基于蒙特卡洛法的谐波测量不确定度分析

基于蒙特卡洛法的谐波测量不确定度分析
黄德华;张禄亮;曾江;孙巍巍
【摘要】按照传统方法确定的谐波95%大值的置信区间是±5%，这样的精度不能满足现行对谐波测量数据分析的要求。

为此建立了利用随机变量求取95%大值的数学模型。

提出了可以利用蒙特卡洛法求取谐波95%大值，并确定其置信区间。

在Matlab平台上开发了利用蒙特卡洛法计算谐波95%大值的实用程序，并应用到求取贵州某铁合金厂一天实测的谐波电压数据的95%大值中，得到的置信区间是±1%。

计算结果表明，利用蒙特卡洛法求取谐波95%大值是一种确定谐波95%大值及其精确置信区间的实用方法。

【期刊名称】《电力系统保护与控制》
【年(卷),期】2012(000)020
【总页数】6页(P62-67)
【关键词】谐波95%大值;置信区间;随机变量;数学建模;蒙特卡洛法
【作者】黄德华;张禄亮;曾江;孙巍巍
【作者单位】华南理工大学电力学院,广东广州 510640;华南理工大学电力学院,广东广州 510640;华南理工大学电力学院,广东广州 510640;华南理工大学电力学院,广东广州 510640
【正文语种】中文
【中图分类】TM71
0 引言
电力谐波污染及其治理一直是电气行业的一个重点问题，其中谐波测量问题一直是人们关注的焦点[1-4]。

为了更好地管理和控制谐波污染，制定相应的国标是很有必要的[5]。

在《电能质量公用电网间谐波》（GB/T 24337-2009）[6]中，明确规定了以95%大值作为一段时间内测量数据的评价结果。

所谓95%大值，是指将一段时间内的实测数据按大到小进行排序，舍弃前面 5%的大值，取剩余实测值中的最大值。

95%大值在谐波测量和谐波管理中有非常重要的地位。

传统方法直接采用谐波测量的置信区间作为谐波 95%大值的置信区间[7]。

但这种方法是存在缺陷的：
（1）缺乏理论依据。

谐波 95%大值本质上是一系列随机变量的函数，其置信区间不等同于某个测量值的置信区间。

（2）精确度低。

当电网谐波测量值刚好在国标规定的谐波限制附近时，传统的求取95%大值的方法可能造成本来达标的监测点判断为不达标，或本来不达标的监测点判断为达标了。

例如，《电能质量公用电网谐波》（GB/T 24337-2009）中规定10 kV电压等级下，短路容量为100 MVA时，3次谐波电流值不能超过20 A。

当测量误差取5%时，若按传统方法求取的95%大值为19.5 A，则符合国标要求。

但事实上由于5%测量误差的存在，上述例子中的谐波95%大值是有可能超出国标要求的。

为了克服传统确定95%大值置信区间方法的缺陷，本文提出了利用随机变量求取95%大值的数学模型，分析了可以利用蒙特卡洛法求取谐波95%大值，并确定其置信区间。

最后在Matlab平台上开发了利用蒙特卡洛法计算谐波95%大值的实用计算程序，并应用到求取贵州某铁合金厂一天实测的谐波电压数据的95%大值中，得到的置信区间是±1%。

计算结果表明，利用蒙特卡洛法求取谐波95%大值
的方法可以得到更精确的置信区间和具有实用性。

1 数学建模及蒙特卡洛法的应用
1.1 利用随机变量求取95%大值的推导过程
下面以三个数为例，推导利用随机变量求取95%大值计算的数学模型。

我们认为每个孤立的真实值，为在以测量值中心±δ范围内作均匀分布的，±δ为仪器的测量误差。

设有ABC三个测量值，对ABC测量值应用传统求取95%值的方法进行排序，图1则为排序后的结果，图中矩形表示测量的误差范围，黑点表示测量值，圈表示真实值。

图1 传统方法得到的测量值排序结果Fig. 1 Sorting the results of measurements obtained by traditional method
我们可以直观地看出图1的排序并不是我们需要的结果，真实的排序结果应该如图2所示。

