山东省济南市天桥区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

山东省济南市天桥区19-20学年九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列几何体中，主视图是三角形的几何体的是()
A. B. C. D.
2.反比例函数y=k
x
(k<0)的图象如图，A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()
A. y1<y2<y3
B. y2<y1<y3
C. y3<y2<y1
D. y3<y1<y2
3.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一
个球是红球的概率为()
A. 1
4B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
4.抛物线y=(x+1)2+2的顶点是()
A. (1,2)
B. (−1,2)
C. (−1,−2)
D. (1,−2)
5.如图，已知直线a//b//c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，
直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若AB
BC =1
2
，则DE
EF
=()
A. 1
3B. 1
2
C. 2
3
D. 1
6.如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则
sin∠BAC为()
A. √2
2B. √5
5
C. √10
5
D. √10
10
7.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD=35°，则∠ABD的
度数为()
A. 25°
B. 35°
C. 55°
D. 75°
8.若关于x的一元二次方程4x2−4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是()
A. −1
B. 1
C. −4
D. 4
9.如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别
在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为()
A. 60mm
B. 160
13mm C. 20mm D. 240
13
mm
10.对于反比例函数y=2
x
，下列说法不正确的是()
A. 点(−2,−1)在它的图象上
B. 它的图象在第一、三象限
C. 当x>0时，y随x的增大而增大
D. 当x<0时，y随x的增大而减小
11.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆
两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为()(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈
0.75)
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(1,−1)，C(2,2)，抛物线y=ax2(a≠0)经过△ABC区
域(包括边界)，则a的取值范围是()
A. a≤−1或a≥2
B. −1≤a<0或0<a≤2
C. −1≤a<0或1
2<a≤1 D. 1
2
≤a≤2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.已知二次函数y=x2，当x>0时，y随x的增大而_____(填“增大”或“减小”)．
14.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为______ ．
15.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒
子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数n=________．
16.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，OE
EA =4
3
，则FG
BC
=____．
17.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点
间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为______．
18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过
点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，
则AH=____．
三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）
)−1−2sin60°．
19.17.计算：(3.14−π)0+|1−√3|+(−1
4
20.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
(1)求证：△ADE∽△BEF；
(2)若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．
21.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长．
22.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如
图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．
23.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，
小亮从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x,y)．
(1)若小亮摸出的小球上的数字是2，那么小刚摸出的小球上的数字是4的概率是多少？
(2)利用画树状图或列表格的方法，求点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率．
24.19.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
(1)求证：∠CAD=∠BDC；
AD，AC=3，求CD的长．
(2)若BD=2
3
(x>0)的图象25.如图1，一次函数y=kx−3(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=4
x 交于点B(4,b)．
(1)b=______；k=______；
(2)点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合)，过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函
数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；
(3)将(2)中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点O的
对应点O′落在该反比例函数图象上(如图2)，则点D′的坐标是______．
26.如图，△ABC中，D是边BC的中点，E是AB边上一点，且AD⊥CE于O，AD=AC=CE．
