,(0,)4
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨--∈+∞⎪⎩ 点拨：（1）当－1≤x ≤0时，f(x)的图象是直线的一部分，设f (x )=kx +m ，把（－1,0）和（0,1）代入得⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨
⎧=+-=1
1
10m k m m k ∴f (x )=x +1. （2）当x ＞0时，f (x )的图象是抛物线的一部分，设f (x )=a ()2
21x --，把（4,0）代入得
a =14.∴f (x )=()21214x --.综上可得：[]()2
1,1,0()121,(0,)
4
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨--∈+∞⎪⎩. 本题采用待定系数法求函数的解析式，只要明确所求解析式的函数类型，便可设出其解析式，根据已知条件列方程（组）求出系数，也体现了函数与方程思想. 11. 83
三、12. 解：（1）A ∩B ={x |0＜x ≤5}∩{x |x ＜－3或x ＞1}={x |1＜x ≤5}，(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B ),∵A ∪B ={x |0＜x ≤5}∪{x |x ＜－3或x ＞1}={x |x ＜－3或x ＞0},∴(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )=(A ∪B )={x |－3≤x ≤0},∁U (A ∩B )={x |x ≤1或x ＞5}.
(2)∁R A ={x |x ≤0或x ＞5}.①当C =Ø时，即2a －1=a +1，则a =2，符合题意.②当2a －1＜a +1，即a ＜2时，C ={x |2a －1＜x ＜a +1}.若满足
(∁R A )∩C =Ø,则结合数轴（答图1）可知，应满足：21011
4. 2.15
22a a a a -⎧⇒≤∴⎨
+⎩≥≤≤＜≤
答图1 答图２
③当2a －1＞a +1，即a ＞2时，C ={x |a +1＜x ＜2a －1}若满足(∁R A )∩C =Ø ,则结合数轴（答
图2）可知，应满足：1
01 3.215a a a +⎧⇒-⎨-⎩
≥≤≤≤∴2＜a ≤3.综上可知，若(∁R A )∩C =Ø时，a
的取值范围是
2
1
≤a ≤3.
点拨：本题采用分类讨论思想和数形结合思想，对于含有参数的集合运算一定要注意对Ø的讨论；同时数轴是解决集合运算的有力工具，借助它，形象直观、方便快捷.
13. 解：（1）由题意可知：2521.25
2
13
12232212＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜x x x x x ∴⎪⎩⎪
⎨⎧-⇒⎩⎨⎧----，∴函数g (x )的定义域为⎪⎭
⎫
⎝⎛2521，.
(2)由g (x )≤0得f (x －1)+f (3－2x )≤0，∴f （x －1）≤－f (3－2x ).又∵f (x )是奇函数，
∴f (x －1)≤f (2x －3)，又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴212
12232 2.2123
x x x x x --⎧⎪
--⇒⎨⎪--⎩
＜＜＜＜＜≤≥.
∴g (x )≤0的解集为⎥⎦
⎤
⎝⎛2,2
1.
14. 解：（1）f (x )在［1，+∞）上是增函数，证明：任取12,x x ∈[1,+∞)且12x x ＜,()1f x －
()2f x =
()()()
1212121253131
2222x x x x x x x x -++-=
++++，∵12,x x ∈［1, +∞)且1x ＜2x ，∴1x －2x ＜0，1x +2＞0，2x +2＞0，∴ ()1f x －()2f x ＜0，即()1f x ＜
()2f x ，∴()2
1
3++=
x x x f 在［1,+∞)上是增函数. （2）由（1）可知f (x )在［1,5］上单调递增，∴()
min
f x =f (1)=
3
4,()
x f max
=f (5)=
7
16.∴函数f (x )在［1,5］上最大值为716，最小值为3
4.。