4 四步骤交通需求预测模型(2.1)出行分布预测
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1 k 1 Ak q j ij i
步 3：设 f（Fgi，Faj） 为增长函数，计算第（k+1）次预测值： qij
k 1
k 1 步 4：检验预测结果：计算新的产生量和吸引量 Pi k 1 qij ，
F
k 1 pi
P ki1 ， Pi
F
k 1 aj
Aj
j
1 Ak j
2 出行分布预测
3 增长函数法 （3）平均增长率法 A. 方法原理：该方法认为qij的增长与i区产生量 的增长及j分区吸引量的增长同时相关，而且相关 的程度也相同，增长函数为 1 1 Fpi Fai f 平 F pi，Faj f 平 F Fai Fpi pi， aj 2 2 B. 特点评价：
该法比常增长率法合理，是一种最常用的方法
在实际运用时，因迭代步数较多，计算速度稍慢
2 出行分布预测
3 增长函数法
（4）底特律法（Detroit） A. 方法原理：此法认为，qij的增长与i分区产生 量增长率成正比，而且还与j分区吸引量增长率与 整个区域吸引量增长率的相对比率成正比
B. 特点评价：
A j A0 Pi j f D Fpi，Faj Fpi Q Q 0 Pi 0 A j A0 j Faj
2 出行分布预测
1 基本概念 （1）出行分布量 [例题]：分析两个交通小区i，j之间的出行分布 量
home factory home 小区i 5 6 小区j 1 2 3 4 factory home factory
qij=4 qji=2
2 出行分布预测
1 基本概念 （2）出行分布矩阵（PA矩阵）
0 0 0 q1 q (F F 13 13 p1 a3 ) / 2 4.0 (1.3786 1.3667) / 2 5.490
0 0 0 q1 q (F F 21 21 p2 a1 ) / 2 7.0 (1.8020 1.4036) / 2 11.219 0 0 0 q1 q (F F 22 22 p2 a2 ) / 2 38.0 (1.8020 1.8060) / 2 68.551 0 0 0 q1 q (F F 23 23 p2 a3 ) / 2 6.0 (1.8020 1.3667) / 2 9.506
出行分布矩阵是一个二维表（矩阵），行坐标为 吸引分区号，列坐标为产生分区号，元素为出行 分布量
A P 1 2 ┊ n 小计 q12 q21 … qn1 A1 q12 q22 … qn2 A2 … … … … … q1n q2n … qnn An P1 P2 ┊ Pn Q 1 2 … n 小计
2 出行分布预测
bij
0 q ij Faj j 0 qij Faj
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
② Frator还认为，qij也应与i分区规划年的产生 量 Pi成正比 0 0 ③综上两点有：
q Pi bij Pi F
1 ij 0 0 pi
q
j
qij Faj
k k 在允许一定误差率（如 3%）的前提下，对所有的 i 和 j 考察： Fpi 1，Faj 1 ？若是，
k 1 k 1 为之所求，今 qij qij ，停止；否则进行下一步迭代，令 k=k+1，转至第 3 继续 qij
2 出行分布预测
3 增长函数法
（2）常增长率法
A. 方法原理：该方法认为qij的增长仅与i区的产 生量增长率有关，增长函数为： Pi f 常 Fpi , Faj Fpi 0 Pi B. 特点评价： 只单方面考虑产生量增长率对增长函数的影响， 忽视了吸引量增长率的影响 由于产生量与吸引量的不对称性，该方法的预测 精度不高，是一种最粗糙的方法
0 Fa A2 / A0 2 90.3/ 50.0 1.8060 2 0 0 Fa A3 / A3 36.9 / 27.0 1.3667
3
[例题1]：求解过程
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：求解过程 （2）第1轮迭代计算预测分布量，k=0
k 1 k k k qij qij f（Fpi ，Faj ）
Lk aj
k k q ij Fpi i
Ak j
为第k轮迭代分区j的“吸引位置系数”
Lkpi Lk aj 2
k k k k f ( F , F ) F F 最终推导Frator增长函数为： F pi aj pi aj
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
A. 方法原理：
j j