(1)求证：∠B=45°；
(2)求OE
的值；
OC
(3)直接写出BE
的值．
EO
27.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为D(−1,4)，与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积是△ABC面积的2倍，若存在，请求出P点坐
标；若不存在，说明理由．
(3)点M是抛物线上一动点，且在直线BC上方，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，MN的
最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：C．
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
2.答案：D
解析：解：∵反比例函数y=k
x
(k<0)，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，且当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，
∵A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)三点都在该反比例函数的图象上，
∴y3<y1<y2，
故选：D．
根据反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
3.答案：D
解析：解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=4
4+2=2
3
．
故选：D．
根据概率公式计算．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4.答案：B
解析：
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．
由抛物线解析式可求得顶点坐标．
解：∵y=(x+1)2+2，
∴顶点坐标为(−1,2)，
故选B．
5.答案：B
解析：解：∵a//b//c，
∴DE
EF =AB
BC
=1
2
．
故选：B．
直接根据平行线分线段成比例定理求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.答案：D
解析：解：如图所示：连接BD，交AC于点E，
由正方形的性质可得：BD⊥AC，
由小正方形的边长为1，结合勾股定理得BD=√2，AB=√5，
根据正方形的性质得BE=√2
2
，
则sin∠BAC=EB
AB =
√2
2
√5
=√10
10
．
故选：D．
直接利用网格结合正方形的性质构造直角三角形，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
7.答案：C
解析：解：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=35°，
∴∠ABD=90°−35°=55°．
故选：C．
连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=35°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.答案：B
解析：解：∵一元二次方程4x2−4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42−4×4c=0，
∴c=1，
故选：B．
根据判别式的意义得到△=42−4×4c=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
9.答案：A
解析：
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，证明出△APM∽△ABC是解题的关键．
解：设PM=3xmm，则PQ=2xmm，
则AE=AD−2x=80−2x，
∵PMNQ是矩形，∴PM//BC，
∴△APM∽△ABC，
∴PM
BC =AE
AD
，
即3x
120=80−2x
80
，
解得x=20mm，
则PM=3x=60mm．
故选A．
10.答案：C
解析：
本题考查了反比例函数y=k
x
(k≠0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质用排除法解答．
解：对于A，当x=−2时，y=−1，故A正确;对于B，因为2>0，所以函
数图象在第一、三象限，故B正确;因为2>0，所以在每个象限内，y
随x的增大而减小，故C错误，D正确．
故选C．
11.答案：A
解析：
本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，.先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE⋅sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF−∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE⋅sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米)，
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故选：A．
12.答案：B
解析：
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线
与x轴没有交点．讨论：当抛物线开口向上时，把A点坐标代入y=ax2得的最大值2，此时0<a≤2；当抛物线开口向下时，把B点坐标代入y=ax2得a的最小值−1，此时−1≤a<0．
解：当抛物线开口向上时，即a>0时，抛物线y=ax2(a≠0)过A点时，a的值最大，把A(1,2)代入y=ax2得a=2，此时0<a≤2；
当抛物线开口向下时，即a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)过B点时，a的值最小，把B(1,−1)代入y=ax2得a=−1，此时−1≤a<0，
综上所述，a的范围为−1≤a<0或−1≤a<0．
故选：B．
13.答案：增大
解析：
本题主要考查了二次了二次函数的性质.根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．
解：∵二次函数y=x2开口向上，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而增大．
故答案为增大．
14.答案：16
解析：解：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，
∴BC=2EF=2×2=4.即AB=BC=CD=AD=4.故菱形的周长为4BC=4×4=16．
故答案为：16．
根据中位线定理先求边长BC，再求周长．
此题很简单，考查的是菱形的性质及三角形中位线定理．
菱形的性质：菱形的四条边相等．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半．
15.答案：30
解析：
本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．利用概率公式即可得出结论．
解：由题意得9
n
×100％=30%，
解得n=30．
故答案为30．
16.答案：4
7
解析：
