江西省鹰潭市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

鹰潭市2017届高三第二次模拟考试数学试题（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}22|1,|log ,041A x B y y x x x ⎧⎫=≥==<≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （ ） A ． ∅ B ．(1,2] C ．(),1-∞ D ．[]2,3 2.“11sin cos 2Z i θθ=-+⋅（其中是虚数单位）是纯虚数.”是“26k πθπ=+”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 3.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且351,4a a ==，则13S =（ ） A ．39 B ．91 C ．48 D ． 514.我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知()()1,0,0,1,0,0A B -，则点集(){},,|1P x y z PA PB -=在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A ．以,AB 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B ．以,A B 为焦点的椭球体C. 以,A B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D ．以上都不对5.余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺.欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）.十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒. 再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜叔赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为13，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）A ．49 B ．827 C.29 D ．4276.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A ．23πϕ= B ．7,12x k k Z ππ=+∈为其所有对称轴 C. 7,,122122k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为其减区间 D ．()f x 向左移12π可变为偶函数 7. 若110a b<<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11122ba⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.2b a a b +< D ．b aae be >8. 已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“_____”处应填（ ）A ．9i ≥B ．8i = C.10i ≥ D ．8i ≥ 9. 已知,x y 满足22416x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则226825z x x y y =++++的取值范围是（ ） A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． 121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []65,73 D ．[]65,81 10. 如图是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切圆，俯视图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的中心.问该几何体的体积是（ ）A ．420323π- B ．336323π- C.16843π- D 11.已知抛物线22x py =和2212x y -=的公切线PQ （P 是PQ 与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于,02P Q F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，=，则抛物线的方程是 （ ）A ．24x y =B ．2x = C.26x y = D ．2x =12. ()201720161120162017f x x x x x x x =-+-++-+++++++ ，在不等式()20171xeax x R ≥+∈恒成立的条件下等式()()20182017f a f b -=-恒成立，求b 的取值集合（ ）A ．{}|20162018b b ≤≤B ．{}2016,2018 C. {}2018 D ．{}2017第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量1,1a a b =⋅=，则minb= ．14.数列{}n a 的前n 项和是n S ，()111,2n n a S a n N ++==∈，则n a = ． 15.()()201201xnn n aa x a x a x dx x x ++++=+⎰ ，则12n a a a +++= ．16.直线l 与函数cos ,22y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象相切于点A ，且,,02l CP C π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，则BA BD ⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，并且2b =. （1）若角,,A B C 成等差数列，求ABC ∆外接圆的半径； （2）若三边,,a b c 成等差数列，求ABC ∆内切圆半径的最大值.18. 如图半圆柱1OO 的底面半径和高都是1，面11ABB A 是它的轴截面（过上下底面圆心连线1OO 的平面），,Q P 分别是上下底面半圆周上一点.（1）证明：三棱锥Q ABP -体积13Q ABP V -≤，并指出P 和Q 满足什么条件时有AP BQ ⊥ （2）求二面角P AB Q --平面角的取值范围，并说明理由.19. 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA 级旅游景区——龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）（1）完成表格一中的空位①-④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列（表二）（参考公式：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）20. 已知()()1,0,1,0,,A B AP AB AC -=+ 4AP AC +=（1）求P 的轨迹E（2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线12,l l ，设直线12,,OP l l 的斜率分别是012,,k k k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否是定值，请说明理由，并加以证明.21. 已知函数()2ln 2ln a x f x x a k x a=+-- （1）若0k =，证明()0f x >；（2）若()0f x ≥，求k 的取值范围；并证明此时()f x 的极值存在且与a 无关. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.曲线2:2cos 80C ρρθ--= 曲线2:1x t E y kt =+⎧⎨=+⎩（t 是参数）（1）求曲线C 的普通方程，并指出它是什么曲线.（2）当k 变化时指出曲线E 是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E 截曲线C 所得弦长的最小值.23. ()2=f x x a x a ++-，()1,3a ∈-（1）若1a =，解不等式()4f x ≥（2）若对(),1,3x R a ∀∈∃∈-，使得不等式()m f x <成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: B B B C A 6-10: D D A A B 11、12： B A 二、填空题13. 