图2 真实的排序结果Fig. 2 The real sort results
假设图2中的中间值为谐波95%值。

可以看出这种情况下，谐波95%值是三个随机变量的函数。

下面通过分析其分布函数来确定谐波95%值。

实际上，我们并不能直接得到三个真值的位置，当上面ABC三个数据误差的区间分别是下面假设仪器测量误差服从均匀分布和正太分布情况下进行分析。

① 假设仪器测量误差服从均匀分布时，可以得到真实值的分布函数为
② 假设仪器测量误差服从正态分布时，并认为真实值99.73%概率落在误差区间内，可以得到真实值的分布函数为
根据概率论与数理统计的相关知识，ABC的真实值中最大值的分布函数是
现在假设上面ABC的误差区间是(0,1)(0.1,1.1)(0.2,1.2), 则
① 当服从均匀分布时，可以推导得
分别对以上三个分布函数求导可以求得概率密度函数再根据求出各测量量最大值、最小值、中值的数学期望。

以上例子中的数学期望为E m in = 0 .216。

1.2 利用随机变量求取95%大值的数学模型
下面分析一般的情况，从而建立应用随机变量求取95%大值的数学模型。

设有N个测量数据，分别设从第一个到的N个原始测量数据的真实值的分布函数为
可用95%乘以N并取整设该值为i，对求导可得到95%值的概率密度函数再根据
可以求得95%大值的数学期望，就是95%大值。

由于以上分布函数都是分段的，当数据量较大时计算上述表达式会变得非常复杂，不利于实际工程应用。

下面分析如何应用蒙特卡洛法通过数值计算的方法间接求解95%大值。

1.3 应用蒙特卡洛法求取谐波95%大值
蒙特卡洛法又称为统计模拟试验法或随机模拟法。

它是以统计抽样理论为基础，以计算机为手段，通过有关随机变量的统计抽样检验或随机模拟，从而估计和描述函数的统计量、求解问题近似解的一种数值计算方法。

该方法既可以解决随机性问题，又可以解决确定性问题，其处理实际问题的基本步骤是：构造概型，定义随机变量，通过模拟获得子样，统计计算。

由于蒙特卡洛模拟方法具有程序结构简单、模拟过
程灵活、不受问题条件限制、适于求解多维问题等优点，因而被广泛应用在电力系统研究中[8-19]。

应用蒙特卡洛法求解谐波95%大值的基本思路是：
（1）在每个测量数据的误差范围内随机产生一个数据。

（2）把（1）中产生的随机数组成新的数组，对该数组进行排序，并按传统方法求出新数组下的95%大值，记下该95%大值。

（3）重复步骤（1）、步骤（2）N次（N为一个大数），取各N次95%大值的算术平均值作为最终的95%值。

把计算出来的N个95%大值两边去掉各2.5%的密度值之后，可得95%大值的置信区。

根据蒙特卡洛法，得出95%大值求法流程图如图3所示。

图3 应用蒙特卡洛法求取95%值的流程图Fig. 3 Flow chart of using Monte Carlo method to calculate the harmonic 95% probability value
2 算例及分析
下面把蒙特卡洛法应用在求取实际测量数据的95%大值上，并对计算结果进行分析。

以贵州某铁合金厂一天实际测量的三相2~25次谐波电压的2 880个数据点为材料，根据以上提出的利用蒙特卡洛法求取95%大值的方法，应用Matlab软件编程计算，可以得到结果如表1所示，其中左右置信区间为两边去掉各2.5%的密度值后得到95%大值误差分布范围。