直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE
EA =4
3
，
∴OE
OA =4
7
，
则FG
BC =OE
OA
=4
7
．
故答案为：4
7
．
17.答案：πa
解析：解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴AB⏜的长=BC⏜的长=CA⏜的长=60πa
180=πa
3
，
∴勒洛三角形的周长为πa
3
×3=πa．
故答案为πa．
首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出AB⏜
的长=BC⏜的长=CA⏜的长=60πa
180=πa
3
，那么勒洛三角形的周长为πa
3
×3=πa．
本题考查了弧长公式：l=nπR
180
(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，也考查了等边三角形的性质．
18.答案：24
5
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8，
∵S
菱形ABCD =1
2
AC×BD=24，
∴AC=6，
∴OC=1
2
AC=3，
∴BC=√OB2+OC2=5，
∵S
菱形ABCD
=BC×AH=24，
∴AH=24
5
；
故答案为：24
5
．
根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC 是解题的关键．
19.答案：−4
解析：
分别利用零指数幂法则、绝对值的代数意义、负整数指数幂法则以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
原式=1+√3−1−4−2×√3
2
=1+√3−1−4−√3=−4．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
(2)∵AE：EB=1：2，
∴AB：EB=3：2，
∵AD=AB，
∴AD：EB=3：2，
∵△ADE∽△BEF，
∴DE：EF=AD：EB=3：2．
解析：本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)利用相似三角形的判定定理、正方形的性质证明；
(2)根据相似三角形的对应边的比相等计算．
21.答案：解：过A点作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，
AD=AB⋅sin60°=5×√3
2=5√3
2
．
BD=AB⋅cos60°=5×1
2=5
2
在Rt△ADC中，
DC=√AC2−AD2=√72−(5√3
2
)2=
11
2
所以，BC=DC+BD=11
2+5
2
=8．
解析：可通过构建直角三角形来求解，过点A作AD⊥BC于D，AD是公共直角边，因此先求出AD 是解题的关键，在Rt△ABD中，有AB的长，有∠B的度数，可以求出BD的长，AD的长，在Rt△ADC 中，求出了AD的长，有AC的长，因此根据勾股定理可求出CD的长，有了BD、CD的长，也就求出了BC的长．
此题考查解直角三角形问题，在用解直角三角形的方法求线段长的时候，没有直角三角形的条件下，要根据已知条件构建直角三角形进行求解．
22.答案：解：不符合．
设小路的宽度均为x米，则花园的长为(16−2x)米，宽为(12−2x)米，
根据题意得：(16−2x)(12−2x)=1
2
×16×12，
解得：x1=2，x2=12(舍去)．
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．
解析：设小路的宽度均为x米，则花园的长为(16−2x)米，宽为(12−2x)米，根据矩形的面积公式结合花园面积是荒地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.答案：解：(1)∵小亮摸出的小球上的数字是2
∴小刚摸出的小球上的数字是4的概率是1
3
；
(2)画树状图得：
∴共有12种等可能的结果数，即点P所有可能的坐标为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)；
点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的结果有(2,4)和(4,2)共2个，
∴点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率为2
12=1
6
．
解析：本题考查概率公式，列表法与树状图法，一次函数图象上点的坐标特征，
(1)根据小亮摸出的小球上的数字是2，而小刚从剩下的3个小球中抽取一个，数字是4的概率即为1
3
，可得到结果；
(2)首先用树状图(或表格)列出P点坐标的所有等可能情况，再找出其中在函数y=−x+6的图象上
的坐标数量，进而可求出点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率．
24.答案：(1)证明见解析；(2)CD=2．
解析：
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质.(1)利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周
角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；(2)利用相似三角形的性质找出CD
AC =2
3
.
由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=2
3
AD、AC=3，即可求出CD的长．
(1)证明：连接OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
(2)∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴BD
AD =CD
AC
．
∵BD=2
3
AD，
∴BD
AD =2
3
，
∴CD
AC =2
3
，
又∵AC=3，
∴CD=2．
25.答案：(1)1；1；
(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4
m
)，
∴S△OCD=1
2m(4
m
−m+3)=−1
2
m2+3
2
m+2=−1
2
(m−3
2
)
2
+25
8
，
∵0<m<4，−1
2<0，∴当m=3
2
时，△OCD面积取最大值，最大值为25
8
；
(3)(
7
2
,
14
3
)
解析：解：(1)把B(4,b)代入y=4
x (x>0)中得：b=4
4
=1，
∴B(4,1)，
把B(4,1)代入y=kx−3得：1=4k−3，解得：k=1，故答案为：1，1；
(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4
m
)，
∴S△OCD=1
2m(4
m
−m+3)=−1
2
m2+
3 2m+2=−1
2
(m−3
2
)2+25
8
，
∵0<m<4，−1
2
<0，
∴当m=3
2时，△OCD面积取最大值，最大值为25
8
；
(3)由(1)知一次函数的解析式为y=x−3，
由(2)知C(3
2,−3
2
)、D(3
2
,8
3
).
设C′(a,a−3)，则O′(a−3
2,a−3
2
)，D′(a,a+7
6
)，
∵点O′在反比例函数y=4
x
(x>0)的图象上，
∴a−3
2=4
a−3
2
，解得：a=7
2
或a=−1
2
(舍去)，
经检验a=7
2是方程a−
3
2
=4
a−3
2
的解．
∴点D′的坐标是(7
2,14 3
).