1 14.()()211232n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ 15. ()1221n n -+⋅- 16.244π-三、解答题17.（1）由角A B C ，，成等差数列及A B C π∠+∠+∠=得3B π∠=，设ABC ∆外接圆的半径为R由正弦定理22sin3R R π===， （2）由三边,,a b c 成等差数列得2b a c =+，所以6a b c ++=， 设ABC ∆内切圆半径为r ，面积为s ，则()11sin 22s a b c r ac B =++= 所以sin 6ac Br =方法一：∵42a c +=≥∴4ac ≤()22222422a c ac a c b cosB ac ac+--+-==12266111242ac ac ac -==-≥-=（a c =取等号）∴]3(0B π∈，所以2sinB ≤（3B π=时取等号）∴4sin 266ac Br =≤=,3a c B π==时取等，即三角形为正三角形时） 方法二：()22222422a c ac a c b cosB ac ac+--+-==122612ac ac ac -==-sin B ===sin 63ac Br ===∵4a c a c ba b cb c a +=⎧⎪+>⎪⎨+>⎪⎪+>⎩，∴13132a c b <<⎧⎪<<⎨⎪=⎩∴()()2424(3,4]ac a a a =-=--+∈∴(0,3r ∈ ∴3r ≤18.（1）证明：13Q ABP ABP V s h -∆=⋅，其中h 是Q 到平面ABP 的距离，（由条件及圆柱性质）即平面11A B Q 到ABP 的距离且为定值1由半圆性质90APB ∠=︒所以224AP BP += 所以由均值不等式221124ABPAP BP s AP BP ∆+=⋅≤=1133Q ABP ABP V s h -∆=⋅≤要有AP BQ ⊥因为AP BP ⊥等价于要有AP ⊥面BPQ 所以需要QP AP ⊥即可！注：1、不用均值不等式证明老师斟酌给分，若数形结合证明，只要说清楚了就给满分2、（QP AP ⊥等价说法：1QP BB ，QP ⊥面ABP 都可以！） （2）如图以O 为原点、OA 为x 轴、1OO 为Z 轴建坐标系作QN 垂直于平面ABP 于N ， 记[]0,AON θθπ∠=∈，()1,0,0A ()1,0,0B - ()cos ,sin ,0Q θθ平面PAB 法向量可取()0,0,1n =设平面ABQ 的法向量(),,m x y z =()cos 1,sin ,1AQ θθ=- ()2,0,0BA =m BA m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()cos 1sin 020x y z x θθ⎧-++=⎨=⎩可令()0,1,sin m θ=-())00cos,0,2 m nθθ⎧=⎪⎡≠<>==∈⎢⎣⎦所以二面角P AB Q--平面角范围,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦19.（1）完成表（一）；完成频率分布直方图30岁以下频率0.10.150.250.5++=以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数：120000.56000⨯=（表一）（2）完成表格()21005404015400 4.04 5.0242080554599κ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：100.22⨯=人，50岁以下人数8人取值可能0,1,2()022*********C C P C ξ⋅=== ()112821016145C C P C ξ⋅=== ()20282101245C C P C ξ⋅===如图因为AP AB AC =+所以四边形ACPB 是平行四边形所以BP AC = ，由4AP AC += 得4AP BP +=所以P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆易知24a = 1c =所以方程为22143x y += 方法二：设(),P x y 由AP AB AC =+ 得()1,AC AP AB BP x y =-==-再4AP AC +=得4=4=平方化简得：22143x y +=4发现是椭圆方程也可以直接得24a = 1c =，分档批阅老师自己把握）（2）设()00,P x y ，过P 的斜率为K 的直线为()00y y k x x -=-，由直线与圆O 相切可得=即：()22200003230x k x y k y --+-=由已知可知12,k k 是方程（关于K ）()22200003230x k x y k y --+-=的两个根，所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩两式相除：0012212023x y k k k k y +=⋅- 又因为2200143x y +=所以2200334y x -=- 代入上式可得：01212083yk k k k x +=-⋅即：01211183k k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭为一个定值. 21.（1）若()22220,a x ak f x x x x -'==-= 当()()0,,0,2a x f x f x ⎛⎫'∈≥ ⎪⎝⎭单调递减；当()()[,),0,2a x f x f x '∈+∞≤单调递增 所以()()min 2ln 22ln 21ln 2022a a f x f a ⎛⎫==+-=->⎪⎝⎭，得证 （1）若()2ln 2ln 0a a f x x a k x x =+--≥，变形得到2ln x a a k a x x+≥， 令()=0x t t a >，得到22ln 1t t k t+≥ ()()()232ln 12ln 1,t t t t t g t g t t t--+'==，令()()ln 1,ln k t t t t k t t '=--=-，可得()k t 在(0,1]单增，在[1,)+∞单减，所以()()0,0k t g t '≤≤，()g t 在()0,+∞单减，当(),0t g t →+∞→所以()0g t >，∴0k ≤（注：若令()0at t x=>），得到22ln t t t k -+≥ 令()()()22ln ,221ln g t t t t g t t t '=-+=-+，()11212t g t t t -⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，所以在(0,1]单减，在[1,)+∞单增，所以()()10g t g ''≥=， 即()g t 在()0,+∞单增，当()0,0t g t →→所以()0g t >，∴0k ≤ 下面再证明()f x 的极值存在且与a 无关： ①()22220,a x a k f x x x x -'==-=,()()=2ln 22ln 21ln 222a a f x f a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭极小值 与a 无关.②()()()2212222220,k x x x x a k kx ax a k f x x x a ax ax----+-'<=-⋅==（其中((12110,0a a x xkk+-=<=>）所以10x x ->且()f x 在2x 处取极小值()22222222ln 2ln 2ln x x x a af x x a k k x a a x a=+--=+-因为(21a x k=，∴(21x ak=是关于k 的函数（与a 无关），所以()22222ln x xa f x k a x a=+-也是关于k （与a 无关）.22.（1）∵()22cos 19sin x x y y ρθρθ=⎧-+=⎨=⎩圆心（1,0）半径为3的圆（2）消去参数()12y k x E -=-是一条恒过定点()2,0C 的直线（但不包括2x =），当直线E 与圆心连线垂直时弦长最小，设圆心到直线E 的距离为d，则dmin AB =23.（1）当()1,11114a f x x x x x ==++-=++-≥1114x x x ≥⎧⎨-++≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或1114x x x ≤-⎧⎨---≥⎩得{|2x x ≥或2}x ≤-（2）∵(),1,3x R a ∀∈∃∈-使得不等式()m f x <()222=f x x a a x x a a x a a ++-≥++-=+∴()21,3a m a a ∃∈-<+令()()()2,1,3,[0,12)g a a a a g a =+∈-∈∴由①得12m <。