黑龙江省大庆中学2016届高三上学期期末考试数学(文)试

大庆中学2015—2016学年上学期期末考
试
高三年级文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时
间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1、设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A ∩∁U B 等于( ). A. {x|0≤x<1} B. {x|0<x ≤1} C. {x|0≤x ≤1}
D.
{x|0<x<1}
2、在△ABC 中,已知0°,那么B 等于( ). A. 75° B. 75°或105° C. 45°
D. 45°或
135°
3、“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分
也不必要条件
4、设复数z 满足(1+i)z=2i,则z 等于( ).
A. -1+i
B. -1-i
C. 1+i
D. 1-i
5、在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10-a 11+a 7的值为( ). A. 20 B. 22
C. 24
D.48
6、一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的体积是( ).
A. 112cm 3
B. 96cm 3
C.
22243
cm
D.
2
1123
cm 7、运行如图所示的程序框图,若输出的S 是254,则①处应为( ).
A. n ≤8 ?
B. n ≤7 ?
C. n ≤6 ?
D. n ≤5 ?
8、已知函数()sin (0)3
6f x A x A π
π⎛⎫=+>
⎪⎝⎭在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与
最低点的距离是5,则A 的值为( ). A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9、若等边三角形ABC 的边长为2,平面内一点M 满足1133
CM CB CA =+ ,则MA AB
等于
( ).
A.- C. 2
D. -2
10、已知函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y = - 2x + 8,则f(5)+f /
(5)等于( ).
A. 4
B. 2
C. -2
D. - 4
11、已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为( ).
A ．
6 6或
7 C. 7 D. 6
12、若f(a)=(3m-1)a+b-2m ，当m∈[0,1]时，f(a)≤1恒成立，则a+b 的最大值为( ) A ．31 B ．32 C ．35 D ．3
7
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中横线上) 13、已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为a x y
+=95.0ˆ，则a = ． 14、观察下列式子：222222131151117
1,1,1,222332344
+<++<+++<……，根据以上式子可以猜想：222
111
1232016++++
< ;
15、函数)||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象如图所示，则ϕ= ．
16、已知点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，正△OAB ，其斜二测画法的直观图
为B A O '''∆，则点B ′到边A O ''的距离为
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、已知数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n
()1,2,3,n = ．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项n b ； （Ⅲ）若n
b a
c n
n n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
18、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶
图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.
19、如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC,AA 1=AC=2,BC=1,E,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.
(1) 求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2) 求证:C 1F ∥平面ABE;
20、已知抛物线的顶点为(0,0),准线为x=-2,不垂直于x 轴的直线x=ty+1与该抛物线交于A,B 两点,圆M 以AB 为直径. (1) 求抛物线的方程;
(2) 圆M 交x 轴的负半轴于点C,是否存在实数t,使得△ABC 的内切圆的圆心在x 轴上?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.
21、已知函数f(x)= (2x+a)·e x
(e 为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的极小值;
(2)对区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e 2
成立,求实数a 的取值范围.
22、本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题10分.只能选择其中一个作答。

（1）选修4－1：几何证明选讲
如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .
(1)证明：△ABE ∽△ADC ；
(2)若△ABC 的面积S ＝1
2AD ·AE ，求∠BAC 的大小．
（2）选修4－4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π
3)＝6，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，
求直线l 被圆C 截得的弦长．
（3）选修4－5：不等式选讲
若不等式|a ＋2b |＋|2b －a |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)，对a 、b ∈R 恒成立且a ≠0，求实数x 的取值范围．
1—12BABCD CBBDD AA
13、2.6 14、
40312016 15、6π 16
17、解：（Ⅰ）∵n n S 2=,
∴)2(,211≥=--n S n n ．--------------------------------------------------2分
∴111222(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=≥． ------------------------------------3分 当1=n 时，2121111==≠=-a S ，
∴12(1),
2(2).
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩-----------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）∵)12(1-+=+n b b n n
∴112=-b b ，
323=-b b ， 534=-b b ，
………
321-=--n b b n n ，
以上各式相加得
21)1(2
)
321)(1()32(531-=-+-=
-+⋅⋅⋅+++=-n n n n b b n ．
∵11-=b ，
∴n n b n 22-=． --------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ）由题意得1
2(1),(2)2
(2).
n n n c n n --=⎧=⎨
-⨯≥⎩
∴13212)2(2221202-⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+-=n n n T ， ∴n n n T 2)2(22212042432⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+-=， ∴n n n n T 2)2(2222132⨯--+⋅⋅⋅+++=--
n n n 2)2(2
1)21(21⨯----=-
=n n n n n 2)3(22)2(22⨯---=⨯---，
∴n n n T 2)3(2⨯-+=． ----------------------------------------------------------12分
18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于
170180
:之间。

因此乙班平均身高高于甲班;
-------------------------------------------------------------------3分
(2) 158162163168168170171179179182
17010
x +++++++++=
=
甲班的样本方差为()()()()22222
1[(158170)16217016317016817016817010
-+-+-+-+-
()()()()()22222
170170171170179170179170182170]
+-+-+-+-+-＝57
--------7分
（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）（181，176） （181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；
()42
105
P A ∴=
=； -------------------------------------------------------------------------------------12分 19、解： (1) 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC,
所以BB 1⊥AB. 又AB ⊥BC,
所以AB ⊥平面B 1BCC 1.
所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.------------------------------------------------5分 (2) 取AB 的中点G,连接EG,FG. 因为E,F,G 分别是A 1C 1,BC,AB 的中点, 所以FG ∥AC,且FG=
12AC,EC 1=1
2
A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1, 所以FG ∥EC 1,FG=EC 1.
所以四边形FGEC 1为平行四边形.
所以C1F∥EG.
又EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,
所以C1F∥平面ABE.---------------------------------------------------------12分20、
21、
22、解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ， 故△ABE ∽△ADC .
(2)解：因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝AD AC ，
即AB ·AC ＝AD ·AE ，
又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，
故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，
则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.
23、解：由ρsin(θ－π3)＝ρ(12sin θ－3
2cos θ)＝6得
ρsin θ－3ρcos θ＝12. ∴y －3x ＝12.
∴点C 到直线的距离为d ＝|0＋0＋12|
3＋1
＝6.
∴直线l 被圆截得的弦长为2102－62＝16.
24、解：由|a ＋2b |＋|2b －a |＝|a ＋2b |＋|a －2b |≥2|a |，
又因为|a ＋2b |＋|2b －a |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)， 对a ≠0时恒成立， 故|x －1|＋|x －2|≤2，
由绝对值的几何意义可求12≤x ≤5
2.。