贵州省铜仁一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

铜仁一中2018—2019学年度第二学期高二期末考试
数学（文科）试题
考试时间为120分钟，满分为150分。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1.设集合}02|{≥-=x x M ,}31|{<<=x x N ,则M N =（ ）
A.
{|23}x x -<< B. {|23}x x ≤< C. {|13}x x <≤
D.{|32}x x -≤<
2.若直线的参数方程为⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 6241（t 为参数），则直线的斜率为（ ）
A ．
23 B ．23- C ．32
D ．32-
3.全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除 C ．存在一个被5整除的整数不是奇数 D ．存在一个奇数，不能被5整除
4.函数32)(-+=x e x f x
的零点所在的一个区间是（ ）
A ．）（0,21-
B ．），（2
1
0 C ．）（1,21 D ．），（231 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是( )
A ．3
x y =
B ．1
ln
||
y x = C ．||2x y = D ．cos y x = 6.设0.2
1
312
1log 3,,53a b c
⎛⎫
⎪
⎝⎭===,则（
）
c b a << .A b c a << .B b a c << .C c a b << .D
7.化极坐标方程02cos 2
=-ρθρ为直角坐标方程为（ ）
A ．202
2
==+y y x 或 B ．2=x C ．202
2
==+x y x 或 D ．2=y
8.函数x x
x x
e e y e e --+=-的图象大致为（ ）
A B C D
9.设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
10.设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x +1)=f (x )，且当(0,1]x ∈时f (x )=x (x -1)，则当
(2,1]x ∈--，f (x )的最小值是（ ）
A ．6
B ．2
C ．-1
D ．1
4
-
11.已知)(x f ,)(x g 均是定义在R 上的函数，且)()(),()(x g x g x f x f =--=-当0<x 时,
0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)1(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）
A ．(－1，0)∪(1，+∞)
B ．(－1，0)∪(0，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，+∞)
D ．(－∞，－1)∪(0，1)
12.设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若
在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”，已知当2m ≤时，32
11()62
f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上 ( )
A.既有极大值,也有极小值
B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值
D.没有极大值,也没有极小值
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。

13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=2x -3，则f (-3)= ;
14.设函数(
)22,2
42
x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则1(
)(10)f f = ; 15.已知函数13)(3
++-=a x x x f 在),2[+∞-∈x 上有3个不同的零点，则实数a 的取值范
围为 ;
16.已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=)0(,4)3( )0(,)(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有
0)
()(<--2121x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知
，设
：实数
满足
， ：实数 满足
．
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.（本小题满分12分）已知M ＝{x | x ≤－2或x 5 },N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}.
（1）若a ＝3, 求M ∪( N ).
（2）若N ⊆M ,求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知函数()1x
f x e x =-- （1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）若存在041,ln 3
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
，满足
成立，求a 的取值范围；
20.（本小题满分12分）已知函数f （x ）的定义域是R ，对任意实数x ，y ，均有f (x +y )=f (x )+f (y )， 且x ＞0时，f (x )＞0．
（1）求f (0)的值；
（2）证明：f (x )在R 上是增函数； （2）若f (﹣1)=﹣2．求不等式的解集．
21.（本小题满分12分）已知曲线1C 的参数方程为cos 1
sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩
(ϕ为参数)，以原点O 为
极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14π
ρθ-=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM θα=：)2
0(π
α<
<与曲线1C 交点为O 、M 两点，射线4
：ON =+
πθα与曲线2C 交于点N ，求1
OM ON
+
的最大值．
22. （本小题满分12分）已知函数
R a x ax x x f ∈++
=,2
1ln )(2
． （1）若0)1(=f ，求函数)(x f 的最大值；
（2）令1+--=ax ax x f x g 2
)()(，讨论函数)(x g 的单调区间；
（3）若2=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明2
1
521-≥+x x .
