专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用
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A．440 B．330 C．220 D．110
2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列” 如下： 共有 项，其中 项为0， 项为1，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数．若 =4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个
3．(2015湖北)设 ， ．若p： 成等比数列；q： ，则
其中表 （ =1,2,3 ）有 行，第1行的 个数是1,3,5， 2 -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 （n≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12 ，记此数列为
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意的 ，将数列 中落入区间 内的项的个数为 ，求数列 的前 项和 ．
32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ．
（Ⅰ）设 ，求证：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，且 是等比数列，求 和 的值．
33．（2011天津）已知数列 满足 ，
．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数 ，有 ．
26．（2013湖北）已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，
且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出符合条件的所有 的集合；
若不存在，说明理由．
27．（2013江苏）设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和．
（Ⅲ）设无穷数列 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若 的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有 个（s=1,2,…），求数列 的通项公式.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是
4.（2019北京理20）已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项 ，若 ，则称新数列 为 的长度为m的递增子列。规定：数列 的任意一项都是 的长度为1的递增子列。
（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列 的长度为P的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 ，若p<q，求证： ；
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn} 满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
18．（2015重庆）在数列 中， ， ．
（Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，证明： ．
19．(2014山东）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 = 求数列 的前 项和 ．
20．（2014浙江）已知数列 和 满足 ．若 为等比数列，且
（Ⅰ）求 与 ；
（Ⅱ）设 ．记数列 的前 项和为 ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
21．（2014湖南）已知数列{ }满足
（Ⅰ）若{ }是递增数列，且 成等差数列，求 的值；
（Ⅱ）若 ，且{ }是递增数列，{ }是递减数列，求数列{ }的通项公式．
22．（2014四川）设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上
（Ⅰ）用 表示 ，并写出 与 的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过 （ ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的值（用 表示）．
30．（2012浙江）已知数列 的前 项和为 ，且 = ，n∈N﹡，数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
31．（2012山东）在等差数列 中， ，
证明：当 时
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
15．（2016年四川高考）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中q>0， .
（I）若 成等差数列，求 的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： ．
16．（2015湖北）设等差数列 的公差为d，前n项和为 ，等比数列 的公比为q．已知 ， ， ， ．
记 ， ，其中 为实数.
（Ⅰ）若 ，且 ， ， 成等比数列，证明： ；
（Ⅱ）若 是等差数列，证明： ．
28．(2012山东)已知等差数列 的前5项和为105，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项和 ．
29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，记 ，求数列 的前n项和 ．
17．（2015陕西）设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， ．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较 与 的大小，并加以证明．
（Ⅱ）设 是等差数列，其首项 ，公差 ．若 是“H数列”，求 的值；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H数列” 和 ，使得 ( N )成立．
24．（2013安徽）设数列 满足 ， ，且对任意 ，函数
，满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
25．（2013广东）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 构成等比数列．
， 则
A． B． C． D．
二、填空题
6．(2018江苏)已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前 项和，则使得 成立的 的最小值为．
7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为．
8．（2014新课标2）数列 满足 ， =2，则 =_________．
9．（2013重庆）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 成等比数列，则 ．
10．（2011江苏）设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为1的等差数列，则 的最小值是________．
11．（2011浙江）若数列 中的最大项是第 项，则 =_______________．
三、解答题
12．(2018江苏)设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数列．
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．（2014新课标2）等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 项和 =
A． B． C． D．
5．（2014浙江）设函数 ， ， ，
，记
专题六数列
第十八讲数列的综合应用
2019年
1.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则
A．当b= 时，a10＞10B．当b= 时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10D．当b=-4时，a10＞10
2.（2019浙江20）设等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足：对每个 成等比数列.
