数学总结(函数连续性)
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命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
关键词：初等函数，定义区间，连续函数
相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限
一．6个基本初等函数：
①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数 形式：
①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a
③f （x ）＝a x （1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ）
⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义： 设函数)(x f 在
x
的某个邻域U （
x
）上有定义，若
)()(0lim
x f x f x x =→
，则称函数)(x f 在x 0处连续
注：定义中涉及“)(lim 0
x f x x →
”即为函数之极限
三．函数极限的定义：
为极限
极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-⇒<-<∀∍>∃>∀x f x f x x x εδδε
由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性：
εδδε<-⇒<-∀∍>∃>∀)()(::,0,000x x f x f x x
四．初等函数的定义：
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数 要证明原命题，先解决以下几个问题： （Ⅰ）复合函数的连续性
定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续，
u 0
＝)(0
x f ，则复合函数g （f （x ）
）在点x 0
连续
证明：
∵ g （u ）在点u 0连续
∴ εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续，
取δδδδε102021'
)()(:,0,0<-⇒<-∍>∃>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f
故：ε<-))(())((0x f g x f g
综上：εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续 证毕！ （Ⅱ）反函数的连续性
定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数
)(1
y f
-
在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同
证明：不妨设)(x f 在[]b a ,上严格单增且连续，下证x ＝
)(1
y f
-在
[])(),(b f a f 上单增且连续
（1）[])(),(,)(),(,221121y x y x y y f f b f a f ==∈∀ 不妨设y
y 2
1<
若x x 21≥ 则 )()(21x x f f ≥矛盾！ 故x x 21< 即，x ＝
)(1
y f
-单增
（2）任取())(),(0b f a f y ∈ 证明x ＝)(1
y f
-在y 0
处连续
令)(1
0y f
x -= 0>∀ε 令
)(01
ε-=x y
f
)(02
ε+=x y
f
取{}y y y y 0
2
1
,min
--=δ 则：
),(0δy U y ∈∀ 有 ε<--x f
y 01
)(
故
)(1
y f
-在y 0
处连续
类似可证x ＝)(1
y f
-在左右端点分别左，右连续
证毕！
（Ⅲ）证明几个基本初等函数的连续性 ①为常数）C C x f ()(=
证明：
εδεδε<=-<-∀>∀∈∀0)()(,0,000x x x f x f x R 时，，＝取 故)(x f 在x 0处连续 ②e x
x f =)(
1） 证明：1lim
0==→e e
x
x εεε+<<-⇒<-111e e x
x )1ln()1ln(εε+<<-⇒x
取)}1ln(,11
min{ln
εε
δ+-= εδ<-<∀1e x
x 时，
2） 证明：e e x x x x x 0
lim ,00=≠∀→
即证：1lim
=→
e
e x x x
x
亦即：1lim 0
=-
→
e x x
x x
而 )t (1lim lim 000
x e e e x x x t t x x -===→-→
＝其中
（等式解释：第一个等号用到复合函数的连续性 第二个等号用到1）的结论）
③a x
x f =)(
证明：a e e
e a x x x x x a
t
a
t a x x x x 0000
ln ln ln lim
lim lim ====→
→
→
④x a x f =)( 证明：x e e e x
a
a t a t x
a x a
x x x x x 0
lim lim lim
00
ln
ln ln =
===→→→
⑤x x f sin )(=
证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时， 2
cos
2sin 2sin sin 0
0x x x x x x +-=-
ε<-<-≤x x x x 00
2
sin
2
故 εδ<-⇒<-∀)()(00x x f x f x 即 x x f sin )(=在x 0处连续
⑥x x f cos )(=
证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时，