该方法是在底特律市1956年规划首次被开发利用， 收敛速度较快；等效于使用现状出行分布表的同 时概率最大化方法理论求解结果
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
1954年Frator提出了分别从产生区和吸引区两个 角度分析计算qij，然后取平均值作为增长函数 ① Frator认为，qij与i区出行量中j分区的“相对 吸引增长率”bij成正比：
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：求解过程 （2）第1轮迭代计算预测分布量，k=0
q
k 1 ij
q f（F ，F ）
k ij k pi k aj
0 0 0 q1 q (F F 31 31 p3 a1 ) / 2 4.0 (1.3846 1.4036) / 2 5.576
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题
1 1 Fpi Fai f 平 F pi，Faj f 平 F Fai Fpi pi， aj 2 2 （1）求各小区产生量和吸引量的增长率，k=0 Fp01 P1 / P10 38.6 / 28.0 1.3786 Fp02 P2 / P20 91.9 / 51.0 1.8020 Fp03 P3 / P30 36.0 / 26.0 1.3846 0 0 Fa A / A 1 1 39.3/ 28.0 1.4036 1
Q Pi Aj qij qij
i j i j j i
出行分布预测
2 预测方法种类
（1）增长率法 A. 增长函数法：具体包含4种 B. Fueness约束条件法 （2）引力模型法 A. 单约束引力模型 B. 双约束引力模型
2 出行分布预测
3 增长函数法 （1）总体思路
0 ij
0 Faj
再从吸引区j分区的角度分析同样分析得到
0 0 q F ij pi 2 0 qij A0 F 0 0 j aj q F ij pi j
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法 A. 方法原理：
1 2 、 qij 是表示同一个量 qij ，故预测值应取其平均值 qij
0 aj 0 pi
0 0 A L L i j 0 0 0 q F F ij pi aj 0 q F 2 pi i
0 j 0 ij
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
k P i 为第k轮迭代分区i的“产生位置系数” Lkpi k k qij Faj j
0 ij
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法 A. 方法原理： ui、vj两个系数不是简单地等于产生量或吸引量的 增长率Pi / P0i、Aj / A0j，必须满足两个约束条 0 件 q u q ij i ij v j Pi (i=1，2，…，n)
0 q v q ij j ij ui Aj (j=1，2，…，n) j i
步 3：用 vkj 代入原方程组求解{uk+1i}
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
B. 求解算法：
步 4：再用新求出的 uk+1i，代入原方程组求解{vk+1j}
步 5：检验收敛性。 对所有的 i、j，考察 ukj 与 uk+1j、vkj 与 vk+1j 的相对偏差<3%？ 若是，{ukj}与{vkj}为之所求，停止；否则返回第 3 步
0 0 0 q1 q (F F 11 11 p1 a1 ) / 2 17.0 (1.3786 1.4036) / 2 23.648
0 0 0 q1 q (F F 12 12 p1 a2 ) / 2 7.0 (1.3786 1.8060) / 2 11.146
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法 B. 求解算法： 步 1：初始化。令所有的 u0i =1.0，k=0
步 2：用方程组求解 vj。此时方程组简化为
0 q ij v j Pi j
(i=1, 2, …, n)
这是一个线性方程组，用线性代数的知识不难求解 设所得的解为{vkj：(j=1, 2, …, n) }
0 0 0 0 qij Fpi 1 0 0 qij Faj 0 0 qij Pi Fpi A j F aj 0 0 0 0 2 q F q F ij aj ij pi j i 0 F F P 0 i qij 0 0 2 q ij Faj j
1 基本概念
