苏州市2006-2007学年度第二学期高二期末考

苏州市2006－2007学年度第二学期高二期末考试
数 学（理科） 2007．6
注意事项：
1．本试卷分为必答部分与选答部分．考试时间120分钟． 2．必答部分分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分120分．
3．请将必答部分中的第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上．在本试卷上答题无效． 4．选答部分在四个模块中选两个模块作答．共2页，满分40分．
必答部分 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 复数34i +的共轭复数是 A ．34i - B ．34+i C ．34i -+ D ．34i --
2． 下面是一个算法的伪代码．如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是
A ．200
B ．150
C ．20
D ．15 3． 已知向量a = (2，-1，3)，b = (-4，2，x )，且⊥a b ，则实数x 的值为
A ．-2
B ．2
C ．103
-
D ．
103
4． 已知m ，n ∈R ，则“0m n ⋅<”是“方程12
2=+n
y m x 表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 5． 用0，1，2，3，4五个数字，可组成无重复数字的三位偶数的个数是
A ．48
B ． 30
C ．18
D ．12
6． 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =-≤≥≥，若向区域Ω内随机投一点P ， 则点
P 落入区域A 的概率为
A ．29
B ．
23
C ．
13
D ．
14
7． 设2,[0,1],
()2,(1,2].x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩
则20()f x dx ⎰等于
A ．34
B ．45
C ．56
D ．
67
8． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若
点P 到直线BC
的距离等于点P 到直线C 1D 1的距离，则动点P 的轨迹是
1
A A
A ．线段
B ．圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷相应位置上． 9． 命题“x ∀∈R ，2
10x x ++>”的否定是 ▲ ．
10．在26(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，x 项的系数是 ▲ ．（用数字作答） 11．观察下列等式：
1 = 12，
2 +
3 +
4 = 32，
3 +
4 +
5 +
6 +
7 = 52，
4 +
5 +
6 +
7 +
8 +
9 + 10 = 72，
……
由此归纳，可得到一般性的结论是 ▲ ．
12．在如下程序框图中，输入0()cos f x x =，则输出的是 ▲ ．
三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率．
14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分） 如图，在三棱锥ABC S -中，侧面⊥SAB 底面
ABC ，
且
AC =
︒
=∠=∠90ABC ASB ，
2
==SB AS ，
（Ⅰ）求证SA ⊥SC ；
公式2S
r l
=
（其中l 是三角形（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径的周长，S 是三角形的面积），常用如下方法（如
右图）：
① 以内切圆的圆心O 为顶点，将三角形ABC 分割成三个小三角形：△OAB ，
△OAC ，△OBC ．
② 设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ．由ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆=++， 得111222S ar br cr =
++12lr =，则2S
r l
=． 类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说
明类比过程），并利用该公
式求出三棱锥ABC S -内切球的半径．
C
B
A S
O
C
B
A
15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F 1（-2，0），左准线l 1与x 轴交于N （-3，0），过点N 作倾斜角为30°的直
线l 交椭圆于两个不同的点A ，B ．
（Ⅰ）求直线l 及椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求证：点F 1在以线段AB 为直径的圆上．
16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分） 已知函数()ln f x x =，()g x x =．
（Ⅰ）若1x >，求证：1
()2(
)1x f x g x ->+； （Ⅱ）求实数k 的取值范围，使得方程2
1()2(1||)2
g x k f x -=+有四个不同的的实数根．
选答部分（共40分）
从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分． 请在答题卷上答题．在本试卷上答题无效．
1． 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，
AE 交BC 于F ，则BF
FC
的值等于 A ．12 B ．13 C ．14
D ． 25
AH 2． 等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC = 4，
△DEF 的边长为 A ．2
B ．
34 C ．4
3 D
3． 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切 于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为___▲___．
4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，则四边形ABDE 的周长
为___▲___．
5． 矩阵A ＝1234⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的逆矩阵为 A ． 213122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦ B ．213122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ C ．312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D ．312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
6． 圆2
2
1x y +=在矩阵A =2003⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
对应的变换下，得到的曲线的方程是 A ．22
123x y += B ．22132x y += C ．22
149
x y += D ．22
194
x y +=
7． 已知矩阵M 有特征值18λ=及对应的一个特征向量e 1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并有特征值22λ=及对应的一个特征向量e 2＝12⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
，则矩
阵M ＝ ▲ ．
8． 设a ，b ∈R ，若M ＝01a b ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
所定义的线性变换把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：x ＋y －3＝0，则a ＋b ＝ ▲ ．
