专题9高考解题中的数学思想ppt课件

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二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将
等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解
决;三是根据几个变量间的关系,符合某些方程的性质和特征(如利
用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征
解决;四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等),经常转化
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③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,

此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{ 2 0x0,0 1 0}70.5
0
x
由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 2 0x0=0 1 0时705 0f(xx)取最小值,
解得x= 81010 ,类似①讨论,此时完成订单任务的最短时间为 2 95 ,0大于 21 51.0
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(4)函数f(x)=(1+x)n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题; (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需 要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理 论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列 方程或建立函数表达式的方法解决. 【化归与转化的思想】 转化与化归的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借
由题设有T1(x)= 2 6=3x0 0 0 ,T1 20(x0x0)= ,T3(2x0k)x0=0 ,
1500 200 (1 k)x
其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|
0<x< 2 0 0,x∈N*}.
1 k
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易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.
注意到T2(x)= k2 T1(x),
于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),
此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{ 1 0 x0 ,0 2 0}105.
0
0 3
x
由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 1 0 x0 =0 2 0时105 0f0(3xx)取得最小值,
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(1)=4.
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∵对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,∴a≤h(x)min=4. 【答案】 , 4 【归纳拓展】本题将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,然 后通过导数判断单调性,求出最值.在多个字母变量的问题中,选准 “主元”往往是解题的关键.一般地,在一个含有多个变量的数学问 题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化. 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更 具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.
HUN-理科
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数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想 方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种数学 意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能 力的桥梁. 纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把数学思
想方法的考查寓于各部分知识的考查之中,以知识为载体,着重考查 能力与方法题目很常见.预测2019年高考中,还会有较多的题目以数 学知识为背景,考查数学思想方法,对数学思想方法的考查不会削弱, 会更加鲜明,更加重视.
解得x= 4 90 0 .由于44< 4 90 0<45,而f(44)=T1(44)= 21 5,1 0
f(45)=T3(45)= 31 03 0 ,f(44)<f(45).故当x=44时完成订单任务的时间最短, 且最短时间为f(44)= 2 5 0.
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②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,
为方程问题去解决.
热点一:构造函数性质解题
在解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等
问题时,常通过构造函数,借助有关初等函数的性质求解.
(2019年·上海)在平行四边形ABCD中,∠A= ,边AB3 、AD的长


分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足
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热点四:方程在解析几何中的应用
在解析几何中,我们经常将直线与圆、圆锥曲线的位置关系,转化为 对应的方程,从方程的角度来研究、分析问题.
(2019年·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
x2 a2
+ by 22 =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
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(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要 的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订 单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)
分别为T1(x),T2(x),T3(x),
综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种
部件的人数分别为44,88,68.
【归纳拓展】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、 最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力. 其中根据题目变量关系,建立函数模型是解决本题的关键.
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热点三:函数、方程、不等式的转化 在解决函数、方程、不等式问题时,我们经常利用三者的联系进行 转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转 化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等) 就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用 解方程或考虑根的情形可求得变量;若可将变量间的不等量关系式 看成关于某个未知量的不等式,则解这个不等式可求得这个变量的 取值范围.
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热点二:构造函数模型解题 在解决应用问题时,将变量间的等量关系转化为函数关系,通过建立 函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数问题, 达到化难为易,化繁为简的目的.
(2019年·湖南)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C
三种部件的订单,每台产品需要三种部件的数量分别为2,2,1(单位: 件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该 企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件 的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
|B C | |C D |
x) D C, B =M x ,A D · D C=1A,可D 知 · =A M( +A N )·(A B + B M)=( AD+x D N)·

DC

AD
[ AD+(1-x) D ]C=1+x(1-x)+4(1-x)+x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,在0≤x≤1时,为
=
|
B
M

,则| | C· N 的|
|B C | |C D |
取值A M范围A N 是
.
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【解析】(法一)如图,由已知AB=2,AD=1,∠A= 可得AD⊥BD,又因 3


为|
B
M

=|
| C N可| 得|CN|=2|BM|,若设|BM|=x(0≤x≤1),则|CN|=2x, =D (N1-
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
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a 2 b 2 1 ,
【解析】(1)由题意得

1
b 2
⇒
1
a2 2,

b
2

1.
故所求的椭圆方程为 x 2 +y2=1. 2
(2)由题意可知切线的斜率一定存在,设直线l的方程为y=mx+n,
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【函数与方程的思想】 函数思想,就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和 研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图 象和性质去分析问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决的 思想.方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型——方程或方程组,通过解方程或方程组,或 者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想.
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运用函数思想解决问题主要从下面四个方面着手:一是根据方程与 函数的密切关系,可将二元方程转化为函数来解决;二是根据不等式 与函数的密切关系,常将不等式问题转化为函数问题,利用函数的图 象和性质进行处理;三是在解决实际问题时,常涉及最值问题,通常是 通过建立目标函数,利用求函数最值的方法加以解决;四是中学数学 中的某些数学模型(如数列的通项或前n项和)可转化为函数问题,利 用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决. 运用方程思想解决问题主要从以下四个方面着手:一是把问题中对 应的已知量与未知量建立相等关系,统一在方程中,通过解方程解决;
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此时 ≥150 0 = . 1500
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200 (1 k)x 200 (1 3)x 5 0 x
记T(x)= 5 30 7,5φx (x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,
则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max{ 1 0 x0,0 5 30}7.5 x
由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 1 0 x0 =0 5 30时75 x,φ(x)取最小值,
解得x= 4 0 0 .由于36< 4 0 <0 37,
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而φ(36)=T1(36)= 2 95 0 > 21 51,0
φ(37)=T(37)= 3 7 5 > 2 5 .0 此时完成订单任务的最短时间大于 2 5. 0
由 yy 2⇒m4yxx2=n4, · ⇒myy2m-4ny+4n=0,
由题意得(-4)2-4m·4n=0⇒mn=1, ①
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y m x n ,
又由


x2 2
⇒x2+2(mx+n)2=2
y2 1
⇒(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0.
又由题意得(4mn)2-4(1+2m2)·2(n2-1)=0⇒n2=2m2+1, ②
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已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3,若对一切的x∈(0,+∞),2f(x)
≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围为
.
【解析】2xln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+ 3 , x
设h(x)=2ln x+x+ 3x (x>0),则h'(x)=(x 3,x)(2x 1)
减函数,所以2≤ A M· A≤N 5,答案为[2,5].
(法二)由法一,可知如图建立平面直角坐标系xDy,
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设|BM|=a(0≤a≤1),则|CN|=2a,|DN|=2(1-a),故A(0,1),C( 3,-1),M( ,3 -a), A M=( ,-3a-1), =A N +A(1D -a) =(D0C,-1)+(1-a)·( ,-1)=3( - a,a3-2),3可 得 A M· A=N -a2-2a+5=-(a+1)2+6,可得2≤ ·A M ≤A5N . 【答案】[2,5] 【归纳拓展】本题将向量数量积转化为以x或a为变量的函数,然后 通过函数的值域求出取值范围.利用函数求最值时要注意自变量的 取值范围,如本题中如果忽视0≤x或a≤1,将得出错误的范围.

由①、②得

m

2
或2
,
m
2, 2
n 2
n 2 .
故直线l的方程为y= 2 x+ 或2 y=- 2x- . 2
2
2
【归纳拓展】本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化 为方程有实解的代数问题.一般地,当给出方程的解的情况求参数的
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范围时可以考虑应用“判别式法”,其中特别要注意解的范围. 总结: (1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0; (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为 不等式f(x)>0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的 性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点 处理数列问题十分重要;