（2）出行分布矩阵（PA矩阵） 假定第一标号i为产生小区，第二标号j为吸引小区 产生量Pi、吸引量Aj、分布量qij、出行总量Q关系
P P qq i i ij， ij，
j j
A A qq j j ij ij
i i
(i (,i,j j 1, 1 , ,n ,n ))
交通工程本科课程
交通规划理论与方法（4）——
“四步骤”交通需求预测模型
西南交通大学交通运输学院
杨 飞 （博士、讲师）
交通运输学院
2 出行分布预测
1 基本概念
（1）出行分布量
分区i与分区j之间平均单位时间内的出行量。单位 时间可以是一天、一周、一月等，也可以是专指高 峰小时 qij——以分区i为产生点（不一定是出行的起点）， 以分区j为吸引点（不一定是出行的终点）的出行 量 qji——以分区j为产生点，分区i为吸引点的出行量
Fueness于1956年提出的一种增长率法，认为： 两个分区之间出行分布量qij的预测值与此两个分 0 区之间出行分布的现状值 qij 成正比，还与产生 分区的规划年产生量预测值、吸引分区的规划年 吸引量预测值有关，这种关系可用两个系数ui、vj 表示（分别称之为产生系数、吸引系数）
qij q ui v j
i
j
因此，这个方法被称作“Fueness约束条件法”， 又叫做“双约束条件增长率法”
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
B. 求解算法：
从数学上来讲，2n个方程所组成的联立方程组可以 解出这两组未知的系数ui、vj （i，j=1，2，…，n） （共2n个） 由于这个方程组是非线性的，用解方程的方法，求 解过程将十分复杂 Furness提出用迭代法进行求解
0 步 1：用 qij 表现状分布量， P0 i 、 A0 j 表现状产生量、吸引量；Pi、Aj 表为由预测得到的
规划年产生量、吸引量的预测值，令 k=0
0 步 2：计算各分区第 0 次产生增长率、吸引增长率： Fpi
Aj Pi 0 ， F aj Pi 0 A0 j
k k k qij f（Fpi ，Faj ）
2 出行分布预测
3 增长函数法
（6）Fueness法 C. 特点评价： Furness法的收敛速度可与Frator法媲美， 但需要求解线性方程组比较费时，尤其是当分区 数目n较大的时候
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：已知3个交通小区的现状PA表和规划年 各小区的产生量和吸引量，试用平均增长率法求 解规划年PA矩阵。设定收敛标准为3% 现状PA
步 3：设 f（Fgi，Faj） 为增长函数，计算第（k+1）次预测值： qij
k 1
k 1 步 4：检验预测结果：计算新的产生量和吸引量 Pi k 1 qij ，
F
k 1 pi
P ki1 ， Pi
F
k 1 aj
Aj
j
1 Ak j
2 出行分布预测
3 增长函数法 （3）平均增长率法 A. 方法原理：该方法认为qij的增长与i区产生量 的增长及j分区吸引量的增长同时相关，而且相关 的程度也相同，增长函数为 1 1 Fpi Fai f 平 F pi，Faj f 平 F Fai Fpi pi， aj 2 2 B. 特点评价：
该法比常增长率法合理，是一种最常用的方法
在实际运用时，因迭代步数较多，计算速度稍慢
2 出行分布预测
3 增长函数法
（4）底特律法（Detroit） A. 方法原理：此法认为，qij的增长与i分区产生 量增长率成正比，而且还与j分区吸引量增长率与 整个区域吸引量增长率的相对比率成正比
B. 特点评价：
A j A0 Pi j f D Fpi，Faj Fpi Q Q 0 Pi 0 A j A0 j Faj
2 出行分布预测
1 基本概念 （1）出行分布量 [例题]：分析两个交通小区i，j之间的出行分布 量
home factory home 小区i 5 6 小区j 1 2 3 4 factory home factory
qij=4 qji=2
2 出行分布预测
1 基本概念 （2）出行分布矩阵（PA矩阵）
0 0 0 q1 q (F F 13 13 p1 a3 ) / 2 4.0 (1.3786 1.3667) / 2 5.490
0 0 0 q1 q (F F 21 21 p2 a1 ) / 2 7.0 (1.8020 1.4036) / 2 11.219 0 0 0 q1 q (F F 22 22 p2 a2 ) / 2 38.0 (1.8020 1.8060) / 2 68.551 0 0 0 q1 q (F F 23 23 p2 a3 ) / 2 6.0 (1.8020 1.3667) / 2 9.506
出行分布矩阵是一个二维表（矩阵），行坐标为 吸引分区号，列坐标为产生分区号，元素为出行 分布量