(1)由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出b值，进而得出点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值；
(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4
m
)，根据三角形的面积即可得出S△OCD关于m的函数关系式，通过配方即可得出△OCD面积的最大值；
(3)由(1)(2)可知一次函数的解析式以及点C、D的坐标，设点C′(a,a−3)，根据平移的性质找出点O′、D′的坐标，由点O′在反比例函数图象上即可得出关于a的方程，解方程求出a的值，将其代入点D′的坐标中即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是：(1)求出点B的坐标；(2)找出S△OCD关于m的函数关系式；(3)找出关于a的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的性质找出平移后点的坐标是关键．
26.答案：(1)证明：作AF⊥BC于F，如图1所示：
∵AD=AC=CE，
∴DF=CF，∠ADC=∠ACD，∠CEA=∠EAC，
∵∠1+∠ADC=90°，∠ACD+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠B+∠1=∠CEA=∠EAC=∠EAF+∠2，
∴∠B=∠EAF，
∵∠B+∠EAF=90°，
∴∠B=∠EAF=45°；
(2)解：设DF=CF=m，则BC=4m，AF=BF=3m，由勾股定理得：CE=AD=√10m，
∵△ACD的面积=1
2AD×OC=1
2
CD×AF，
∴AD×OC=CD×AF，
即OC×√10m=2m×3m，∴OC=6
√10
m，
∴OE=CE−OC=√10m−6
√10m=4
√10
m，
∴OE
OC =2
3
；
(3)解：作EG⊥BC于G，如图2所示：
则△BEG是等腰直角三角形，
∴EG=BG，
设EG=BG=x，则CG=4m−x，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：x2+(4m−x)2=(√10m)2，解得：x=m，或x=3m(舍去)，
∴EG=m，
∴BE=√2m，
∴BE
EO =√2m4
√10m
=√5
2
．
解析：(1)作AF⊥BC于F，由等腰三角形的性质得出DF=CF，∠ADC=∠ACD，∠CEA=∠EAC，证出∠1=∠2，∠B=∠EAF，即可得出结论；
(2)设DF=CF=m，则BC=4m，AF=BF=3m，由勾股定理得：CE=AD=√10m，由三角形
的面积先得出AD×OC=CD×AF，求出OC=
√10m，得出OE=CE−OC=
√10
m，即可得出结果；
(3)作EG⊥BC于G，则△BEG是等腰直角三角形，得出EG=BG，设EG=BG=x，则CG=4m−x，在Rt△CEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出EG=m，BE=√2m，即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
27.答案：解：(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为D(−1,4)，且与y轴交于点C(0,3)，
∴{−b
2a
=−1
4ac−b2
4a
=4
c=3
，解得{
a=−1
b=−2
c=3
,
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；(2)存在，设P(x,−x2−2x+3)．
令−x2−2x+3=0解得x1=−3，x2=1．∴A(1,0)，B(−3,0)，
∴AB=4，又OC=3．
∴S△ABC=1
2AB·OC=1
2
×4×3=6．
S△PAB=1
2AB·|y|=1
2
×4×|−x2−2x+3|，
∵2S△ABC=12．
∴−x2−2x+3=6或−x2−2x+3=−6，
x2+2x+3=0此方程无实数解．
解x2+2x−9=0，得x=−1±√10，
x1=−1+√10，x2=−1−√10，
当x=−1+√10时，y=−6，x=−1−√10时，y=−6．∴P(−1+√10，−6)或P(−1−√10，−6)．
(3)设直线BC 的解析式为y =kx +b′(k ≠0)
∴直线BC 过B(−3,0)，C(0,3)
{−3k +b′=0b′=3
解得 {k =1b′=3, ∴直线BC 的解析式为：y =x +3，
设M 点坐标为(x,−x 2−2x +3)，
又MN//y 轴交直线BC 于点N ，
∴N(x,x +3)，
∵M 点在BC 上方，
∴MN =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x
=−(x 2+3x)=−(x +32)2+94，
∴当x =−32时，MN 有最大值，最大值为 94．
解析：此题是二次函数的综合运用问题.掌握二次函数的图象和性质，是解答此题的关键．
(1)直接根据待定系数法求出即可．
(2)根据三角形ABC 和三角形PAB 的面积关系，建立一元二次方程，并解方程，即可求得点P 的坐标；
(3)先求出直线BC 的解析式，再设出M 、N 点坐标，根据MN//y 轴，表示出MN 的长度进行解答即可．。