F
E
B H F E
D
C
B A
O
Q
P
C B
A
E O D C
B A
9． 参数方程sin ,
cos 2x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线为
A ．圆的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
10．在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (，B +，则线段AB 的长度
为
A ．
B ．
C ．6
D ． 3
11．若直线 x + y = m 与圆 ,
x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ (φ为参数，m >0)相切，则m 为 ▲ ．
12．在极坐标系中，已知曲线C 的方程是3
2cos ρθ
=
-，过极点作直线l 与极轴成60°角，设直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，则
线段PQ 的长等于 ▲ ．
13．利用数学归纳法证明不等式
1111122
n n n n +++>+++ （n >1，n ∈N *）的过程中，用n = k +1时左边的代数式减去n = k 时左边的代数式的结果为 A ．
12(1)k + B ．11212(1)k k +++ C ．11
212(1)
k k -++
D ．
1
21
k +
14．已知a b c <<，设23x a b c =++，23y a b c =++，32z a b c =++，则下列不等式正确的是
A ．x z y >>
B ．y x z >>
C ．z y x >>
D ．x y z >>
15．已知x ，y 均为正实数，且2
4x y =，则x y +的最小值等于 ▲ ．
16．已知222436,x y kz ++= (其中k > 0)且t x y z =++的最大值是7，则 k = ▲ ．
苏州市2006－2007学年度第二学期高二期末考试（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
9．x ∃∈R ,210x x ++≤
10．21 11．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-
12．sin x ．
三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分） 解：（Ⅰ）ξ可能取的值为0，1，2．
由题意：(3,2,6)H ξ ，
2,1,0,)(3
6
34
2=⋅==-k C C C k P k
k ξ． 所以，ξ的分布列为：
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），ξ的数学期望为15
1
2531510=⨯+⨯+⨯
=ξE ． （Ⅲ）解：由（Ⅰ），“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率为
134
(1)(0)(1)555
P P P ξξξ==+==
+=≤．
14．（本小题满分15分，第一小问满分
6分，第二小问满分9分） （Ⅰ）过S 作SO ⊥AB ，垂足为O ， ∵侧面⊥SAB 底面ABC ，∴⊥OS 底面ABC ．
∵SA = SB ，∴O 为
AB 中点． 以O 为坐标原点，OA 为x
轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．
∵︒
=∠=∠90ABC ASB ，2==SB AS
，AC =
∴2AB BC ==，2=OS ，
∴A ，C (，S ．
∴SA = ，(SC =
． 则2020SA SC ⋅=-++=
．
∴SA ⊥SC ． （Ⅱ）三棱锥内切球的半径公式为3V
r S
=
（其中V 为三棱锥的体积，S 为三棱锥的表面积）．
C
在Rt △SAB 中，SA = SB = 2，∴2SAB S = ．
在Rt △ABC 中，AB
AC
=BC = 2
．∴ABC S = 在Rt △SAC 中，SA = 2，AC
=SC
=
SAC S =
(B ，(0,2,0)BC =
，(SB =
， ∴0BC SB ⋅=
，则BC ⊥SB ．
在Rt △SBC 中，SB = 2，BC = 2．∴2SBC S = ．
又14
33
S ABC ABC V S SO -∆=⋅=．
∴31V
r S
=
=．
15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）
（Ⅰ）由题意，2
2222,
3,,
c a c a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩
∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
则椭圆C 的方程为22
162
x y +=．
直线l
的方程为3)y x =
+．
（Ⅱ）椭圆C 的方程即为2
2
360x y +-=，
由223),3
360,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩
得2
2630x x ++=． 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，
则12123,3
.2x x x x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∵111(2,)F A x y =+ ，122(2,)F B x y =+ ，
∴11F A F B ⋅ =1212(2)(2)x x y y +⋅++．
∵11(3)3y x =
+
，223)3y x =+， ∴11
F A F B ⋅ =12121
(2)(2)(3)(3)3
x x x x +⋅+++⋅+ =131212[49()21]x x x x +++=1
(62721)03
-+=．
∴11F A F B ⊥ ．∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上．
16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分） （Ⅰ）令1()()2(
)1x F x f x g x -=-+=1
ln 21
x x x --+，
()()()2
22
114
()11x F x x x x x -'=-=++．
当1x >时，()F x '> 0 恒成立，∴()F x 在（1，+∞）上是增函数． ∵()F x 在x = 1 处连续，∴()F x >(1)F ．
∵(1)F = 0，∴当x ∈（1，+∞）时，()F x > 0 恒成立．
∴1
()2(
)1
x f x g x ->+． （Ⅱ）原方程化为2
1()2(1||)2
g x f x k -+=,
令2
1()()2(1||)2G x g x f x =-+，则21()2ln(1||)2
G x x x =-+．
∵()()G x G x -=，∴()G x 是偶函数．
当x ≥0时，2
1()2ln(1)2
G x x x =
-+（x ≥0）， 则2()1G x x x '=-+22
1x x x
+-=+． ∵x ≥0，∴令()0G x '=，得1x =． 当x ∈[0，1)，()0G x '<，G (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)，()0G x '>，G (x )单调递增．
∴x ≥0时，在x = 1处G (x )取得极小值为G (1) =1
2ln 22
-． 又G (0) = 0，∴当k ∈(12ln 22-,0)时函数2
1()2ln(1)2
G x x x =-+（x ≥0）与y = k 有两个不同的交点．
∵()G x 是偶函数，
∴()G x =k 在k ∈(
1
2ln 22
-,0)时有四个不同的实数根． 选答部分
从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．
1．A 2．C 3．135°
4． 4+
5．A 6．C ． 7．6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．16
7
9．D10．C11．2 12．16 5
13．C14．D．15．3 16．9。