铜仁一中2018-2019学年高二年级第二学期期末考试
文科数学试题答案
一、填空题
二、填空题
13．-5 14. -1 15. （-3，1） 16. ]4
1
，0（
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 【答案】1）解：由 得
当 时， ，即 为真时实数 的取值范围是 .
由 ，得 ，即 为真时实数x 的取值范围是
因为 为真，所以 真且 真，
所以实数的取值范围是 .
所以，为真时实数的取值范围是 .
因为是的充分不必要条件
所以且
所以实数的取值范围为：.
18.【答案】（1）解：当a＝3时,N＝{x|4≤x≤5},
所以＝{x|x<4或x>5}.
所以M∪( )＝
（2）解：①当2a－1<a＋1,即a<2时,,
此时满足N⊆M.
②当2a－1≥a＋1,即a≥2时,,
由N⊆M,得所以
综上,实数a 的取值范围为
19. 【答案】(Ⅰ)
()1
x f x e '=- ()12
f e =-
()f x ∴在()()
1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=-- 即
()11y e x =--
(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10
x f x e '=-=
0x =
0x >时， ()0f x '>，0x <时， ()0f x '<
()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增
又041,ln 3x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，
()f
x ∴的最大值在区间端点处取到.
()11
111f e e --=-+=
44
4ln 1ln
333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
()414
41141ln 1ln ln 0
33333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭
()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在41,ln 3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦上最大值为1e ，
故a 的取值范围是：a <1
e .
20. 【答案】（1）解：令x=0，y=0，则f （0）=f （0）+f （0）， 即f （0）=0………2分
（2）解：设x 1＜x 2 ， 则x 2﹣x 1＞0， 由已知f （x 2﹣x 1）＞0，
则f （x 2﹣x 1）=f[x 2﹣（﹣x 1）]=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2）﹣f （x 1）＞0， 即f （x 2）＞f （x 1），
则函数f （x ）在R 上是增函数………7分
（3）解：令y=﹣x ，
则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0， 即f （﹣x ）=﹣f （x ），则f （x ）是奇函数 ∵f （﹣1）=﹣2． ∴f （1）=2
f （2）=f （1）+f （1）=2f （1）=4．
即不等式f （a 2+a ﹣4）＜4的等价为f （a 2+a ﹣4）＜f （2）． ∵函数f （x ）在R 上是增函数； ∴a 2+a ﹣4＜2． 即a 2+a ﹣6＜0． 解得﹣3＜a ＜2，
即不等式的解集为………12分
21. 【答案】21．解：（1）由曲线1C 的参数方程cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩
(ϕ为参数)得：
()2
222cos sin 11x y ϕϕ+=-+=，即曲线1C 的普通方程为()2211
x y -+=，
又
cos ,sin x y ρθρθ==， 曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程可化
为sin cos ρθρθ-=， 故曲线2C 的直角方程为0x y -+=
（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为1(,)ρα，2(,)4
πρα+，其中22ππ
α-<<
则12cos OM ρα==，
2
11sin ON ==αρ，
于是()1
2cos sin OM ON
+
=+=+αααϕ
其中2tan =ϕ，由于2
0π
α<<，当2
π
ϕα=+
1
OM ON
∴+
22.【答案】（1）因为
(1)102a
f =+
=，所以2a =-， 此时
2
()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ,
由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f =． ………4分 （2）21
()()1)ln (1)12
g x f x ax x ax a x =
-=-+-+-(，
所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
当0a >时，2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a =
．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1
(,)x a ∈+∞时，()0g x '<，
因此函数()g x 在1(0,
)x a
∈是增函数，在1
(,)x a ∈+∞是减函数．
综上，当0a ≤时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；
当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1(,)a
+∞．………………8分 （3）当2=a
时，2()ln ,0f x x x x x =++>．
由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=． 从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅．
令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
． 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥，
所以2
1212()()1x x x x +++≥，因为120,0x x >>,因此12x x + 12分。