(1)设 ，若 对 均成立，求 的取值范围；
(2)若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，并求 的取值范围（用 表示）．
13．（2017天津）已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于0， , ， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 ．
14．（2017浙江）已知数列 满足： ， ．
（ ）．
（Ⅰ）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 ．
23．(2014江苏)设数列 的前 项和为 ．若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，则称 是“H数列”．
（Ⅰ）若数列 的前n项和 ( N )，证明: 是“H数列”；
（Ⅱ）设 ，证明 是等比数列；
（Ⅲ）设 为 的前 项和，证明
34．（2011天津）已知数列 与 满足： ，
，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列；
（Ⅲ）设 证明： ．
35．（2010新课标）设数列 满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列的前n项和 ．
36．（2010湖南）给出下面的数Байду номын сангаас序列：
求和： ．
2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列” 如下： 共有 项，其中 项为0， 项为1，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数．若 =4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个
3．(2015湖北)设 ， ．若p： 成等比数列；q： ，则
其中表 （ =1,2,3 ）有 行，第1行的 个数是1,3,5， 2 -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 （n≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12 ，记此数列为
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意的 ，将数列 中落入区间 内的项的个数为 ，求数列 的前 项和 ．
32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ．
（Ⅰ）设 ，求证：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，且 是等比数列，求 和 的值．
33．（2011天津）已知数列 满足 ，
．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数 ，有 ．
26．（2013湖北）已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，
且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出符合条件的所有 的集合；
若不存在，说明理由．
27．（2013江苏）设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和．
（Ⅲ）设无穷数列 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若 的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有 个（s=1,2,…），求数列 的通项公式.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是
4.（2019北京理20）已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项 ，若 ，则称新数列 为 的长度为m的递增子列。规定：数列 的任意一项都是 的长度为1的递增子列。
（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列 的长度为P的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 ，若p<q，求证： ；
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn} 满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
18．（2015重庆）在数列 中， ， ．
（Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，证明： ．
19．(2014山东）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 = 求数列 的前 项和 ．
20．（2014浙江）已知数列 和 满足 ．若 为等比数列，且
（Ⅰ）求 与 ；
（Ⅱ）设 ．记数列 的前 项和为 ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
21．（2014湖南）已知数列{ }满足
（Ⅰ）若{ }是递增数列，且 成等差数列，求 的值；
（Ⅱ）若 ，且{ }是递增数列，{ }是递减数列，求数列{ }的通项公式．
22．（2014四川）设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上
（Ⅰ）用 表示 ，并写出 与 的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过 （ ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的值（用 表示）．
30．（2012浙江）已知数列 的前 项和为 ，且 = ，n∈N﹡，数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
31．（2012山东）在等差数列 中， ，
证明：当 时
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
15．（2016年四川高考）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中q>0， .
（I）若 成等差数列，求 的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： ．
16．（2015湖北）设等差数列 的公差为d，前n项和为 ，等比数列 的公比为q．已知 ， ， ， ．
记 ， ，其中 为实数.
（Ⅰ）若 ，且 ， ， 成等比数列，证明： ；
（Ⅱ）若 是等差数列，证明： ．
28．(2012山东)已知等差数列 的前5项和为105，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项和 ．
29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，记 ，求数列 的前n项和 ．
17．（2015陕西）设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， ．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较 与 的大小，并加以证明．
（Ⅱ）设 是等差数列，其首项 ，公差 ．若 是“H数列”，求 的值；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H数列” 和 ，使得 ( N )成立．
24．（2013安徽）设数列 满足 ， ，且对任意 ，函数
，满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
25．（2013广东）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 构成等比数列．
， 则
A． B． C． D．
二、填空题
6．(2018江苏)已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前 项和，则使得 成立的 的最小值为．
7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为．
8．（2014新课标2）数列 满足 ， =2，则 =_________．
9．（2013重庆）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 成等比数列，则 ．
10．（2011江苏）设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为1的等差数列，则 的最小值是________．
11．（2011浙江）若数列 中的最大项是第 项，则 =_______________．
三、解答题
12．(2018江苏)设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数列．
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．（2014新课标2）等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 项和 =
A． B． C． D．
5．（2014浙江）设函数 ， ， ，
，记
专题六数列
第十八讲数列的综合应用
2019年
1.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则
A．当b= 时，a10＞10B．当b= 时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10D．当b=-4时，a10＞10
2.（2019浙江20）设等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足：对每个 成等比数列.
(1)设 ，若 对 均成立，求 的取值范围；
(2)若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，并求 的取值范围（用 表示）．
13．（2017天津）已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于0， , ， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 ．
14．（2017浙江）已知数列 满足： ， ．
（ ）．
（Ⅰ）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 ．
23．(2014江苏)设数列 的前 项和为 ．若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，则称 是“H数列”．
（Ⅰ）若数列 的前n项和 ( N )，证明: 是“H数列”；
（Ⅱ）设 ，证明 是等比数列；
（Ⅲ）设 为 的前 项和，证明
34．（2011天津）已知数列 与 满足： ，
，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列；
（Ⅲ）设 证明： ．
35．（2010新课标）设数列 满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列的前n项和 ．
36．（2010湖南）给出下面的数Байду номын сангаас序列：
求和： ．