2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合P={m|－3<m<1，Q={m∈R|(m-1)x2+(m-1)x－1＜0对任意实数x恒成立则下列关系中成立的是
A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=Q
参考答案：
A
略
2. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）
A．4，8 B．4，C．4（+1），D．8，8
参考答案：
C
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其表面积和体积可求．
解答：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
所以该四棱锥为正四棱锥，
其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，
则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥表面积S=4+4××2×=4（），
体积V==．
故选C．
点评：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．
3. 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则（）
A．3 B．C．5 D．
参考答案：
A
4. ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 设,则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
6. 已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（）
A．B． C.
D．
参考答案：
A
由图象知，,函数的最小正周期，则，又图象过点，代入得，，.将函数
的图象向左平移个单位后，得到的图象.故选A.
7. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】规律型．
【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．
【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：
则该几何体的左视图为C．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．
8. 已知函数，给出以下四个命题，其中为真命题的是
A、若，则
B、在区间上是增函数
C、直线是函数图象的一条对称轴
D、函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
参考答案：
C
9. “x≥1”是“lgx≥1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】lgx≥1，解得x≥10．即可判断出．
【解答】解：lgx≥1，解得x≥10．
∴“x≥1”是“lgx≥1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10. 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数f（x）和g（x）的导函数，然后由f（0）=g（0），f′（0）=g′（0）联立方程组求解a，b的值，则答案可求．
【解答】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数对任意实数满足：，且，则下列结论正确的是_____________．
①是周期函数；②是奇函数；③关于点对称；④关于直线对称．
参考答案：
①②③
略
12. 若，，，则的值为
_______________.
参考答案：
略
13. 在锐角△ABC中，已知AB=，BC=3，其面积S△ABC=，则
AC=．
参考答案：
3
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用余弦定理可求AC的值．
【解答】解：∵AB=2，BC=3，面积S△ABC=AB?BC?sinB=2×3×sinB=3，
∴解得：sinB=，
∵由题意，B为锐角，可得：cosB==，
∴由余弦定理可得：AC===3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14. 已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f （x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，
2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
参考答案：
①②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；分析法；简易逻辑．
【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）
=0；
②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；
④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．
【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）?（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
【点评】考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．
15. 已知则下列函数的图象错误的是（）
参考答案：
D
略
16. 已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项
为 .
参考答案：
17. 甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为．
参考答案：
36
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，
，，,都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线；
(Ⅱ)求棱锥的体积.
参考答案：
本题考查了线线平行的证明,以及求棱锥的体积.难度中等.主要考查学生定理性质的灵活运用,以及体积公式运用.
证明:(1)取中点,连,都是正三角形,则
;取中点,连,都是正三角形。

则,,∴平面平面.
四点共面,∴.
(2)由(1)知,又平面与平面垂直,平面
. 19. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PA=1，求点E到平面PFD的距离．参考答案：
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LX：直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）连接AF，通过计算利用勾股定理证明DF⊥AF，证明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后证明DF⊥PF．
（2）利用等体积方法，求点E到平面PFD的距离．
【解答】（1）证明：连接AF，则AF=，DF=，
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．
（2）解：∵S△EFD=2﹣=，
∴V P﹣EFD==，
∵V E﹣PFD=V P﹣AFD，
∴，解得h=，即点E到平面PFD的距离为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．
20. （12分）已知、是双曲线的左、右焦点，点是曲线上任意一点，且
.
（I）求曲线的方程；
（II）过作一直线交曲线于、两点，若，求面积最大时直线的方程.
参考答案：
解析：（I）双曲线的左、右焦点分别是、
由得曲线是以、为焦点、长轴长为4的椭圆。

曲线的方程
………………………… 4分
（II）由可知点是线段的中点，设其坐标为
①若直线的斜率不存在，则直线的方程是,此时,点与重合.不能构成三角形.
②若直线的斜率存在,设为,则直线的方程是
联立方程组得
将(1)代入(2),整理得:…………………………6分设，由韦达定理可得
………………………… 8分
21. 若函数的定义域为.当时，求的最值及相应的的值.
参考答案：
略
22. 中央电视台为了解一档诗歌类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示：其中一个数字被污损
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率； （2）随着节目的播出，极大激发了观众对诗歌知识的学习积累热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习诗歌知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：
由表中数据，试求线性回归方程
，并预测年龄在60岁的观众周均学习诗歌知识的时间．
参考公式： =， =
﹣．
参考答案：
【考点】BK
：线性回归方程．
【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；
（2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间． 【解答】解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8，
∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况， 其概率为
=；
（2）=35， =3.5， ==
，
=﹣
=
，
∴=
x+
． x=60时， =5.25．。