A P 1 2 ┊ n 小计 q12 q21 … qn1 A1 q12 q22 … qn2 A2 … … … … … q1n q2n … qnn An P1 P2 ┊ Pn Q 1 2 … n 小计
2 出行分布预测
bij
0 q ij Faj j 0 qij Faj
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
② Frator还认为，qij也应与i分区规划年的产生 量 Pi成正比 0 0 ③综上两点有：
q Pi bij Pi F
1 ij 0 0 pi
q
j
qij Faj
k k 在允许一定误差率（如 3%）的前提下，对所有的 i 和 j 考察： Fpi 1，Faj 1 ？若是，
k 1 k 1 为之所求，今 qij qij ，停止；否则进行下一步迭代，令 k=k+1，转至第 3 继续 qij
2 出行分布预测
3 增长函数法
（2）常增长率法
A. 方法原理：该方法认为qij的增长仅与i区的产 生量增长率有关，增长函数为： Pi f 常 Fpi , Faj Fpi 0 Pi B. 特点评价： 只单方面考虑产生量增长率对增长函数的影响， 忽视了吸引量增长率的影响 由于产生量与吸引量的不对称性，该方法的预测 精度不高，是一种最粗糙的方法
0 Fa A2 / A0 2 90.3/ 50.0 1.8060 2 0 0 Fa A3 / A3 36.9 / 27.0 1.3667
3
[例题1]：求解过程
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：求解过程 （2）第1轮迭代计算预测分布量，k=0
k 1 k k k qij qij f（Fpi ，Faj ）
Lk aj
k k q ij Fpi i
Ak j
为第k轮迭代分区j的“吸引位置系数”
Lkpi Lk aj 2
k k k k f ( F , F ) F F 最终推导Frator增长函数为： F pi aj pi aj
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
A. 方法原理：
j j
该方法是在底特律市1956年规划首次被开发利用， 收敛速度较快；等效于使用现状出行分布表的同 时概率最大化方法理论求解结果
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
1954年Frator提出了分别从产生区和吸引区两个 角度分析计算qij，然后取平均值作为增长函数 ① Frator认为，qij与i区出行量中j分区的“相对 吸引增长率”bij成正比：
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：求解过程 （2）第1轮迭代计算预测分布量，k=0
q
k 1 ij
q f（F ，F ）
k ij k pi k aj
0 0 0 q1 q (F F 31 31 p3 a1 ) / 2 4.0 (1.3846 1.4036) / 2 5.576
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题
1 1 Fpi Fai f 平 F pi，Faj f 平 F Fai Fpi pi， aj 2 2 （1）求各小区产生量和吸引量的增长率，k=0 Fp01 P1 / P10 38.6 / 28.0 1.3786 Fp02 P2 / P20 91.9 / 51.0 1.8020 Fp03 P3 / P30 36.0 / 26.0 1.3846 0 0 Fa A / A 1 1 39.3/ 28.0 1.4036 1
Q Pi Aj qij qij
i j i j j i
出行分布预测
2 预测方法种类
（1）增长率法 A. 增长函数法：具体包含4种 B. Fueness约束条件法 （2）引力模型法 A. 单约束引力模型 B. 双约束引力模型
2 出行分布预测
3 增长函数法 （1）总体思路
0 ij
0 Faj
再从吸引区j分区的角度分析同样分析得到
0 0 q F ij pi 2 0 qij A0 F 0 0 j aj q F ij pi j
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法 A. 方法原理：
1 2 、 qij 是表示同一个量 qij ，故预测值应取其平均值 qij
0 aj 0 pi
0 0 A L L i j 0 0 0 q F F ij pi aj 0 q F 2 pi i
0 j 0 ij
2 出行分布预测