从表1可以看出，以A相5次谐波为例，95%值的置信区间从左侧-0.4827%到右侧0.6341%，其置信区间已经是相当小了。

利用蒙特卡洛法的计算结果，其置信区间都在1%范围内，国标要求的5%误差小得多，证明该方法是有效可行的。

表1 贵州某铁合金厂A相谐波电压95%大值计算结果Table 1 95% probability value of A phase harmonic voltage in a ferroalloy plant in GuizhouA相谐波
电压谐波数 95%大值/kV 左侧置信区间/% 右侧置信区间/%2 0.082 7 -0.576 1 0.513 8 3 0.090 5 -0.728 7 0.742 9 4 0.050 4 -0.636 6 0.645 7 5 0.346 4 -0.482 7 0.634 1 6 0.020 6 -0.305 0.281 2 7 0.268 -0.586 4 0.587 8 8 0.092 7 -0.411 4 0.384 7 9 0.029 6 -0.612 1 0.642 3 10 0.030 6 -0.434 8 0.398 9 11 0.728 -0.430 4 0.416 1 12 0.030 5 -0.463 9 0.441 9 13 0.520 2 -0.428 2
0.406 14 0.031 -0.313 3 0.297 15 0.029 5 -0.667 3 0.635 3 16 0.019 4 -0.598 2 0.760 3 17 0.099 7 -0.902 3 0.886 2 18 0.019 9 -0.708 2 0.704 2 19 0.155 1 -0.611 2 0.568 6 20 0.050 8 -0.471 1 0.424 9 21 0.041 6 -0.235 1 0.205 8 22 0.060 5 -0.613 3 0.596 6 23 0.251 3 -0.583 6 0.769 6 24 0.082 7 -0.398 4 0.362 25 1.284 -0.300 4 0.287 4
另外，可以通过画出95%分布密度曲线的方法更直观地观察各次谐波电压95%大值的分布情况。

图4、图5给出了A相5次、13次谐波电压的95%大值的分布密度曲线。

图4 A相5次谐波电压95%值的概率密度分布曲线Fig. 4 The probability density distribution curve of the 5th harmonic voltage 95% probability value in A phase
图5 A相13次谐波电压95%值的概率密度分布曲线Fig. 5 The probability density distribution curve of the 5th harmonic voltage 95% probability value in A phase
从以上曲线可以看出，利用蒙特卡洛法计算得到的各次谐波电压95%大值的密度分布都是在中部相当集中，两边稀少，当两边去掉各2.5%的密度值之后，得到的95%大值的置信区间，是相当精确的。

