利用最小二乘法减少铂热电阻测温非线性误差

利用最小二乘法减少铂热电阻测温的非线性误差
1 引言
各种智能仪表中，广泛使用铂热电阻作为温度传感器。

典型的用法是前端采用不平衡电桥测量铂热电阻随温度变化的毫伏信号输出,再经过放大和A/D 转换，送到单片机中进行运算。

这种用法中，铂热电阻的非线性和不平衡电桥的非线性，给最后的温度测量带来一定的误差。

解决铂热电阻不平衡电桥测温法中非线性误差的方案有许多种，我们采用的是最小二乘法，只需要一个简单的多项式即可以获得满意的测量精度。

2 铂热电阻的非线性
我们知道铂热电阻在0～850℃范围内随温度变化的阻值公式为：
R t =R 0(1+at +bt 2) (1)
显然，随着温度的升高,铂热电阻的非线性越来越严重。

以铂电阻Pt100为例，式中的常数为： R 0=100Ω
a =3.90802×10-3℃-1
b =-5.802×10-7℃-2
如果采用折线法拟合，则在100～200℃区间段做简单的直线拟合，即设： R l =A (t -100)R 0+R 100
13010020010734.3100
1005
.3884.75100--⨯=⨯-=⨯-=
C R R R A
则可以得到在此区间的误差，见表1。

采用折线法固然可以减少误差，但是如果对于0～800℃测温方案，则需要8个折线公式，而且需要准确地选取折线点。

3 电桥的非线性
当铂热电阻阻值变化幅度较大时，不平衡电桥即存在严重的非线性。

由图1可知U 0和R t 的关系是：
)(
2
33
10R R R R R R U U t t +-+=
若令R 1=R 2，R 3=R 0，设R t =R 0+R Δt ，则有：
t t R R R R R R UR U ∆∆+++-
=)
)((10101
0 (2)
式中 R Δt =R 0(at+bt 2)
因为R 1+R 0 >>R Δt ，如果对它做简单的线性化处理，可得：
t l R R R R U
U ∆+-
=12
10)
( (3) 其误差为：
1
0000R R R U U U U t
l +=
-=
∆
图1
不平衡电桥线性处理的误差见表2。

由此可见，在实际应用中，系统的误差主要是不平衡电桥的非线性，同时，当测温范围>100℃时，这种线性化处理的误差将随着量程的增加而增加，最终达到不能允许的程度。

4 解决方案
铂热电阻不平衡电桥法测温方案中非线性误差的常用解决方案有插值法、折线法和迭代法。

但是插值法和折线法对内存空间有一定要求，同时要求选取合适的插值点，而迭代法则存在运算复杂,运算周期长的缺点。

在设计智能热量计的过程中，我们采用最小二乘法，很好地解决了铂热电阻不平衡电桥法测温方案中的非线性误差。

经过推导，可知送到A/D 转换电路的电压U t 为：
t t t R R R R R R UR K U ∆∆+++=
)
)((10101
0 (5)
)())
()((202
010101
0bt at R bt at R R R R R UR K U t +++++-
=
而实际应用中是已知电压值U 求温度值t 。

只要有足够的数据点，就可以用最小二乘法进行曲线拟合。

式(5)可以简化为：
t t t
t R R K U ∆∆+⨯=
)
2.5(2.5 (6)
式中
R Δt =R 0(at+bt 2) K t =K 0UR 1
对于使用P t 100，量程为0～800℃，对应输入电压为0～5V 的测温方案，R Δt =0.27551k Ω，U =5.000V ，则可求得K t =516.726289。

再将各温度对应下的R Δt 值代入公式(6) ，即可得到一组数据点，见表3。

表3 温度、电压对应表
在实际计算过程中,为防止运算溢出,拟合多项式的形式为：
332210)()()(U U a U U a U U a a t -+-+-+=
式中
64544.217117
1
==∑=i i U U
用最小二乘法进行拟合得：
a 0=385.949 a1=159.635 a 2=6.06577 a 3=0.336545
即对于使用Pt100，量程为0～800℃，对应输入电压为0～5V 的测温方案，其多项式拟合公式为： t =385.949+159.635(U -2.64544)+6.0677(U -2.64544)2+0.336545(U -2.64544)3 其误差见表4。

此公式与数据点误差绝对值的最大值为0.17℃。

同理，对于使用Pt100，量程为0～200℃，对应输入电压为0～5V的测温方案，其多项式拟合公式为：
t=99.097+39.9947(U-2.533752)+0.36148(U-2.533752)2+0.00485594(U-2.533752)3
此公式与数据点误差绝对值的最大值为0.014℃。

此方法使用起来非常简单，速度快，误差小，测温范围0～200℃时，误差±0.1℃。

该方法的原理同时还可以应用于热电偶测温中。