3 增长函数法 （5）Frator法
A. 方法原理：
k P i 为第k轮迭代分区i的“产生位置系数” Lkpi k k qij Faj j
0 ij
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法 A. 方法原理： ui、vj两个系数不是简单地等于产生量或吸引量的 增长率Pi / P0i、Aj / A0j，必须满足两个约束条 0 件 q u q ij i ij v j Pi (i=1，2，…，n)
0 q v q ij j ij ui Aj (j=1，2，…，n) j i
步 3：用 vkj 代入原方程组求解{uk+1i}
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
B. 求解算法：
步 4：再用新求出的 uk+1i，代入原方程组求解{vk+1j}
步 5：检验收敛性。 对所有的 i、j，考察 ukj 与 uk+1j、vkj 与 vk+1j 的相对偏差<3%？ 若是，{ukj}与{vkj}为之所求，停止；否则返回第 3 步
0 0 0 q1 q (F F 11 11 p1 a1 ) / 2 17.0 (1.3786 1.4036) / 2 23.648
0 0 0 q1 q (F F 12 12 p1 a2 ) / 2 7.0 (1.3786 1.8060) / 2 11.146
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法 B. 求解算法： 步 1：初始化。令所有的 u0i =1.0，k=0
步 2：用方程组求解 vj。此时方程组简化为
0 q ij v j Pi j
(i=1, 2, …, n)
这是一个线性方程组，用线性代数的知识不难求解 设所得的解为{vkj：(j=1, 2, …, n) }
0 0 0 0 qij Fpi 1 0 0 qij Faj 0 0 qij Pi Fpi A j F aj 0 0 0 0 2 q F q F ij aj ij pi j i 0 F F P 0 i qij 0 0 2 q ij Faj j
1 基本概念
（2）出行分布矩阵（PA矩阵） 假定第一标号i为产生小区，第二标号j为吸引小区 产生量Pi、吸引量Aj、分布量qij、出行总量Q关系
P P qq i i ij， ij，
j j
A A qq j j ij ij
i i
(i (,i,j j 1, 1 , ,n ,n ))
交通工程本科课程
交通规划理论与方法（4）——
“四步骤”交通需求预测模型
西南交通大学交通运输学院
杨 飞 （博士、讲师）
交通运输学院
2 出行分布预测
1 基本概念
（1）出行分布量
分区i与分区j之间平均单位时间内的出行量。单位 时间可以是一天、一周、一月等，也可以是专指高 峰小时 qij——以分区i为产生点（不一定是出行的起点）， 以分区j为吸引点（不一定是出行的终点）的出行 量 qji——以分区j为产生点，分区i为吸引点的出行量
Fueness于1956年提出的一种增长率法，认为： 两个分区之间出行分布量qij的预测值与此两个分 0 区之间出行分布的现状值 qij 成正比，还与产生 分区的规划年产生量预测值、吸引分区的规划年 吸引量预测值有关，这种关系可用两个系数ui、vj 表示（分别称之为产生系数、吸引系数）
qij q ui v j
i
j
因此，这个方法被称作“Fueness约束条件法”， 又叫做“双约束条件增长率法”
2 出行分布预测
3 增长函数法 （6）Fueness法
B. 求解算法：
从数学上来讲，2n个方程所组成的联立方程组可以 解出这两组未知的系数ui、vj （i，j=1，2，…，n） （共2n个） 由于这个方程组是非线性的，用解方程的方法，求 解过程将十分复杂 Furness提出用迭代法进行求解
0 步 1：用 qij 表现状分布量， P0 i 、 A0 j 表现状产生量、吸引量；Pi、Aj 表为由预测得到的
规划年产生量、吸引量的预测值，令 k=0
0 步 2：计算各分区第 0 次产生增长率、吸引增长率： Fpi
Aj Pi 0 ， F aj Pi 0 A0 j
k k k qij f（Fpi ，Faj ）
2 出行分布预测
3 增长函数法
（6）Fueness法 C. 特点评价： Furness法的收敛速度可与Frator法媲美， 但需要求解线性方程组比较费时，尤其是当分区 数目n较大的时候
2 出行分布预测
3 增长函数法：平均增长率法例题 [例题1]：已知3个交通小区的现状PA表和规划年 各小区的产生量和吸引量，试用平均增长率法求 解规划年PA矩阵。设定收敛标准为3% 现状PA