3 结论
（1）利用蒙特卡洛法确定的谐波95%大值置信区间是有完整的理论依据的。

解决
了传统方法缺乏理论依据的问题。

（2）利用蒙特卡洛法求取的置信区间在1%范围内，这样精确的置信区间有效地
解决了传统方法谐波值刚好在国标规定的谐波限制值附近时判断不可靠的问题。

参考文献
【相关文献】
[1] 李加升，柴世杰．电能质量谐波间谐波在线快速检测方法研究[J]．电力系统保护与控制，2009，37(18)：62-64．LI Jia-sheng，CHAI Shi-jie．Research of online rapid detection method about harmonic and inter-harmonic of power quality[J]．Power System Protection and Control，2009，37(18)：62-64．
[2] 门长有，王荣华，谭年熊. 一种用于谐波测量的全数字同步采样算法[J]. 电力系统自动化，2008，32(22)：83-86.MEN Chang-you，WANG Rong-hua, TAN Nian-xiong.An entire digital synchronous sampling algorithm for harmonic measurements[J]. Automation of Electric Power Systems，2008，32(22)：83-86.
[3] 张伏生，耿中行，葛耀中. 电力系统谐波分析的高精度FFT算法[J]. 中国电机工程学报，1999，19(3)：63-66.ZHANG Fu-sheng，GENG Zhong-xing，GE Yao-zhong.FFT algorithm with high accuracy for harmonic analysis in power system[J]. Proceedings of the CSEE，1999，19（3）：63-66.
[4] Subjak J, Macquikin J. Harmonic-causes, effects,measurements and analysis: an
update[J]. IEEE, 1990,26(5): 1034-1042.
[5] 吴竞昌. 供电系统谐波[M]. 北京：中国电力出版社,1998: 396-396.
[6] GB/T 14549—93 电能质量公用电网谐波[S]．
[7] 程浩忠, 艾芊, 张志刚. 电能质量[M]. 北京：清华大学出版社, 2006: 242-243.
[8] 别朝红，王锡凡．蒙特卡洛法在评估电力系统可靠性中的应用[J]．电力系统自动化，1997，
21(6)：68-75．BIE Chao-hong，WANG Xi-fan．The application of Monte Carlo method to reliability evaluation of power systems[J]. Automation of Electrical Power Systems，1997，21(6)：68-75.
[9] 张新松，郭晓丽，易龙芳．基于蒙特卡洛模拟的发电边际成本分析[J]. 电力系统保护与控制，2011，39(14):21-25.ZHANG Xin-song, GUO Xiao-li, YI Long-fang. Analysis of marginal
cost of power generation based on Monte Carlo simulation[J]．Power System Protection and Control，2011，39(14): 21-25.
[10] 张勇军，黄慧，唐捷．基于非序贯蒙特卡洛冰灾重现期线路经济性比较[J]. 电力系统保护与控制，2010，38(13): 119-123.ZHANG Yong-jun，HUANG Hui，TANG Jie．Economy comparison of line’s ice disaster cycle based on non-sequential Monte Carlo[J]. Power System Protection and Control，2010，38(13): 119-123.
[11] 黄殿勋，张文，郭萍，等．发输电系统可靠性评估的蒙特卡洛改进算法[J]. 电力系统保护与控制，2010，38(21): 179-183.HUANG Dian-xun, ZHANG Wen, GUO Ping, et al．The Monte Carlo improved method for reliability evaluation of generation and transmission
systems[J]．Power System Protection and Control，2010，38(21): 179-183.
[12] 刘洋，周家启，谢开贵．基于Beowulf集群的大电力系统可靠性评估蒙特卡罗并行仿真[J]．中国电机工程学报，2006，26(20)：9-14．LIU Yang，ZHOU Jia-qi，XIE Kai-gui．The parallel Monte-Carlo simulation of bulk power system reliability evaluation based on Beowulf cluster[J]．Proceedings of the CSEE，2006，26(20)：9-14．
[13] 宋云亭，郭永基，程林．大规模发输电系统充裕度评估的蒙特卡罗仿真[J]．电网技术，2003，27(8)：24-28．SONG Yun-ting, GUO Yong-ji, CHENG Lin.Monte-Carlo simulation to adequacy evaluation for large scale power generation and transmission system[J].Power System Technology, 2003, 27(8): 24-28.
[14] Billinton R，Wangdee W．Delivery point reliability indices of a bulk electric system using sequential Monte Carlo simulation[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2006，21(1)：345-351．
[15] 丁明，张静，李生虎．基于序贯蒙特卡罗仿真的配电网可靠性评估模型[J]．电网技术，2004，28(3)：38-42．DING Ming, ZHANG Jing, LI Sheng-hu. A sequential Monte-Carlo simulation based reliability evaluation model for distribution network[J]. Power System Technology，2004，28(3)：38-42．
[16] Ubeda J R，Allan R N．Reliability assessment of composite hydrothermal generation and transmission systems using sequential simulation[J]．IEE Proceedings on Generation，Transmission and Distribution，1994，141(4)：257-262．
[17] Billinton R，Li W Y．A system state transition sampling method for composite system reliability evaluation[J].IEEE Transactions on Power Systems，1993，8(3)：761-767．[18] Billinton R，Jonnavithula A．Application of sequential Monte Carlo simulation to evaluation of distributions of composite system indices[J]. IEE Proceedings on Generation, Transmission and Distribution, 1997,144(2)：87-90．
[19] Sankarakrishnan A，Billinton R．Sequential Monte Carlo simulation for composite power systems reliability analysis with time varying loads[J]．IEEE Transactions on Power Systems，1995，10(1)：1540-1545．。